Theorem sumdmdii 30198

Description: If the subspace sum of two Hilbert lattice elements is closed, then the elements are a dual modular pair. Remark in [MaedaMaeda] p. 139. (Contributed by NM, 12-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdii	⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵)

Proof of Theorem sumdmdii

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 4133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
2	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
3		elin 3897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
4		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
5		sumdmdi.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
6	4, 5	chseli 29242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
7		ssel2 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝑥)
8		chsh 29007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Sℋ )
9		shsubcl 29003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
10	9	3exp 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
12	7, 11	syl7 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
13	12	exp4a 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥))))
14	13	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥))))
15	14	imp41 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
16	15	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
17	16	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
18		chel 29013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
19	18	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
20	4	cheli 29015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
21	5	cheli 29015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
22		hvsubadd 28860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ (𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦))
23		ax-hvcom 28784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
24	23	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦))
25		eqcom 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
26	24, 25	syl6bb 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
27	26	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
28	22, 27	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
29	28	3com23 1123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
30	19, 20, 21, 29	syl3an 1157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
31	30	3expa 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
32		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
33	31, 32	syl6bir 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥)))
34	33	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
35	17, 34	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
36		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
37	35, 36	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
38	37	exp31 423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))))
39	38	reximdvai 3231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
40		r19.42v 3303	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
41	39, 40	syl6ib 254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
42	41	reximdva 3233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
43		elin 3897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
44		ancom 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
45	43, 44	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
46	45	anbi1i 626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
47		anass 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
48	46, 47	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
49	48	rexbii2 3208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
50	42, 49	syl6ibr 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
51	4	chshii 29010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
52		shincl 29164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
53	8, 51, 52	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
54	53	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
55	5	chshii 29010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
56		shsel 29097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
57	54, 55, 56	sylancl 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
58	50, 57	sylibrd 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
59	6, 58	syl5bi 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
60	59	expimpd 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
61	3, 60	syl5bi 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
62	61	ssrdv 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
63	62	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
64	2, 63	eqsstrrd 3954	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
65		chincl 29282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
66	4, 65	mpan2 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
67		chslej 29281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
68	66, 5, 67	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
69	68	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
70	64, 69	sstrd 3925	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
71	70	exp32 424	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
72	71	ralrimiv 3148	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
73		dmdbr2 30086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
74	4, 5, 73	mp2an 691	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
75	72, 74	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135   ℋchba 28702   +_ℎ cva 28703   −_ℎ cmv 28708   S_ℋ csh 28711   C_ℋ cch 28712   +_ℋ cph 28714   ∨_ℋ chj 28716   𝑀_ℋ^* cdmd 28750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28782  ax-hfvadd 28783  ax-hvcom 28784  ax-hvass 28785  ax-hv0cl 28786  ax-hvaddid 28787  ax-hfvmul 28788  ax-hvmulid 28789  ax-hvmulass 28790  ax-hvdistr1 28791  ax-hvdistr2 28792  ax-hvmul0 28793  ax-hfi 28862  ax-his1 28865  ax-his2 28866  ax-his3 28867  ax-his4 28868  ax-hcompl 28985

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-lm 21834  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cfil 23859  df-cau 23860  df-cmet 23861  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ginv 28278  df-gdiv 28279  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-va 28378  df-ba 28379  df-sm 28380  df-0v 28381  df-vs 28382  df-nmcv 28383  df-ims 28384  df-dip 28484  df-ssp 28505  df-ph 28596  df-cbn 28646  df-hnorm 28751  df-hba 28752  df-hvsub 28754  df-hlim 28755  df-hcau 28756  df-sh 28990  df-ch 29004  df-oc 29035  df-ch0 29036  df-shs 29091  df-chj 29093  df-dmd 30064

This theorem is referenced by:  cmmdi  30199  sumdmdi  30203