HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdmdlem 32437
Description: Lemma for sumdmdi 32439. The span of vector 𝐶 not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem sumdmdlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3967 . . . 4 (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦𝐴))
2 sumdmdi.2 . . . . . . . . 9 𝐵C
32chshii 31246 . . . . . . . 8 𝐵S
4 spansnsh 31580 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → (span‘{𝐶}) ∈ S )
5 shsel 31333 . . . . . . . 8 ((𝐵S ∧ (span‘{𝐶}) ∈ S ) → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
63, 4, 5sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
7 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴C
87cheli 31251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
92cheli 31251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧𝐵𝑧 ∈ ℋ)
10 elspansncl 31584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → 𝑤 ∈ ℋ)
11 hvsubadd 31096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤 ↔ (𝑧 + 𝑤) = 𝑦))
12 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 + 𝑤) = 𝑦𝑦 = (𝑧 + 𝑤))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
148, 9, 10, 13syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑧𝐵 ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
15143expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
167chshii 31246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴S
1716, 3shsvsi 31386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐵))
18 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 𝑧) = 𝑤 → ((𝑦 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
1917, 18syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2115, 20sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2221exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
2322com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
2423imp31 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2524adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2616, 3shscli 31336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 + 𝐵) ∈ S
27 elspansn5 31593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 + 𝐵) ∈ S → (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → 𝑤 = 0))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → 𝑤 = 0)
2928exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑤 = 0)))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑤 = 0)))
3125, 30mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 = 0))
32 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 0 → (𝑧 + 𝑤) = (𝑧 + 0))
33 ax-hvaddid 31023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 + 0) = 𝑧)
3432, 33sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 = 0) → (𝑧 + 𝑤) = 𝑧)
359, 34sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝐵𝑤 = 0) → (𝑧 + 𝑤) = 𝑧)
3635eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝐵𝑤 = 0) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3736adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3837biimpac 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0)) → 𝑦 = 𝑧)
39 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
4039biimparc 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝐵𝑦 = 𝑧) → 𝑦𝐵)
41 elin 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝐴))
4241biimpri 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦𝐵𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4342ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4440, 43sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐴 ∧ (𝑧𝐵𝑦 = 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4544expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 = 𝑧𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
4645ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0)) → (𝑦 = 𝑧𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
4738, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4847expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 = 0𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
4948a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5131, 50mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
5251ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5453exp32 420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑦𝐴 → (𝑧𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))))
5554com4l 92 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → (𝑧𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))))
5655imp4c 423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5756exp4a 431 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
5857com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐴 → (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
5958com4l 92 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
6059expd 415 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → ((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))))
6160rexlimdvv 3212 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℋ → (∃𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
626, 61sylbid 240 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
6362com23 86 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
6463imp4b 421 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
651, 64biimtrid 242 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
6665ssrdv 3989 . 2 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ⊆ (𝐵𝐴))
67 shsub1 31343 . . . . 5 ((𝐵S ∧ (span‘{𝐶}) ∈ S ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 + (span‘{𝐶})))
683, 4, 67sylancr 587 . . . 4 (𝐶 ∈ ℋ → 𝐵 ⊆ (𝐵 + (span‘{𝐶})))
6968ssrind 4244 . . 3 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐵𝐴) ⊆ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
7069adantr 480 . 2 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵𝐴) ⊆ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
7166, 70eqssd 4001 1 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  chba 30938   + cva 30939  0c0v 30943   cmv 30944   S csh 30947   C cch 30948   + cph 30950  spancspn 30951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-span 31328
This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  32438
  Copyright terms: Public domain W3C validator