Theorem sumdmdlem 30681

Description: Lemma for sumdmdi 30683. The span of vector 𝐶 not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem	⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))

Proof of Theorem sumdmdlem

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3899	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
2		sumdmdi.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	2	chshii 29490	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		spansnsh 29824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ )
5		shsel 29577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ ) → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6	3, 4, 5	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
7		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	cheli 29495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
9	2	cheli 29495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ ℋ)
10		elspansncl 29828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → 𝑤 ∈ ℋ)
11		hvsubadd 29340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦))
12		eqcom 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
13	11, 12	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
14	8, 9, 10, 13	syl3an 1158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
15	14	3expa 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
16	7	chshii 29490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
17	16, 3	shsvsi 29630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
18		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → ((𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
19	17, 18	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
21	15, 20	sylbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
22	21	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
23	22	com4r 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
24	23	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
25	24	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
26	16, 3	shscli 29580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
27		elspansn5 29837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ → (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑤 = 0ℎ))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑤 = 0ℎ)
29	28	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ)))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ)))
31	25, 30	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 = 0ℎ))
32		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 0ℎ → (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑧 +ℎ 0ℎ))
33		ax-hvaddid 29267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 +ℎ 0ℎ) = 𝑧)
34	32, 33	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑧)
35	9, 34	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑧)
36	35	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
37	36	adantll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
38	37	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → 𝑦 = 𝑧)
39		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
40	39	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝐵)
41		elin 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
42	41	biimpri 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
43	42	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
44	40, 43	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
45	44	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
46	45	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
47	38, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
48	47	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
49	48	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
51	31, 50	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
52	51	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
53	52	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
54	53	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
55	54	com4l 92	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
56	55	imp4c 423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
57	56	exp4a 431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
58	57	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
59	58	com4l 92	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
60	59	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
61	60	rexlimdvv 3221	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
62	6, 61	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
63	62	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
64	63	imp4b 421	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
65	1, 64	syl5bi 241	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
66	65	ssrdv 3923	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐴))
67		shsub1 29587	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})))
68	3, 4, 67	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → 𝐵 ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})))
69	68	ssrind 4166	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
70	69	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
71	66, 70	eqssd 3934	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183  0_ℎc0v 29187   −_ℎ cmv 29188   S_ℋ csh 29191   C_ℋ cch 29192   +_ℋ cph 29194  spancspn 29195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348  ax-hcompl 29465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-ssp 28985  df-ph 29076  df-cbn 29126  df-hnorm 29231  df-hba 29232  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-hcau 29236  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-ch0 29516  df-shs 29571  df-span 29572

This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  30682