Theorem sumdmdii 33074

Description: If the subspace sum of two Hilbert lattice elements is closed, then the elements are a dual modular pair. Remark in [MaedaMaeda] p. 139. (Contributed by NM, 12-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdii	⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵)

Proof of Theorem sumdmdii

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 4114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
3		elin 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
4		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
5		sumdmdi.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
6	4, 5	chseli 32118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
7		ssel2 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝑥)
8		chsh 31883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Sℋ )
9		shsubcl 31879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
10	9	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
11	8, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
12	7, 11	syl7 75	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)))
13	12	exp4a 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥))))
14	13	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥))))
15	14	imp41 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
16	15	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥)
18		chel 31889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
19	18	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
20	4	cheli 31891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
21	5	cheli 31891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
22		hvsubadd 31736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ (𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦))
23		ax-hvcom 31660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
24	23	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦))
25		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
26	24, 25	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
27	26	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 +ℎ 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
28	22, 27	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
29	28	3com23 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
30	19, 20, 21, 29	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
31	30	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
32		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑤) = 𝑧 → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
33	31, 32	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥)))
34	33	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
35	17, 34	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
36		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
37	35, 36	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
38	37	exp31 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))))
39	38	reximdvai 3177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
40		r19.42v 3198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
41	39, 40	imbitrdi 254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
42	41	reximdva 3179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
43		elin 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
44		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
45	43, 44	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
46	45	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
47		anass 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
48	46, 47	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
49	48	rexbii2 3109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
50	42, 49	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
51	4	chshii 31886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
52		shincl 32040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
53	8, 51, 52	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
54	53	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ )
55	5	chshii 31886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
56		shsel 31973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
57	54, 55, 56	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
58	50, 57	sylibrd 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
59	6, 58	biimtrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
60	59	expimpd 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
61	3, 60	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵)))
62	61	ssrdv 3919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
63	62	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
64	2, 63	eqsstrrd 3948	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵))
65		chincl 32158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
66	4, 65	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
67		chslej 32157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
68	66, 5, 67	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
69	68	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → ((𝑥 ∩ 𝐴) +ℋ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
70	64, 69	sstrd 3923	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
71	70	exp32 426	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
72	71	ralrimiv 3157	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
73		dmdbr2 32962	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))))
74	4, 5, 73	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
75	72, 74	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   −_ℎ cmv 31584   S_ℋ csh 31587   C_ℋ cch 31588   +_ℋ cph 31590   ∨_ℋ chj 31592   𝑀_ℋ^* cdmd 31626

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cc 10552  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hvass 31661  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvmulass 31666  ax-hvdistr1 31667  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his2 31742  ax-his3 31743  ax-his4 31744  ax-hcompl 31861

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-lm 23602  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cfil 25631  df-cau 25632  df-cmet 25633  df-grpo 31152  df-gid 31153  df-ginv 31154  df-gdiv 31155  df-ablo 31204  df-vc 31218  df-nv 31251  df-va 31254  df-ba 31255  df-sm 31256  df-0v 31257  df-vs 31258  df-nmcv 31259  df-ims 31260  df-dip 31360  df-ssp 31381  df-ph 31472  df-cbn 31522  df-hnorm 31627  df-hba 31628  df-hvsub 31630  df-hlim 31631  df-hcau 31632  df-sh 31866  df-ch 31880  df-oc 31911  df-ch0 31912  df-shs 31967  df-chj 31969  df-dmd 32940

This theorem is used by:  cmmdi  33075  sumdmdi  33079