Theorem strlem5 32890

Description: Lemma for strong state theorem. (Contributed by NM, 2-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
strlem3.1	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
strlem3.2	⊢ (𝜑 ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1))
strlem3.3	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
strlem3.4	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
strlem5	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) < 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑢   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐴(𝑢)   𝐵(𝑢)   𝑆(𝑥, 𝑢)

Proof of Theorem strlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strlem3.2	. 2 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1))
2		strlem3.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3		strlem3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
4	3	strlem2 32886	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐵) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2))
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐵) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2)
6		eldif 4052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ 𝐵))
7		strlem3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	cheli 31867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ ℋ)
9		pjnel 32361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (¬ 𝑢 ∈ 𝐵 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢)))
10	2, 9	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (¬ 𝑢 ∈ 𝐵 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢)))
11	10	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑢 ∈ 𝐵) → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢))
12	8, 11	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ 𝐵) → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢))
13	6, 12	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢))
14		breq2 5110	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1))
15	13, 14	imbitrid 247	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1))
16	15	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1)
17		eldifi 4070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑢 ∈ 𝐴)
18	2	pjhcli 32053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑢) ∈ ℋ)
19		normcl 31760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((projℎ‘𝐵)‘𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ)
21		normge0 31761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((projℎ‘𝐵)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)))
22	18, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)))
23		1re 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
24		0le1 11869	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
25		lt2sq 14306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
26	23, 24, 25	mpanr12 718	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
27	20, 22, 26	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
28	17, 8, 27	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
30	16, 29	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2))
31	5, 30	eqbrtrid 5144	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑆‘𝐵) < (1↑2))
32		sq1 14368	. . 3 ⊢ (1↑2) = 1
33	31, 32	breqtrdi 5150	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑆‘𝐵) < 1)
34	1, 33	sylbi 220	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) < 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   < clt 11373   ≤ cle 11374  2c2 12427  ↑cexp 14234   ℋchba 31554  norm_ℎcno 31558   C_ℋ cch 31564  proj_ℎcpjh 31572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cc 10543  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310  ax-hilex 31634  ax-hfvadd 31635  ax-hvcom 31636  ax-hvass 31637  ax-hv0cl 31638  ax-hvaddid 31639  ax-hfvmul 31640  ax-hvmulid 31641  ax-hvmulass 31642  ax-hvdistr1 31643  ax-hvdistr2 31644  ax-hvmul0 31645  ax-hfi 31714  ax-his1 31717  ax-his2 31718  ax-his3 31719  ax-his4 31720  ax-hcompl 31837

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-acn 10053  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-lm 23580  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cfil 25609  df-cau 25610  df-cmet 25611  df-grpo 31128  df-gid 31129  df-ginv 31130  df-gdiv 31131  df-ablo 31180  df-vc 31194  df-nv 31227  df-va 31230  df-ba 31231  df-sm 31232  df-0v 31233  df-vs 31234  df-nmcv 31235  df-ims 31236  df-dip 31336  df-ssp 31357  df-ph 31448  df-cbn 31498  df-hnorm 31603  df-hba 31604  df-hvsub 31606  df-hlim 31607  df-hcau 31608  df-sh 31842  df-ch 31856  df-oc 31887  df-ch0 31888  df-shs 31943  df-pjh 32030

This theorem is used by:  strlem6  32891