Theorem cphipcl 24462

Description: An inner product is a member of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmsq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmsq.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphipcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cphipcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	cphsubrg 24451	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld))
4		cnfldbas 20708	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	subrgss 20131	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ ℂ)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ ℂ)
7	6	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ ℂ)
8		cphphl 24442	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
9		nmsq.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
10		nmsq.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11	1, 9, 10, 2	ipcl 20945	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
12	8, 11	syl3an1 1162	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	7, 12	sseldd 3933	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  ℂcc 10971  Basecbs 17010  Scalarcsca 17063  ·_𝑖cip 17065  SubRingcsubrg 20126  ℂ_fldccnfld 20704  PreHilcphl 20936  ℂPreHilccph 24437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-addf 11052  ax-mulf 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-tpos 8113  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-fz 13342  df-seq 13824  df-exp 13885  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-0g 17250  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-grp 18677  df-subg 18849  df-ghm 18929  df-cmn 19484  df-mgp 19817  df-ur 19834  df-ring 19881  df-cring 19882  df-oppr 19958  df-dvdsr 19979  df-unit 19980  df-drng 20096  df-subrg 20128  df-lmhm 20391  df-lvec 20472  df-sra 20541  df-rgmod 20542  df-cnfld 20705  df-phl 20938  df-cph 24439

This theorem is referenced by:  nmsq  24465  cphipipcj  24471  cphassr  24483  cph2ass  24484  cphpyth  24487  cphipval2  24512  ipcnlem2  24515  pjthlem1  24708