Theorem sumdmdii 32575

Description: If the subspace sum of two Hilbert lattice elements is closed, then the elements are a dual modular pair. Remark in [MaedaMaeda] p. 139. (Contributed by NM, 12-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdii	⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵)

Proof of Theorem sumdmdii

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 4164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
2	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
3		elin 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
4		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
5		sumdmdi.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
6	4, 5	chseli 31619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
7		ssel2 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝑥)
8		chsh 31384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Sℋ )
9		shsubcl 31380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
10	9	3exp 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
12	7, 11	syl7 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
13	12	exp4a 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥))))
14	13	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥))))
15	14	imp41 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
16	15	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
17	16	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
18		chel 31390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
19	18	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
20	4	cheli 31392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
21	5	cheli 31392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
22		hvsubadd 31237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ (𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦))
23		ax-hvcom 31161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
24	23	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦))
25		eqcom 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
26	24, 25	bitrdi 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
27	26	3adant1 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
28	22, 27	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
29	28	3com23 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
30	19, 20, 21, 29	syl3an 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
31	30	3expa 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
32		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
33	31, 32	biimtrrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥)))
34	33	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
35	17, 34	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
36		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
37	35, 36	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
38	37	exp31 423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))))
39	38	reximdvai 3172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
40		r19.42v 3193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
41	39, 40	imbitrdi 253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
42	41	reximdva 3174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
43		elin 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
44		ancom 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
45	43, 44	bitri 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
46	45	anbi1i 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
47		anass 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
48	46, 47	bitri 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
49	48	rexbii2 3104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
50	42, 49	imbitrrdi 254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
51	4	chshii 31387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
52		shincl 31541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
53	8, 51, 52	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
54	53	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
55	5	chshii 31387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
56		shsel 31474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
57	54, 55, 56	sylancl 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
58	50, 57	sylibrd 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
59	6, 58	biimtrid 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
60	59	expimpd 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
61	3, 60	biimtrid 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
62	61	ssrdv 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
63	62	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
64	2, 63	eqsstrrd 3969	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
65		chincl 31659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
66	4, 65	mpan2 701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
67		chslej 31658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
68	66, 5, 67	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
69	68	ad2antrl 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
70	64, 69	sstrd 3944	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
71	70	exp32 424	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
72	71	ralrimiv 3152	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
73		dmdbr2 32463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
74	4, 5, 73	mp2an 702	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
75	72, 74	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391   ℋchba 31079   +_ℎ cva 31080   −_ℎ cmv 31085   S_ℋ csh 31088   C_ℋ cch 31089   +_ℋ cph 31091   ∨_ℋ chj 31093   𝑀_ℋ^* cdmd 31127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cc 10386  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146  ax-mulf 11147  ax-hilex 31159  ax-hfvadd 31160  ax-hvcom 31161  ax-hvass 31162  ax-hv0cl 31163  ax-hvaddid 31164  ax-hfvmul 31165  ax-hvmulid 31166  ax-hvmulass 31167  ax-hvdistr1 31168  ax-hvdistr2 31169  ax-hvmul0 31170  ax-hfi 31239  ax-his1 31242  ax-his2 31243  ax-his3 31244  ax-his4 31245  ax-hcompl 31362

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-omul 8436  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-acn 9894  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-lm 23277  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cfil 25305  df-cau 25306  df-cmet 25307  df-grpo 30653  df-gid 30654  df-ginv 30655  df-gdiv 30656  df-ablo 30705  df-vc 30719  df-nv 30752  df-va 30755  df-ba 30756  df-sm 30757  df-0v 30758  df-vs 30759  df-nmcv 30760  df-ims 30761  df-dip 30861  df-ssp 30882  df-ph 30973  df-cbn 31023  df-hnorm 31128  df-hba 31129  df-hvsub 31131  df-hlim 31132  df-hcau 31133  df-sh 31367  df-ch 31381  df-oc 31412  df-ch0 31413  df-shs 31468  df-chj 31470  df-dmd 32441

This theorem is referenced by:  cmmdi  32576  sumdmdi  32580