Theorem sumdmdlem 33026

Description: Lemma for sumdmdi 33028. The span of vector 𝐶 not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem	⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))

Proof of Theorem sumdmdlem

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4093	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
2		sumdmdi.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	2	chshii 31835	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		spansnsh 32169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ )
5		shsel 31922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ ) → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6	3, 4, 5	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
7		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	cheli 31840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
9	2	cheli 31840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ ℋ)
10		elspansncl 32173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → 𝑤 ∈ ℋ)
11		hvsubadd 31685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦))
12		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
13	11, 12	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
14	8, 9, 10, 13	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
15	14	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 ↔ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
16	7	chshii 31835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
17	16, 3	shsvsi 31975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
18		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → ((𝑦 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
19	17, 18	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → ((𝑦 −ℎ 𝑧) = 𝑤 → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
21	15, 20	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶}))) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
22	21	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
23	22	com4r 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
24	23	imp31 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
25	24	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
26	16, 3	shscli 31925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
27		elspansn5 32182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ → (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑤 = 0ℎ))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑤 = 0ℎ)
29	28	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ)))
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ)))
31	25, 30	mpdd 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑤 = 0ℎ))
32		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 0ℎ → (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑧 +ℎ 0ℎ))
33		ax-hvaddid 31612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 +ℎ 0ℎ) = 𝑧)
34	32, 33	sylan9eqr 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑧)
35	9, 34	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = 𝑧)
36	35	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
37	36	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑧))
38	37	biimpac 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → 𝑦 = 𝑧)
39		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
40	39	biimparc 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝐵)
41		elin 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
42	41	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
43	42	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
44	40, 43	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
45	44	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
46	45	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
47	38, 46	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 = 0ℎ)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
48	47	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
49	48	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑤 = 0ℎ → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
51	31, 50	mpdd 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
52	51	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
53	52	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
54	53	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
55	54	com4l 93	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
56	55	imp4c 429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))
57	56	exp4a 437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
58	57	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
59	58	com4l 93	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
60	59	expd 421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))))))
61	60	rexlimdvv 3218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ (span‘{𝐶})𝑦 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
62	6, 61	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
63	62	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))))
64	63	imp4b 427	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
65	1, 64	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴)))
66	65	ssrdv 3914	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐴))
67		shsub1 31932	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐶}) ∈ Sℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})))
68	3, 4, 67	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → 𝐵 ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})))
69	68	ssrind 4140	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
70	69	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴))
71	66, 70	eqssd 3925	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝐶})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ℋchba 31527   +_ℎ cva 31528  0_ℎc0v 31532   −_ℎ cmv 31533   S_ℋ csh 31536   C_ℋ cch 31537   +_ℋ cph 31539  spancspn 31540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cc 10517  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283  ax-mulf 11284  ax-hilex 31607  ax-hfvadd 31608  ax-hvcom 31609  ax-hvass 31610  ax-hv0cl 31611  ax-hvaddid 31612  ax-hfvmul 31613  ax-hvmulid 31614  ax-hvmulass 31615  ax-hvdistr1 31616  ax-hvdistr2 31617  ax-hvmul0 31618  ax-hfi 31687  ax-his1 31690  ax-his2 31691  ax-his3 31692  ax-his4 31693  ax-hcompl 31810

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-acn 10027  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-lm 23553  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cfil 25582  df-cau 25583  df-cmet 25584  df-grpo 31101  df-gid 31102  df-ginv 31103  df-gdiv 31104  df-ablo 31153  df-vc 31167  df-nv 31200  df-va 31203  df-ba 31204  df-sm 31205  df-0v 31206  df-vs 31207  df-nmcv 31208  df-ims 31209  df-dip 31309  df-ssp 31330  df-ph 31421  df-cbn 31471  df-hnorm 31576  df-hba 31577  df-hvsub 31579  df-hlim 31580  df-hcau 31581  df-sh 31815  df-ch 31829  df-oc 31860  df-ch0 31861  df-shs 31916  df-span 31917

This theorem is used by:  sumdmdlem2  33027