HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdmdlem 31246
Description: Lemma for sumdmdi 31248. The span of vector 𝐶 not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem sumdmdlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3924 . . . 4 (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦𝐴))
2 sumdmdi.2 . . . . . . . . 9 𝐵C
32chshii 30055 . . . . . . . 8 𝐵S
4 spansnsh 30389 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → (span‘{𝐶}) ∈ S )
5 shsel 30142 . . . . . . . 8 ((𝐵S ∧ (span‘{𝐶}) ∈ S ) → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
63, 4, 5sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
7 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴C
87cheli 30060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
92cheli 30060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧𝐵𝑧 ∈ ℋ)
10 elspansncl 30393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → 𝑤 ∈ ℋ)
11 hvsubadd 29905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤 ↔ (𝑧 + 𝑤) = 𝑦))
12 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 + 𝑤) = 𝑦𝑦 = (𝑧 + 𝑤))
1311, 12bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
148, 9, 10, 13syl3an 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑧𝐵 ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
15143expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
167chshii 30055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴S
1716, 3shsvsi 30195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐵))
18 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 𝑧) = 𝑤 → ((𝑦 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
1917, 18syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 𝑧) = 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2115, 20sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2221exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
2322com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
2423imp31 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2524adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
2616, 3shscli 30145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 + 𝐵) ∈ S
27 elspansn5 30402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 + 𝐵) ∈ S → (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → 𝑤 = 0))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → 𝑤 = 0)
2928exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑤 = 0)))
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑤 = 0)))
3125, 30mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 = 0))
32 oveq2 7361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 0 → (𝑧 + 𝑤) = (𝑧 + 0))
33 ax-hvaddid 29832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 + 0) = 𝑧)
3432, 33sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 = 0) → (𝑧 + 𝑤) = 𝑧)
359, 34sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝐵𝑤 = 0) → (𝑧 + 𝑤) = 𝑧)
3635eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝐵𝑤 = 0) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3736adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3837biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0)) → 𝑦 = 𝑧)
39 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
4039biimparc 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝐵𝑦 = 𝑧) → 𝑦𝐵)
41 elin 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝐴))
4241biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦𝐵𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4342ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4440, 43sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐴 ∧ (𝑧𝐵𝑦 = 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4544expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝐴𝑧𝐵) → (𝑦 = 𝑧𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
4645ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0)) → (𝑦 = 𝑧𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
4738, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ((𝑦𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑤 = 0)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))
4847expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 = 0𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
4948a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5131, 50mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
5251ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5453exp32 421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑦𝐴 → (𝑧𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))))
5554com4l 92 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → (𝑧𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))))
5655imp4c 424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))
5756exp4a 432 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
5857com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐴 → (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
5958com4l 92 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
6059expd 416 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → ((𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴))))))
6160rexlimdvv 3202 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℋ → (∃𝑧𝐵𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
626, 61sylbid 239 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
6362com23 86 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))))
6463imp4b 422 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
651, 64biimtrid 241 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)))
6665ssrdv 3948 . 2 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ⊆ (𝐵𝐴))
67 shsub1 30152 . . . . 5 ((𝐵S ∧ (span‘{𝐶}) ∈ S ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 + (span‘{𝐶})))
683, 4, 67sylancr 587 . . . 4 (𝐶 ∈ ℋ → 𝐵 ⊆ (𝐵 + (span‘{𝐶})))
6968ssrind 4193 . . 3 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐵𝐴) ⊆ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
7069adantr 481 . 2 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵𝐴) ⊆ ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
7166, 70eqssd 3959 1 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  cin 3907  wss 3908  {csn 4584  cfv 6493  (class class class)co 7353  chba 29747   + cva 29748  0c0v 29752   cmv 29753   S csh 29756   C cch 29757   + cph 29759  spancspn 29760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cc 10367  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127  ax-hilex 29827  ax-hfvadd 29828  ax-hvcom 29829  ax-hvass 29830  ax-hv0cl 29831  ax-hvaddid 29832  ax-hfvmul 29833  ax-hvmulid 29834  ax-hvmulass 29835  ax-hvdistr1 29836  ax-hvdistr2 29837  ax-hvmul0 29838  ax-hfi 29907  ax-his1 29910  ax-his2 29911  ax-his3 29912  ax-his4 29913  ax-hcompl 30030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-oadd 8412  df-omul 8413  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-acn 9874  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-lm 22564  df-haus 22650  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cfil 24603  df-cau 24604  df-cmet 24605  df-grpo 29321  df-gid 29322  df-ginv 29323  df-gdiv 29324  df-ablo 29373  df-vc 29387  df-nv 29420  df-va 29423  df-ba 29424  df-sm 29425  df-0v 29426  df-vs 29427  df-nmcv 29428  df-ims 29429  df-dip 29529  df-ssp 29550  df-ph 29641  df-cbn 29691  df-hnorm 29796  df-hba 29797  df-hvsub 29799  df-hlim 29800  df-hcau 29801  df-sh 30035  df-ch 30049  df-oc 30080  df-ch0 30081  df-shs 30136  df-span 30137
This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  31247
  Copyright terms: Public domain W3C validator