Theorem sumdmdlem 32707

Description: Lemma for sumdmdi 32709. The span of vector 𝐶 not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem	⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))

Proof of Theorem sumdmdlem

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3929	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
2		sumdmdi.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	2	chshii 31516	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		spansnsh 31850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ )
5		shsel 31603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ ) → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6	3, 4, 5	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
7		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	cheli 31521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
9	2	cheli 31521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ ℋ)
10		elspansncl 31854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → 𝑤 ∈ ℋ)
11		hvsubadd 31366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦))
12		eqcom 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
13	11, 12	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
14	8, 9, 10, 13	syl3an 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
15	14	3expa 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
16	7	chshii 31516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
17	16, 3	shsvsi 31656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
18		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → ((𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
19	17, 18	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
20	19	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
21	15, 20	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
22	21	exp32 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
23	22	com4r 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
24	23	imp31 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
25	24	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
26	16, 3	shscli 31606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
27		elspansn5 31863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ → (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑤 = 0ℎ))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑤 = 0ℎ)
29	28	exp32 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ)))
30	29	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ)))
31	25, 30	mpdd 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 = 0ℎ))
32		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 0ℎ → (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑧 +ℎ 0ℎ))
33		ax-hvaddid 31293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 +ℎ 0ℎ) = 𝑧)
34	32, 33	sylan9eqr 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑧)
35	9, 34	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑧)
36	35	eqeq2d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
37	36	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
38	37	biimpac 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → 𝑦 = 𝑧)
39		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
40	39	biimparc 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝐵)
41		elin 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
42	41	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
43	42	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
44	40, 43	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
45	44	expr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
46	45	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
47	38, 46	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
48	47	expr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
49	48	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
50	49	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
51	31, 50	mpdd 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
52	51	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
53	52	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
54	53	exp32 425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
55	54	com4l 93	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
56	55	imp4c 428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
57	56	exp4a 436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
58	57	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
59	58	com4l 93	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
60	59	expd 420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
61	60	rexlimdvv 3227	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
62	6, 61	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
63	62	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
64	63	imp4b 426	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
65	1, 64	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
66	65	ssrdv 3951	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐴))
67		shsub1 31613	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})))
68	3, 4, 67	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → 𝐵 ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})))
69	68	ssrind 4204	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
70	69	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
71	66, 70	eqssd 3962	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ℋchba 31208   +_ℎ cva 31209  0_ℎc0v 31213   −_ℎ cmv 31214   S_ℋ csh 31217   C_ℋ cch 31218   +_ℋ cph 31220  spancspn 31221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cc 10415  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176  ax-hilex 31288  ax-hfvadd 31289  ax-hvcom 31290  ax-hvass 31291  ax-hv0cl 31292  ax-hvaddid 31293  ax-hfvmul 31294  ax-hvmulid 31295  ax-hvmulass 31296  ax-hvdistr1 31297  ax-hvdistr2 31298  ax-hvmul0 31299  ax-hfi 31368  ax-his1 31371  ax-his2 31372  ax-his3 31373  ax-his4 31374  ax-hcompl 31491

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-lm 23351  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cfil 25379  df-cau 25380  df-cmet 25381  df-grpo 30782  df-gid 30783  df-ginv 30784  df-gdiv 30785  df-ablo 30834  df-vc 30848  df-nv 30881  df-va 30884  df-ba 30885  df-sm 30886  df-0v 30887  df-vs 30888  df-nmcv 30889  df-ims 30890  df-dip 30990  df-ssp 31011  df-ph 31102  df-cbn 31152  df-hnorm 31257  df-hba 31258  df-hvsub 31260  df-hlim 31261  df-hcau 31262  df-sh 31496  df-ch 31510  df-oc 31541  df-ch0 31542  df-shs 31597  df-span 31598

This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  32708