Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphipcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphipcl 23799
 Description: An inner product is a member of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmsq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmsq.h , = (·𝑖𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphipcl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cphipcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31, 2cphsubrg 23788 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld))
4 cnfldbas 20098 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
54subrgss 19532 . . . 4 ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ ℂ)
63, 5syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ ℂ)
763ad2ant1 1130 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ ℂ)
8 cphphl 23779 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
9 nmsq.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
10 nmsq.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
111, 9, 10, 2ipcl 20325 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
128, 11syl3an1 1160 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
137, 12sseldd 3919 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563  ·𝑖cip 16565  SubRingcsubrg 19527  ℂfldccnfld 20094  PreHilcphl 20316  ℂPreHilccph 23774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cmn 18903  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-drng 19500  df-subrg 19529  df-lmhm 19790  df-lvec 19871  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-cnfld 20095  df-phl 20318  df-cph 23776 This theorem is referenced by:  nmsq  23802  cphipipcj  23808  cphassr  23820  cph2ass  23821  cphipval2  23848  ipcnlem2  23851  pjthlem1  24044
 Copyright terms: Public domain W3C validator