HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdmdlem 32446
Description: Lemma for sumdmdi 32448. The span of vector 𝐶 not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem sumdmdlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3978 . . . 4 (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦𝐴))
2 sumdmdi.2 . . . . . . . . 9 𝐵C
32chshii 31255 . . . . . . . 8 𝐵S
4 spansnsh 31589 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → (span‘{𝐶}) ∈ S )
5 shsel 31342 . . . . . . . 8 ((𝐵S ∧ (span‘{𝐶}) ∈ S ) → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
63, 4, 5sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
7 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴C
87cheli 31260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
92cheli 31260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧𝐵𝑧 ∈ ℋ)
10 elspansncl 31593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → 𝑤 ∈ ℋ)
11 hvsubadd 31105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤 ↔ (𝑧 + 𝑤) = 𝑦))
12 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 + 𝑤) = 𝑦𝑦 = (𝑧 + 𝑤))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
148, 9, 10, 13syl3an 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑧𝐵 ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
15143expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
167chshii 31255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴S
1716, 3shsvsi 31395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐵))
18 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 𝑧) = 𝑤 → ((𝑦 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
1917, 18syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2115, 20sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2221exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
2322com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
2423imp31 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2524adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2616, 3shscli 31345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 + 𝐵) ∈ S
27 elspansn5 31602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 + 𝐵) ∈ S → (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → 𝑤 = 0))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → 𝑤 = 0)
2928exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑤 = 0)))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑤 = 0)))
3125, 30mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 = 0))
32 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 0 → (𝑧 + 𝑤) = (𝑧 + 0))
33 ax-hvaddid 31032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 + 0) = 𝑧)
3432, 33sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 = 0) → (𝑧 + 𝑤) = 𝑧)
359, 34sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝐵𝑤 = 0) → (𝑧 + 𝑤) = 𝑧)
3635eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝐵𝑤 = 0) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3736adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3837biimpac 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0)) → 𝑦 = 𝑧)
39 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
4039biimparc 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝐵𝑦 = 𝑧) → 𝑦𝐵)
41 elin 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝐴))
4241biimpri 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦𝐵𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4342ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4440, 43sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐴 ∧ (𝑧𝐵𝑦 = 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4544expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 = 𝑧𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
4645ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0)) → (𝑦 = 𝑧𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
4738, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4847expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 = 0𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
4948a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5131, 50mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
5251ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5453exp32 420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑦𝐴 → (𝑧𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))))
5554com4l 92 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → (𝑧𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))))
5655imp4c 423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5756exp4a 431 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
5857com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐴 → (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
5958com4l 92 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
6059expd 415 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → ((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))))
6160rexlimdvv 3209 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℋ → (∃𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
626, 61sylbid 240 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
6362com23 86 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
6463imp4b 421 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
651, 64biimtrid 242 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
6665ssrdv 4000 . 2 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ⊆ (𝐵𝐴))
67 shsub1 31352 . . . . 5 ((𝐵S ∧ (span‘{𝐶}) ∈ S ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 + (span‘{𝐶})))
683, 4, 67sylancr 587 . . . 4 (𝐶 ∈ ℋ → 𝐵 ⊆ (𝐵 + (span‘{𝐶})))
6968ssrind 4251 . . 3 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐵𝐴) ⊆ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
7069adantr 480 . 2 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵𝐴) ⊆ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
7166, 70eqssd 4012 1 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  cin 3961  wss 3962  {csn 4630  cfv 6562  (class class class)co 7430  chba 30947   + cva 30948  0c0v 30952   cmv 30953   S csh 30956   C cch 30957   + cph 30959  spancspn 30960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-span 31337
This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  32447
  Copyright terms: Public domain W3C validator