Theorem sumdmdii 31936

Description: If the subspace sum of two Hilbert lattice elements is closed, then the elements are a dual modular pair. Remark in [MaedaMaeda] p. 139. (Contributed by NM, 12-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdii	⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵)

Proof of Theorem sumdmdii

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 4206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
3		elin 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
4		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
5		sumdmdi.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
6	4, 5	chseli 30980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
7		ssel2 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝑥)
8		chsh 30745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Sℋ )
9		shsubcl 30741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
10	9	3exp 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
12	7, 11	syl7 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
13	12	exp4a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥))))
14	13	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥))))
15	14	imp41 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
16	15	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
18		chel 30751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
19	18	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
20	4	cheli 30753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
21	5	cheli 30753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
22		hvsubadd 30598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ (𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦))
23		ax-hvcom 30522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
24	23	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦))
25		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
26	24, 25	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
27	26	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
28	22, 27	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
29	28	3com23 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
30	19, 20, 21, 29	syl3an 1159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
31	30	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
32		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
33	31, 32	syl6bir 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥)))
34	33	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
35	17, 34	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
37	35, 36	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
38	37	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))))
39	38	reximdvai 3164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
40		r19.42v 3189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
41	39, 40	imbitrdi 250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
42	41	reximdva 3167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
43		elin 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
44		ancom 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
45	43, 44	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
46	45	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
47		anass 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
48	46, 47	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
49	48	rexbii2 3089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
50	42, 49	imbitrrdi 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
51	4	chshii 30748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
52		shincl 30902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
53	8, 51, 52	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
54	53	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
55	5	chshii 30748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
56		shsel 30835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
57	54, 55, 56	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
58	50, 57	sylibrd 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
59	6, 58	biimtrid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
60	59	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
61	3, 60	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
62	61	ssrdv 3988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
63	62	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
64	2, 63	eqsstrrd 4021	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
65		chincl 31020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
66	4, 65	mpan2 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
67		chslej 31019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
68	66, 5, 67	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
69	68	ad2antrl 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
70	64, 69	sstrd 3992	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
71	70	exp32 420	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
72	71	ralrimiv 3144	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
73		dmdbr2 31824	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
74	4, 5, 73	mp2an 689	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
75	72, 74	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412   ℋchba 30440   +_ℎ cva 30441   −_ℎ cmv 30446   S_ℋ csh 30449   C_ℋ cch 30450   +_ℋ cph 30452   ∨_ℋ chj 30454   𝑀_ℋ^* cdmd 30488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193  ax-hilex 30520  ax-hfvadd 30521  ax-hvcom 30522  ax-hvass 30523  ax-hv0cl 30524  ax-hvaddid 30525  ax-hfvmul 30526  ax-hvmulid 30527  ax-hvmulass 30528  ax-hvdistr1 30529  ax-hvdistr2 30530  ax-hvmul0 30531  ax-hfi 30600  ax-his1 30603  ax-his2 30604  ax-his3 30605  ax-his4 30606  ax-hcompl 30723

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-lm 22954  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cfil 25004  df-cau 25005  df-cmet 25006  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-dip 30222  df-ssp 30243  df-ph 30334  df-cbn 30384  df-hnorm 30489  df-hba 30490  df-hvsub 30492  df-hlim 30493  df-hcau 30494  df-sh 30728  df-ch 30742  df-oc 30773  df-ch0 30774  df-shs 30829  df-chj 30831  df-dmd 31802

This theorem is referenced by:  cmmdi  31937  sumdmdi  31941