Theorem sumdmdii 32501

Description: If the subspace sum of two Hilbert lattice elements is closed, then the elements are a dual modular pair. Remark in [MaedaMaeda] p. 139. (Contributed by NM, 12-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdii	⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵)

Proof of Theorem sumdmdii

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 4155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
3		elin 3906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
4		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
5		sumdmdi.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
6	4, 5	chseli 31545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
7		ssel2 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝑥)
8		chsh 31310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Sℋ )
9		shsubcl 31306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
10	9	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
12	7, 11	syl7 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
13	12	exp4a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥))))
14	13	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥))))
15	14	imp41 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
16	15	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
18		chel 31316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
19	18	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
20	4	cheli 31318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
21	5	cheli 31318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
22		hvsubadd 31163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ (𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦))
23		ax-hvcom 31087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
24	23	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦))
25		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
26	24, 25	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
27	26	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
28	22, 27	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
29	28	3com23 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
30	19, 20, 21, 29	syl3an 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
31	30	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
32		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
33	31, 32	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥)))
34	33	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
35	17, 34	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
37	35, 36	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
38	37	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))))
39	38	reximdvai 3149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
40		r19.42v 3170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
41	39, 40	imbitrdi 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
42	41	reximdva 3151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
43		elin 3906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
44		ancom 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
45	43, 44	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
46	45	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
47		anass 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
48	46, 47	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
49	48	rexbii2 3081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
50	42, 49	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
51	4	chshii 31313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
52		shincl 31467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
53	8, 51, 52	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
54	53	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
55	5	chshii 31313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
56		shsel 31400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
57	54, 55, 56	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
58	50, 57	sylibrd 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
59	6, 58	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
60	59	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
61	3, 60	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
62	61	ssrdv 3928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
63	62	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
64	2, 63	eqsstrrd 3958	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
65		chincl 31585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
66	4, 65	mpan2 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
67		chslej 31584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
68	66, 5, 67	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
69	68	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
70	64, 69	sstrd 3933	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
71	70	exp32 420	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
72	71	ralrimiv 3129	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
73		dmdbr2 32389	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
74	4, 5, 73	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
75	72, 74	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360   ℋchba 31005   +_ℎ cva 31006   −_ℎ cmv 31011   S_ℋ csh 31014   C_ℋ cch 31015   +_ℋ cph 31017   ∨_ℋ chj 31019   𝑀_ℋ^* cdmd 31053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hvcom 31087  ax-hvass 31088  ax-hv0cl 31089  ax-hvaddid 31090  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093  ax-hvdistr1 31094  ax-hvdistr2 31095  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his2 31169  ax-his3 31170  ax-his4 31171  ax-hcompl 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-lm 23204  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cfil 25232  df-cau 25233  df-cmet 25234  df-grpo 30579  df-gid 30580  df-ginv 30581  df-gdiv 30582  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-nv 30678  df-va 30681  df-ba 30682  df-sm 30683  df-0v 30684  df-vs 30685  df-nmcv 30686  df-ims 30687  df-dip 30787  df-ssp 30808  df-ph 30899  df-cbn 30949  df-hnorm 31054  df-hba 31055  df-hvsub 31057  df-hlim 31058  df-hcau 31059  df-sh 31293  df-ch 31307  df-oc 31338  df-ch0 31339  df-shs 31394  df-chj 31396  df-dmd 32367

This theorem is referenced by:  cmmdi  32502  sumdmdi  32506