Theorem pjcompi 31745

Description: Component of a projection. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjcompi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem pjcompi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	cheli 31305	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ ℋ)
3	1	choccli 31380	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
4	3	cheli 31305	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝐵 ∈ ℋ)
5		hvaddcl 31085	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6	2, 4, 5	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7		axpjpj 31493	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵))))
8	1, 6, 7	sylancr 588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵))))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐵)
10		axpjcl 31473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
11	1, 6, 10	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
12		axpjcl 31473	. . . . . 6 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ (⊥‘𝐻))
13	3, 6, 12	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ (⊥‘𝐻))
14		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 𝐻)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))
16	1	chocunii 31374	. . . . 5 ⊢ (((((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐵)) → (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐵)))
17	11, 13, 14, 15, 16	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐵)) → (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐵)))
18	9, 17	mpan2i 698	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) → (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐵)))
19	8, 18	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐵))
20	19	simpld 494	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369   ℋchba 30992   +_ℎ cva 30993   C_ℋ cch 31002  ⊥cort 31003  proj_ℎcpjh 31010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-inf2 9564  ax-cc 10359  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119  ax-mulf 11120  ax-hilex 31072  ax-hfvadd 31073  ax-hvcom 31074  ax-hvass 31075  ax-hv0cl 31076  ax-hvaddid 31077  ax-hfvmul 31078  ax-hvmulid 31079  ax-hvmulass 31080  ax-hvdistr1 31081  ax-hvdistr2 31082  ax-hvmul0 31083  ax-hfi 31152  ax-his1 31155  ax-his2 31156  ax-his3 31157  ax-his4 31158  ax-hcompl 31275

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9865  df-acn 9868  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-div 11810  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-4 12248  df-5 12249  df-6 12250  df-7 12251  df-8 12252  df-9 12253  df-n0 12440  df-z 12527  df-dec 12647  df-uz 12791  df-q 12901  df-rp 12945  df-xneg 13065  df-xadd 13066  df-xmul 13067  df-ioo 13304  df-ico 13306  df-icc 13307  df-fz 13464  df-fzo 13611  df-fl 13753  df-seq 13966  df-exp 14026  df-hash 14295  df-cj 15063  df-re 15064  df-im 15065  df-sqrt 15199  df-abs 15200  df-clim 15452  df-rlim 15453  df-sum 15651  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17182  df-ress 17203  df-plusg 17235  df-mulr 17236  df-starv 17237  df-sca 17238  df-vsca 17239  df-ip 17240  df-tset 17241  df-ple 17242  df-ds 17244  df-unif 17245  df-hom 17246  df-cco 17247  df-rest 17387  df-topn 17388  df-0g 17406  df-gsum 17407  df-topgen 17408  df-pt 17409  df-prds 17412  df-xrs 17468  df-qtop 17473  df-imas 17474  df-xps 17476  df-mre 17550  df-mrc 17551  df-acs 17553  df-mgm 18610  df-sgrp 18689  df-mnd 18705  df-submnd 18754  df-mulg 19046  df-cntz 19294  df-cmn 19759  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22861  df-topon 22878  df-topsp 22900  df-bases 22913  df-cld 22986  df-ntr 22987  df-cls 22988  df-nei 23065  df-cn 23194  df-cnp 23195  df-lm 23196  df-haus 23282  df-tx 23529  df-hmeo 23722  df-fil 23813  df-fm 23905  df-flim 23906  df-flf 23907  df-xms 24287  df-ms 24288  df-tms 24289  df-cfil 25224  df-cau 25225  df-cmet 25226  df-grpo 30566  df-gid 30567  df-ginv 30568  df-gdiv 30569  df-ablo 30618  df-vc 30632  df-nv 30665  df-va 30668  df-ba 30669  df-sm 30670  df-0v 30671  df-vs 30672  df-nmcv 30673  df-ims 30674  df-dip 30774  df-ssp 30795  df-ph 30886  df-cbn 30936  df-hnorm 31041  df-hba 31042  df-hvsub 31044  df-hlim 31045  df-hcau 31046  df-sh 31280  df-ch 31294  df-oc 31325  df-ch0 31326  df-shs 31381  df-pjh 31468

This theorem is referenced by:  pjaddii  31748  pjmulii  31750  pjvi  31778  hmopidmpji  32225