HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sumdmdlem 31671
Description: Lemma for sumdmdi 31673. The span of vector 𝐢 not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴 ∈ Cβ„‹
sumdmdi.2 𝐡 ∈ Cβ„‹
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
Proof of Theorem sumdmdlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3965 . . . 4 (𝑦 ∈ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
2 sumdmdi.2 . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ Cβ„‹
32chshii 30480 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ Sβ„‹
4 spansnsh 30814 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝐢}) ∈ Sβ„‹ )
5 shsel 30567 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Sβ„‹ ∧ (spanβ€˜{𝐢}) ∈ Sβ„‹ ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ (spanβ€˜{𝐢})𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
63, 4, 5sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ (spanβ€˜{𝐢})𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
7 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴 ∈ Cβ„‹
87cheli 30485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
92cheli 30485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ β„‹)
10 elspansncl 30818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ 𝑀 ∈ β„‹)
11 hvsubadd 30330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑦))
12 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
148, 9, 10, 13syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
15143expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
167chshii 30480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴 ∈ Sβ„‹
1716, 3shsvsi 30620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))
18 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
1917, 18syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2115, 20sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2221exp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))))
2322com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))))
2423imp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2524adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2616, 3shscli 30570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 +β„‹ 𝐡) ∈ Sβ„‹
27 elspansn5 30827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 +β„‹ 𝐡) ∈ Sβ„‹ β†’ (((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ 𝑀 = 0β„Ž))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ 𝑀 = 0β„Ž)
2928exp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑀 = 0β„Ž)))
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑀 = 0β„Ž)))
3125, 30mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 = 0β„Ž))
32 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 = 0β„Ž β†’ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = (𝑧 +β„Ž 0β„Ž))
33 ax-hvaddid 30257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (𝑧 +β„Ž 0β„Ž) = 𝑧)
3432, 33sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑧)
359, 34sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑧)
3635eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3736adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3837biimpac 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž)) β†’ 𝑦 = 𝑧)
39 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑧 ∈ 𝐡))
4039biimparc 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
41 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
4241biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4342ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4440, 43sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4544expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 = 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž)) β†’ (𝑦 = 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
4738, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4847expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 = 0β„Ž β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
4948a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 = 0β„Ž β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5049adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 = 0β„Ž β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5131, 50mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
5251ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5453exp32 422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))))
5554com4l 92 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))))
5655imp4c 425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5756exp4a 433 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
5857com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
5958com4l 92 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
6059expd 417 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))))
6160rexlimdvv 3211 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ (spanβ€˜{𝐢})𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
626, 61sylbid 239 . . . . . 6 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
6362com23 86 . . . . 5 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
6463imp4b 423 . . . 4 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
651, 64biimtrid 241 . . 3 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
6665ssrdv 3989 . 2 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) βŠ† (𝐡 ∩ 𝐴))
67 shsub1 30577 . . . . 5 ((𝐡 ∈ Sβ„‹ ∧ (spanβ€˜{𝐢}) ∈ Sβ„‹ ) β†’ 𝐡 βŠ† (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
683, 4, 67sylancr 588 . . . 4 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ 𝐡 βŠ† (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
6968ssrind 4236 . . 3 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝐡 ∩ 𝐴) βŠ† ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴))
7069adantr 482 . 2 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝐡 ∩ 𝐴) βŠ† ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴))
7166, 70eqssd 4000 1 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β„‹chba 30172   +β„Ž cva 30173  0β„Žc0v 30177   βˆ’β„Ž cmv 30178   Sβ„‹ csh 30181   Cβ„‹ cch 30182   +β„‹ cph 30184  spancspn 30185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-shs 30561  df-span 30562
This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  31672
  Copyright terms: Public domain W3C validator