Theorem strlem5 30603

Description: Lemma for strong state theorem. (Contributed by NM, 2-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
strlem3.1	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
strlem3.2	⊢ (𝜑 ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1))
strlem3.3	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
strlem3.4	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
strlem5	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) < 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑢   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐴(𝑢)   𝐵(𝑢)   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem strlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strlem3.2	. 2 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1))
2		strlem3.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3		strlem3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
4	3	strlem2 30599	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐵) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2))
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐵) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2)
6		eldif 3897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ 𝐵))
7		strlem3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	cheli 29580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ ℋ)
9		pjnel 30074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (¬ 𝑢 ∈ 𝐵 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢)))
10	2, 9	mpan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (¬ 𝑢 ∈ 𝐵 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢)))
11	10	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑢 ∈ 𝐵) → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢))
12	8, 11	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑢 ∈ 𝐵) → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢))
13	6, 12	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢))
14		breq2 5078	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < (normℎ‘𝑢) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1))
15	13, 14	syl5ib 243	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1))
16	15	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1)
17		eldifi 4061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑢 ∈ 𝐴)
18	2	pjhcli 29766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑢) ∈ ℋ)
19		normcl 29473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((projℎ‘𝐵)‘𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ)
21		normge0 29474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((projℎ‘𝐵)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)))
22	18, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)))
23		1re 10963	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
24		0le1 11486	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
25		lt2sq 13840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
26	23, 24, 25	mpanr12 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
27	20, 22, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
28	17, 8, 27	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
29	28	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
30	16, 29	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2))
31	5, 30	eqbrtrid 5109	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑆‘𝐵) < (1↑2))
32		sq1 13900	. . 3 ⊢ (1↑2) = 1
33	31, 32	breqtrdi 5115	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑆‘𝐵) < 1)
34	1, 33	sylbi 216	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) < 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  ℝcr 10858  0cc0 10859  1c1 10860   < clt 10997   ≤ cle 10998  2c2 12016  ↑cexp 13770   ℋchba 29267  norm_ℎcno 29271   C_ℋ cch 29277  proj_ℎcpjh 29285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cc 10179  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937  ax-addf 10938  ax-mulf 10939  ax-hilex 29347  ax-hfvadd 29348  ax-hvcom 29349  ax-hvass 29350  ax-hv0cl 29351  ax-hvaddid 29352  ax-hfvmul 29353  ax-hvmulid 29354  ax-hvmulass 29355  ax-hvdistr1 29356  ax-hvdistr2 29357  ax-hvmul0 29358  ax-hfi 29427  ax-his1 29430  ax-his2 29431  ax-his3 29432  ax-his4 29433  ax-hcompl 29550

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-2o 8286  df-oadd 8289  df-omul 8290  df-er 8486  df-map 8605  df-pm 8606  df-ixp 8674  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-acn 9688  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-q 12677  df-rp 12719  df-xneg 12836  df-xadd 12837  df-xmul 12838  df-ioo 13071  df-ico 13073  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-fl 13500  df-seq 13710  df-exp 13771  df-hash 14033  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-clim 15185  df-rlim 15186  df-sum 15386  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-hom 16974  df-cco 16975  df-rest 17121  df-topn 17122  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-topgen 17142  df-pt 17143  df-prds 17146  df-xrs 17201  df-qtop 17206  df-imas 17207  df-xps 17209  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-mulg 18689  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-psmet 20577  df-xmet 20578  df-met 20579  df-bl 20580  df-mopn 20581  df-fbas 20582  df-fg 20583  df-cnfld 20586  df-top 22031  df-topon 22048  df-topsp 22070  df-bases 22084  df-cld 22158  df-ntr 22159  df-cls 22160  df-nei 22237  df-cn 22366  df-cnp 22367  df-lm 22368  df-haus 22454  df-tx 22701  df-hmeo 22894  df-fil 22985  df-fm 23077  df-flim 23078  df-flf 23079  df-xms 23461  df-ms 23462  df-tms 23463  df-cfil 24407  df-cau 24408  df-cmet 24409  df-grpo 28841  df-gid 28842  df-ginv 28843  df-gdiv 28844  df-ablo 28893  df-vc 28907  df-nv 28940  df-va 28943  df-ba 28944  df-sm 28945  df-0v 28946  df-vs 28947  df-nmcv 28948  df-ims 28949  df-dip 29049  df-ssp 29070  df-ph 29161  df-cbn 29211  df-hnorm 29316  df-hba 29317  df-hvsub 29319  df-hlim 29320  df-hcau 29321  df-sh 29555  df-ch 29569  df-oc 29600  df-ch0 29601  df-shs 29656  df-pjh 29743

This theorem is referenced by:  strlem6  30604