HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdmdii 31399
Description: If the subspace sum of two Hilbert lattice elements is closed, then the elements are a dual modular pair. Remark in [MaedaMaeda] p. 139. (Contributed by NM, 12-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
sumdmdii ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) → 𝐴 𝑀* 𝐵)

Proof of Theorem sumdmdii
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq2 4171 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) → (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
21adantr 482 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ∧ (𝑥C𝐵𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3 elin 3931 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑦𝑥𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
4 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴C
5 sumdmdi.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐵C
64, 5chseli 30443 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))
7 ssel2 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵𝑥𝑤𝐵) → 𝑤𝑥)
8 chsh 30208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥C𝑥S )
9 shsubcl 30204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥S𝑦𝑥𝑤𝑥) → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)
1093exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥S → (𝑦𝑥 → (𝑤𝑥 → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥C → (𝑦𝑥 → (𝑤𝑥 → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)))
127, 11syl7 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥C → (𝑦𝑥 → ((𝐵𝑥𝑤𝐵) → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)))
1312exp4a 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥C → (𝑦𝑥 → (𝐵𝑥 → (𝑤𝐵 → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥))))
1413com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥C → (𝐵𝑥 → (𝑦𝑥 → (𝑤𝐵 → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥))))
1514imp41 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)
1615adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)
18 chel 30214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥C𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
1918adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
204cheli 30216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℋ)
215cheli 30216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤𝐵𝑤 ∈ ℋ)
22 hvsubadd 30061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑤) = 𝑧 ↔ (𝑤 + 𝑧) = 𝑦))
23 ax-hvcom 29985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑤 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑤))
2423eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 + 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑤) = 𝑦))
25 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 + 𝑤) = 𝑦𝑦 = (𝑧 + 𝑤))
2624, 25bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 + 𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
27263adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 + 𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
2822, 27bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑤) = 𝑧𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
29283com23 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑤) = 𝑧𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
3019, 20, 21, 29syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴𝑤𝐵) → ((𝑦 𝑤) = 𝑧𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
31303expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → ((𝑦 𝑤) = 𝑧𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
32 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 𝑤) = 𝑧 → ((𝑦 𝑤) ∈ 𝑥𝑧𝑥))
3331, 32syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑦 𝑤) ∈ 𝑥𝑧𝑥)))
3433imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑦 𝑤) ∈ 𝑥𝑧𝑥))
3517, 34mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑧𝑥)
36 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))
3735, 36jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑧𝑥𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
3837exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑤𝐵 → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑧𝑥𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))))
3938reximdvai 3163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑤𝐵 (𝑧𝑥𝑦 = (𝑧 + 𝑤))))
40 r19.42v 3188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑤𝐵 (𝑧𝑥𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) ↔ (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
4139, 40syl6ib 251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))))
4241reximdva 3166 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))))
43 elin 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝑥𝐴) ↔ (𝑧𝑥𝑧𝐴))
44 ancom 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝑥𝑧𝐴) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑥))
4543, 44bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝑥𝐴) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑥))
4645anbi1i 625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝑥𝐴) ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) ↔ ((𝑧𝐴𝑧𝑥) ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
47 anass 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐴𝑧𝑥) ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))))
4846, 47bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝑥𝐴) ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))))
4948rexbii2 3094 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑧 ∈ (𝑥𝐴)∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
5042, 49syl6ibr 252 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑧 ∈ (𝑥𝐴)∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
514chshii 30211 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴S
52 shincl 30365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥S𝐴S ) → (𝑥𝐴) ∈ S )
538, 51, 52sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → (𝑥𝐴) ∈ S )
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝐴) ∈ S )
555chshii 30211 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵S
56 shsel 30298 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴) ∈ S𝐵S ) → (𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥𝐴)∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
5754, 55, 56sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥𝐴)∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
5850, 57sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → 𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵)))
596, 58biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵)))
6059expimpd 455 . . . . . . . . 9 ((𝑥C𝐵𝑥) → ((𝑦𝑥𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵)))
613, 60biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((𝑥C𝐵𝑥) → (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵)))
6261ssrdv 3955 . . . . . . 7 ((𝑥C𝐵𝑥) → (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) + 𝐵))
6362adantl 483 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ∧ (𝑥C𝐵𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) + 𝐵))
642, 63eqsstrrd 3988 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ∧ (𝑥C𝐵𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) + 𝐵))
65 chincl 30483 . . . . . . . 8 ((𝑥C𝐴C ) → (𝑥𝐴) ∈ C )
664, 65mpan2 690 . . . . . . 7 (𝑥C → (𝑥𝐴) ∈ C )
67 chslej 30482 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴) ∈ C𝐵C ) → ((𝑥𝐴) + 𝐵) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
6866, 5, 67sylancl 587 . . . . . 6 (𝑥C → ((𝑥𝐴) + 𝐵) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
6968ad2antrl 727 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ∧ (𝑥C𝐵𝑥)) → ((𝑥𝐴) + 𝐵) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
7064, 69sstrd 3959 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ∧ (𝑥C𝐵𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
7170exp32 422 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))))
7271ralrimiv 3143 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) → ∀𝑥C (𝐵𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵)))
73 dmdbr2 31287 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))))
744, 5, 73mp2an 691 . 2 (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵)))
7572, 74sylibr 233 1 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) → 𝐴 𝑀* 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  wrex 3074  cin 3914  wss 3915   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  chba 29903   + cva 29904   cmv 29909   S csh 29912   C cch 29913   + cph 29915   chj 29917   𝑀* cdmd 29951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-shs 30292  df-chj 30294  df-dmd 31265
This theorem is referenced by:  cmmdi  31400  sumdmdi  31404
  Copyright terms: Public domain W3C validator