HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sumdmdlem 31659
Description: Lemma for sumdmdi 31661. The span of vector 𝐢 not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴 ∈ Cβ„‹
sumdmdi.2 𝐡 ∈ Cβ„‹
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
Proof of Theorem sumdmdlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3964 . . . 4 (𝑦 ∈ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
2 sumdmdi.2 . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ Cβ„‹
32chshii 30468 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ Sβ„‹
4 spansnsh 30802 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝐢}) ∈ Sβ„‹ )
5 shsel 30555 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Sβ„‹ ∧ (spanβ€˜{𝐢}) ∈ Sβ„‹ ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ (spanβ€˜{𝐢})𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
63, 4, 5sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ (spanβ€˜{𝐢})𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
7 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴 ∈ Cβ„‹
87cheli 30473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
92cheli 30473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ β„‹)
10 elspansncl 30806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ 𝑀 ∈ β„‹)
11 hvsubadd 30318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑦))
12 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
148, 9, 10, 13syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
15143expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
167chshii 30468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴 ∈ Sβ„‹
1716, 3shsvsi 30608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))
18 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
1917, 18syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2115, 20sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2221exp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))))
2322com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))))
2423imp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2524adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2616, 3shscli 30558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 +β„‹ 𝐡) ∈ Sβ„‹
27 elspansn5 30815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 +β„‹ 𝐡) ∈ Sβ„‹ β†’ (((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ 𝑀 = 0β„Ž))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ 𝑀 = 0β„Ž)
2928exp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑀 = 0β„Ž)))
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑀 = 0β„Ž)))
3125, 30mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 = 0β„Ž))
32 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 = 0β„Ž β†’ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = (𝑧 +β„Ž 0β„Ž))
33 ax-hvaddid 30245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (𝑧 +β„Ž 0β„Ž) = 𝑧)
3432, 33sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑧)
359, 34sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑧)
3635eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3736adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3837biimpac 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž)) β†’ 𝑦 = 𝑧)
39 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑧 ∈ 𝐡))
4039biimparc 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
41 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
4241biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4342ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4440, 43sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4544expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 = 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž)) β†’ (𝑦 = 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
4738, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4847expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 = 0β„Ž β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
4948a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 = 0β„Ž β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5049adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 = 0β„Ž β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5131, 50mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
5251ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5453exp32 422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))))
5554com4l 92 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))))
5655imp4c 425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5756exp4a 433 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
5857com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
5958com4l 92 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
6059expd 417 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))))
6160rexlimdvv 3211 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ (spanβ€˜{𝐢})𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
626, 61sylbid 239 . . . . . 6 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
6362com23 86 . . . . 5 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
6463imp4b 423 . . . 4 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
651, 64biimtrid 241 . . 3 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
6665ssrdv 3988 . 2 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) βŠ† (𝐡 ∩ 𝐴))
67 shsub1 30565 . . . . 5 ((𝐡 ∈ Sβ„‹ ∧ (spanβ€˜{𝐢}) ∈ Sβ„‹ ) β†’ 𝐡 βŠ† (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
683, 4, 67sylancr 588 . . . 4 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ 𝐡 βŠ† (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
6968ssrind 4235 . . 3 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝐡 ∩ 𝐴) βŠ† ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴))
7069adantr 482 . 2 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝐡 ∩ 𝐴) βŠ† ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴))
7166, 70eqssd 3999 1 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   β„‹chba 30160   +β„Ž cva 30161  0β„Žc0v 30165   βˆ’β„Ž cmv 30166   Sβ„‹ csh 30169   Cβ„‹ cch 30170   +β„‹ cph 30172  spancspn 30173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30240  ax-hfvadd 30241  ax-hvcom 30242  ax-hvass 30243  ax-hv0cl 30244  ax-hvaddid 30245  ax-hfvmul 30246  ax-hvmulid 30247  ax-hvmulass 30248  ax-hvdistr1 30249  ax-hvdistr2 30250  ax-hvmul0 30251  ax-hfi 30320  ax-his1 30323  ax-his2 30324  ax-his3 30325  ax-his4 30326  ax-hcompl 30443
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-lm 22725  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cfil 24764  df-cau 24765  df-cmet 24766  df-grpo 29734  df-gid 29735  df-ginv 29736  df-gdiv 29737  df-ablo 29786  df-vc 29800  df-nv 29833  df-va 29836  df-ba 29837  df-sm 29838  df-0v 29839  df-vs 29840  df-nmcv 29841  df-ims 29842  df-dip 29942  df-ssp 29963  df-ph 30054  df-cbn 30104  df-hnorm 30209  df-hba 30210  df-hvsub 30212  df-hlim 30213  df-hcau 30214  df-sh 30448  df-ch 30462  df-oc 30493  df-ch0 30494  df-shs 30549  df-span 30550
This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  31660
  Copyright terms: Public domain W3C validator