Theorem sumdmdlem 33013

Description: Lemma for sumdmdi 33015. The span of vector 𝐶 not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem	⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))

Proof of Theorem sumdmdlem

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3915	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
2		sumdmdi.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	2	chshii 31822	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		spansnsh 32156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ )
5		shsel 31909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ ) → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6	3, 4, 5	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
7		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	cheli 31827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
9	2	cheli 31827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ ℋ)
10		elspansncl 32160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → 𝑤 ∈ ℋ)
11		hvsubadd 31672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦))
12		eqcom 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
13	11, 12	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
14	8, 9, 10, 13	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
15	14	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
16	7	chshii 31822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
17	16, 3	shsvsi 31962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
18		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → ((𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
19	17, 18	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
21	15, 20	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
22	21	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
23	22	com4r 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
24	23	imp31 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
25	24	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
26	16, 3	shscli 31912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
27		elspansn5 32169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ → (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑤 = 0ℎ))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑤 = 0ℎ)
29	28	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ)))
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ)))
31	25, 30	mpdd 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 = 0ℎ))
32		oveq2 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 0ℎ → (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑧 +ℎ 0ℎ))
33		ax-hvaddid 31599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 +ℎ 0ℎ) = 𝑧)
34	32, 33	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑧)
35	9, 34	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑧)
36	35	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
37	36	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
38	37	biimpac 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → 𝑦 = 𝑧)
39		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
40	39	biimparc 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝐵)
41		elin 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
42	41	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
43	42	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
44	40, 43	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
45	44	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
46	45	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
47	38, 46	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
48	47	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
49	48	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
51	31, 50	mpdd 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
52	51	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
53	52	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
54	53	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
55	54	com4l 93	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
56	55	imp4c 429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
57	56	exp4a 437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
58	57	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
59	58	com4l 93	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
60	59	expd 421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
61	60	rexlimdvv 3219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
62	6, 61	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
63	62	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
64	63	imp4b 427	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
65	1, 64	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
66	65	ssrdv 3937	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐴))
67		shsub1 31919	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})))
68	3, 4, 67	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → 𝐵 ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})))
69	68	ssrind 4189	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
70	69	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
71	66, 70	eqssd 3948	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ℋchba 31514   +_ℎ cva 31515  0_ℎc0v 31519   −_ℎ cmv 31520   S_ℋ csh 31523   C_ℋ cch 31524   +_ℋ cph 31526  spancspn 31527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cc 10506  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr1 31603  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his2 31678  ax-his3 31679  ax-his4 31680  ax-hcompl 31797

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-lm 23540  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cfil 25569  df-cau 25570  df-cmet 25571  df-grpo 31088  df-gid 31089  df-ginv 31090  df-gdiv 31091  df-ablo 31140  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-vs 31194  df-nmcv 31195  df-ims 31196  df-dip 31296  df-ssp 31317  df-ph 31408  df-cbn 31458  df-hnorm 31563  df-hba 31564  df-hvsub 31566  df-hlim 31567  df-hcau 31568  df-sh 31802  df-ch 31816  df-oc 31847  df-ch0 31848  df-shs 31903  df-span 31904

This theorem is used by:  sumdmdlem2  33014