Theorem sumdmdlem 29831

Description: Lemma for sumdmdi 29833. The span of vector 𝐶 not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem	⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))

Proof of Theorem sumdmdlem

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4022	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
2		sumdmdi.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	2	chshii 28638	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		spansnsh 28974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ )
5		shsel 28727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ ) → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6	3, 4, 5	sylancr 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
7		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	cheli 28643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
9	2	cheli 28643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ ℋ)
10		elspansncl 28978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → 𝑤 ∈ ℋ)
11		hvsubadd 28488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦))
12		eqcom 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
13	11, 12	syl6bb 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
14	8, 9, 10, 13	syl3an 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
15	14	3expa 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
16	7	chshii 28638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
17	16, 3	shsvsi 28780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
18		eleq1 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → ((𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
19	17, 18	syl5ibcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
20	19	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
21	15, 20	sylbird 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
22	21	exp32 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
23	22	com4r 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
24	23	imp31 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
25	24	adantrr 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
26	16, 3	shscli 28730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
27		elspansn5 28987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ → (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑤 = 0ℎ))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑤 = 0ℎ)
29	28	exp32 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ)))
30	29	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ)))
31	25, 30	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 = 0ℎ))
32		oveq2 6912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 0ℎ → (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑧 +ℎ 0ℎ))
33		ax-hvaddid 28415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 +ℎ 0ℎ) = 𝑧)
34	32, 33	sylan9eqr 2882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑧)
35	9, 34	sylan 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑧)
36	35	eqeq2d 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
37	36	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
38	37	biimpac 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → 𝑦 = 𝑧)
39		eleq1 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
40	39	biimparc 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝐵)
41		elin 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
42	41	biimpri 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
43	42	ancoms 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
44	40, 43	sylan2 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
45	44	expr 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
46	45	ad2antrl 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
47	38, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
48	47	expr 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
49	48	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
50	49	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
51	31, 50	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
52	51	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
53	52	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
54	53	exp32 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
55	54	com4l 92	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
56	55	imp4c 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
57	56	exp4a 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
58	57	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
59	58	com4l 92	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
60	59	expd 406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
61	60	rexlimdvv 3246	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
62	6, 61	sylbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
63	62	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
64	63	imp4b 414	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
65	1, 64	syl5bi 234	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
66	65	ssrdv 3832	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐴))
67		shsub1 28737	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})))
68	3, 4, 67	sylancr 583	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → 𝐵 ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})))
69	68	ssrind 4063	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
70	69	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
71	66, 70	eqssd 3843	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∃wrex 3117   ∩ cin 3796   ⊆ wss 3797  {csn 4396  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ℋchba 28330   +_ℎ cva 28331  0_ℎc0v 28335   −_ℎ cmv 28336   S_ℋ csh 28339   C_ℋ cch 28340   +_ℋ cph 28342  spancspn 28343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cc 9571  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331  ax-hilex 28410  ax-hfvadd 28411  ax-hvcom 28412  ax-hvass 28413  ax-hv0cl 28414  ax-hvaddid 28415  ax-hfvmul 28416  ax-hvmulid 28417  ax-hvmulass 28418  ax-hvdistr1 28419  ax-hvdistr2 28420  ax-hvmul0 28421  ax-hfi 28490  ax-his1 28493  ax-his2 28494  ax-his3 28495  ax-his4 28496  ax-hcompl 28613

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-omul 7830  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-acn 9080  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-mulg 17894  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-fbas 20102  df-fg 20103  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cld 21193  df-ntr 21194  df-cls 21195  df-nei 21272  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-lm 21403  df-haus 21489  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-fil 22019  df-fm 22111  df-flim 22112  df-flf 22113  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-cfil 23422  df-cau 23423  df-cmet 23424  df-grpo 27902  df-gid 27903  df-ginv 27904  df-gdiv 27905  df-ablo 27954  df-vc 27968  df-nv 28001  df-va 28004  df-ba 28005  df-sm 28006  df-0v 28007  df-vs 28008  df-nmcv 28009  df-ims 28010  df-dip 28110  df-ssp 28131  df-ph 28222  df-cbn 28273  df-hnorm 28379  df-hba 28380  df-hvsub 28382  df-hlim 28383  df-hcau 28384  df-sh 28618  df-ch 28632  df-oc 28663  df-ch0 28664  df-shs 28721  df-span 28722

This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  29832