Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlem5 30036
 Description: Lemma for strong state theorem. (Contributed by NM, 2-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
strlem3.1 𝑆 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
strlem3.2 (𝜑 ↔ (𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1))
strlem3.3 𝐴C
strlem3.4 𝐵C
Assertion
Ref Expression
strlem5 (𝜑 → (𝑆𝐵) < 1)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑢   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐴(𝑢)   𝐵(𝑢)   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem strlem5
StepHypRef Expression
1 strlem3.2 . 2 (𝜑 ↔ (𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1))
2 strlem3.4 . . . . 5 𝐵C
3 strlem3.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
43strlem2 30032 . . . . 5 (𝐵C → (𝑆𝐵) = ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢))↑2))
52, 4ax-mp 5 . . . 4 (𝑆𝐵) = ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢))↑2)
6 eldif 3918 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢𝐵))
7 strlem3.3 . . . . . . . . . 10 𝐴C
87cheli 29013 . . . . . . . . 9 (𝑢𝐴𝑢 ∈ ℋ)
9 pjnel 29507 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑢 ∈ ℋ) → (¬ 𝑢𝐵 ↔ (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < (norm𝑢)))
102, 9mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ℋ → (¬ 𝑢𝐵 ↔ (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < (norm𝑢)))
1110biimpa 480 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑢𝐵) → (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < (norm𝑢))
128, 11sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑢𝐵) → (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < (norm𝑢))
136, 12sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (𝐴𝐵) → (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < (norm𝑢))
14 breq2 5046 . . . . . . 7 ((norm𝑢) = 1 → ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < (norm𝑢) ↔ (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < 1))
1513, 14syl5ib 247 . . . . . 6 ((norm𝑢) = 1 → (𝑢 ∈ (𝐴𝐵) → (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < 1))
1615impcom 411 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) → (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < 1)
17 eldifi 4078 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑢𝐴)
182pjhcli 29199 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℋ → ((proj𝐵)‘𝑢) ∈ ℋ)
19 normcl 28906 . . . . . . . . 9 (((proj𝐵)‘𝑢) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ)
21 normge0 28907 . . . . . . . . 9 (((proj𝐵)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)))
2218, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐵)‘𝑢)))
23 1re 10630 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
24 0le1 11152 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
25 lt2sq 13494 . . . . . . . . 9 ((((norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐵)‘𝑢))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
2623, 24, 25mpanr12 704 . . . . . . . 8 (((norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐵)‘𝑢))) → ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
2720, 22, 26syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
2817, 8, 273syl 18 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (𝐴𝐵) → ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
2928adantr 484 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) → ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢)) < 1 ↔ ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2)))
3016, 29mpbid 235 . . . 4 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) → ((norm‘((proj𝐵)‘𝑢))↑2) < (1↑2))
315, 30eqbrtrid 5077 . . 3 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑆𝐵) < (1↑2))
32 sq1 13554 . . 3 (1↑2) = 1
3331, 32breqtrdi 5083 . 2 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑆𝐵) < 1)
341, 33sylbi 220 1 (𝜑 → (𝑆𝐵) < 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3905   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664   ≤ cle 10665  2c2 11680  ↑cexp 13425   ℋchba 28700  normℎcno 28704   Cℋ cch 28710  projℎcpjh 28718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28780  ax-hfvadd 28781  ax-hvcom 28782  ax-hvass 28783  ax-hv0cl 28784  ax-hvaddid 28785  ax-hfvmul 28786  ax-hvmulid 28787  ax-hvmulass 28788  ax-hvdistr1 28789  ax-hvdistr2 28790  ax-hvmul0 28791  ax-hfi 28860  ax-his1 28863  ax-his2 28864  ax-his3 28865  ax-his4 28866  ax-hcompl 28983 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-lm 21832  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cfil 23857  df-cau 23858  df-cmet 23859  df-grpo 28274  df-gid 28275  df-ginv 28276  df-gdiv 28277  df-ablo 28326  df-vc 28340  df-nv 28373  df-va 28376  df-ba 28377  df-sm 28378  df-0v 28379  df-vs 28380  df-nmcv 28381  df-ims 28382  df-dip 28482  df-ssp 28503  df-ph 28594  df-cbn 28644  df-hnorm 28749  df-hba 28750  df-hvsub 28752  df-hlim 28753  df-hcau 28754  df-sh 28988  df-ch 29002  df-oc 29033  df-ch0 29034  df-shs 29089  df-pjh 29176 This theorem is referenced by:  strlem6  30037
 Copyright terms: Public domain W3C validator