HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sumdmdlem 31938
Description: Lemma for sumdmdi 31940. The span of vector 𝐢 not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴 ∈ Cβ„‹
sumdmdi.2 𝐡 ∈ Cβ„‹
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
Proof of Theorem sumdmdlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3963 . . . 4 (𝑦 ∈ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
2 sumdmdi.2 . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ Cβ„‹
32chshii 30747 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ Sβ„‹
4 spansnsh 31081 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝐢}) ∈ Sβ„‹ )
5 shsel 30834 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Sβ„‹ ∧ (spanβ€˜{𝐢}) ∈ Sβ„‹ ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ (spanβ€˜{𝐢})𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
63, 4, 5sylancr 585 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ (spanβ€˜{𝐢})𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
7 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴 ∈ Cβ„‹
87cheli 30752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
92cheli 30752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ β„‹)
10 elspansncl 31085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ 𝑀 ∈ β„‹)
11 hvsubadd 30597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑦))
12 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀))
1311, 12bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
148, 9, 10, 13syl3an 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
15143expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 ↔ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)))
167chshii 30747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐴 ∈ Sβ„‹
1716, 3shsvsi 30887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))
18 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
1917, 18syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2019adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ ((𝑦 βˆ’β„Ž 𝑧) = 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2115, 20sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2221exp32 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))))
2322com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))))
2423imp31 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2524adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
2616, 3shscli 30837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 +β„‹ 𝐡) ∈ Sβ„‹
27 elspansn5 31094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 +β„‹ 𝐡) ∈ Sβ„‹ β†’ (((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ 𝑀 = 0β„Ž))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) ∧ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ 𝑀 = 0β„Ž)
2928exp32 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑀 = 0β„Ž)))
3029adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑀 = 0β„Ž)))
3125, 30mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑀 = 0β„Ž))
32 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 = 0β„Ž β†’ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = (𝑧 +β„Ž 0β„Ž))
33 ax-hvaddid 30524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (𝑧 +β„Ž 0β„Ž) = 𝑧)
3432, 33sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑧)
359, 34sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑧 +β„Ž 𝑀) = 𝑧)
3635eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3736adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3837biimpac 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž)) β†’ 𝑦 = 𝑧)
39 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑧 ∈ 𝐡))
4039biimparc 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
41 elin 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
4241biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4342ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4440, 43sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4544expr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 = 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
4645ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž)) β†’ (𝑦 = 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
4738, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = 0β„Ž)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))
4847expr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 = 0β„Ž β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
4948a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 = 0β„Ž β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5049adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑀 = 0β„Ž β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5131, 50mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
5251ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5453exp32 419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))))
5554com4l 92 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))))
5655imp4c 422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))
5756exp4a 430 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
5857com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
5958com4l 92 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀)) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
6059expd 414 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴))))))
6160rexlimdvv 3208 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ (spanβ€˜{𝐢})𝑦 = (𝑧 +β„Ž 𝑀) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
626, 61sylbid 239 . . . . . 6 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
6362com23 86 . . . . 5 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))))
6463imp4b 420 . . . 4 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
651, 64biimtrid 241 . . 3 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 ∩ 𝐴)))
6665ssrdv 3987 . 2 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) βŠ† (𝐡 ∩ 𝐴))
67 shsub1 30844 . . . . 5 ((𝐡 ∈ Sβ„‹ ∧ (spanβ€˜{𝐢}) ∈ Sβ„‹ ) β†’ 𝐡 βŠ† (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
683, 4, 67sylancr 585 . . . 4 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ 𝐡 βŠ† (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
6968ssrind 4234 . . 3 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (𝐡 ∩ 𝐴) βŠ† ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴))
7069adantr 479 . 2 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (𝐡 ∩ 𝐴) βŠ† ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴))
7166, 70eqssd 3998 1 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   β„‹chba 30439   +β„Ž cva 30440  0β„Žc0v 30444   βˆ’β„Ž cmv 30445   Sβ„‹ csh 30448   Cβ„‹ cch 30449   +β„‹ cph 30451  spancspn 30452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605  ax-hcompl 30722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-dip 30221  df-ssp 30242  df-ph 30333  df-cbn 30383  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-hlim 30492  df-hcau 30493  df-sh 30727  df-ch 30741  df-oc 30772  df-ch0 30773  df-shs 30828  df-span 30829
This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  31939
  Copyright terms: Public domain W3C validator