HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjcompi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjcompi 28865
Description: Component of a projection. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjidm.1 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjcompi ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem pjcompi
StepHypRef Expression
1 pjidm.1 . . . 4 𝐻C
21cheli 28423 . . . . 5 (𝐴𝐻𝐴 ∈ ℋ)
31choccli 28500 . . . . . 6 (⊥‘𝐻) ∈ C
43cheli 28423 . . . . 5 (𝐵 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝐵 ∈ ℋ)
5 hvaddcl 28203 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
62, 4, 5syl2an 585 . . . 4 ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
7 axpjpj 28613 . . . 4 ((𝐻C ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) = (((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵))))
81, 6, 7sylancr 577 . . 3 ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 + 𝐵) = (((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵))))
9 eqid 2813 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)
10 axpjcl 28593 . . . . . 6 ((𝐻C ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ) → ((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐻)
111, 6, 10sylancr 577 . . . . 5 ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐻)
12 axpjcl 28593 . . . . . 6 (((⊥‘𝐻) ∈ C ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ) → ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (⊥‘𝐻))
133, 6, 12sylancr 577 . . . . 5 ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (⊥‘𝐻))
14 simpl 470 . . . . 5 ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐴𝐻)
15 simpr 473 . . . . 5 ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))
161chocunii 28494 . . . . 5 (((((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐻 ∧ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (((𝐴 + 𝐵) = (((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵))) ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)) → (((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)))
1711, 13, 14, 15, 16syl22anc 858 . . . 4 ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (((𝐴 + 𝐵) = (((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵))) ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)) → (((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)))
189, 17mpan2i 680 . . 3 ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((𝐴 + 𝐵) = (((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵))) → (((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)))
198, 18mpd 15 . 2 ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 + 𝐵)) = 𝐵))
2019simpld 484 1 ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((proj𝐻)‘(𝐴 + 𝐵)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  cfv 6104  (class class class)co 6877  chil 28110   + cva 28111   C cch 28120  cort 28121  projcpjh 28128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304  ax-hilex 28190  ax-hfvadd 28191  ax-hvcom 28192  ax-hvass 28193  ax-hv0cl 28194  ax-hvaddid 28195  ax-hfvmul 28196  ax-hvmulid 28197  ax-hvmulass 28198  ax-hvdistr1 28199  ax-hvdistr2 28200  ax-hvmul0 28201  ax-hfi 28270  ax-his1 28273  ax-his2 28274  ax-his3 28275  ax-his4 28276  ax-hcompl 28393
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-cda 9278  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-q 12011  df-rp 12050  df-xneg 12165  df-xadd 12166  df-xmul 12167  df-ioo 12400  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-seq 13028  df-exp 13087  df-hash 13341  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17954  df-cmn 18399  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-top 20916  df-topon 20933  df-topsp 20955  df-bases 20968  df-cld 21041  df-ntr 21042  df-cls 21043  df-nei 21120  df-cn 21249  df-cnp 21250  df-lm 21251  df-haus 21337  df-tx 21583  df-hmeo 21776  df-fil 21867  df-fm 21959  df-flim 21960  df-flf 21961  df-xms 22342  df-ms 22343  df-tms 22344  df-cfil 23270  df-cau 23271  df-cmet 23272  df-grpo 27682  df-gid 27683  df-ginv 27684  df-gdiv 27685  df-ablo 27734  df-vc 27748  df-nv 27781  df-va 27784  df-ba 27785  df-sm 27786  df-0v 27787  df-vs 27788  df-nmcv 27789  df-ims 27790  df-dip 27890  df-ssp 27911  df-ph 28002  df-cbn 28053  df-hnorm 28159  df-hba 28160  df-hvsub 28162  df-hlim 28163  df-hcau 28164  df-sh 28398  df-ch 28412  df-oc 28443  df-ch0 28444  df-shs 28501  df-pjh 28588
This theorem is referenced by:  pjaddii  28868  pjmulii  28870  pjvi  28898  hmopidmpji  29345
  Copyright terms: Public domain W3C validator