Theorem pjcompi 30323

Description: Component of a projection. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjcompi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem pjcompi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	cheli 29883	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ ℋ)
3	1	choccli 29958	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
4	3	cheli 29883	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝐵 ∈ ℋ)
5		hvaddcl 29663	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6	2, 4, 5	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7		axpjpj 30071	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵))))
8	1, 6, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵))))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐵)
10		axpjcl 30051	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
11	1, 6, 10	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
12		axpjcl 30051	. . . . . 6 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ (⊥‘𝐻))
13	3, 6, 12	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ (⊥‘𝐻))
14		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 𝐻)
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))
16	1	chocunii 29952	. . . . 5 ⊢ (((((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐵)) → (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐵)))
17	11, 13, 14, 15, 16	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐵)) → (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐵)))
18	9, 17	mpan2i 694	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) → (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐵)))
19	8, 18	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐵))
20	19	simpld 495	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338   ℋchba 29570   +_ℎ cva 29571   C_ℋ cch 29580  ⊥cort 29581  proj_ℎcpjh 29588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-inf2 9499  ax-cc 10293  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051  ax-addf 11052  ax-mulf 11053  ax-hilex 29650  ax-hfvadd 29651  ax-hvcom 29652  ax-hvass 29653  ax-hv0cl 29654  ax-hvaddid 29655  ax-hfvmul 29656  ax-hvmulid 29657  ax-hvmulass 29658  ax-hvdistr1 29659  ax-hvdistr2 29660  ax-hvmul0 29661  ax-hfi 29730  ax-his1 29733  ax-his2 29734  ax-his3 29735  ax-his4 29736  ax-hcompl 29853

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-iin 4945  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-isom 6489  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-of 7596  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-supp 8049  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-2o 8369  df-oadd 8372  df-omul 8373  df-er 8570  df-map 8689  df-pm 8690  df-ixp 8758  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-fsupp 9228  df-fi 9269  df-sup 9300  df-inf 9301  df-oi 9368  df-card 9797  df-acn 9800  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-q 12791  df-rp 12833  df-xneg 12950  df-xadd 12951  df-xmul 12952  df-ioo 13185  df-ico 13187  df-icc 13188  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-fl 13614  df-seq 13824  df-exp 13885  df-hash 14147  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20696  df-xmet 20697  df-met 20698  df-bl 20699  df-mopn 20700  df-fbas 20701  df-fg 20702  df-cnfld 20705  df-top 22150  df-topon 22167  df-topsp 22189  df-bases 22203  df-cld 22277  df-ntr 22278  df-cls 22279  df-nei 22356  df-cn 22485  df-cnp 22486  df-lm 22487  df-haus 22573  df-tx 22820  df-hmeo 23013  df-fil 23104  df-fm 23196  df-flim 23197  df-flf 23198  df-xms 23580  df-ms 23581  df-tms 23582  df-cfil 24526  df-cau 24527  df-cmet 24528  df-grpo 29144  df-gid 29145  df-ginv 29146  df-gdiv 29147  df-ablo 29196  df-vc 29210  df-nv 29243  df-va 29246  df-ba 29247  df-sm 29248  df-0v 29249  df-vs 29250  df-nmcv 29251  df-ims 29252  df-dip 29352  df-ssp 29373  df-ph 29464  df-cbn 29514  df-hnorm 29619  df-hba 29620  df-hvsub 29622  df-hlim 29623  df-hcau 29624  df-sh 29858  df-ch 29872  df-oc 29903  df-ch0 29904  df-shs 29959  df-pjh 30046

This theorem is referenced by:  pjaddii  30326  pjmulii  30328  pjvi  30356  hmopidmpji  30803