Theorem cphipcl 25381

Description: An inner product is a member of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmsq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmsq.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphipcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cphipcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	cphsubrg 25370	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld))
4		cnfldbas 21556	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	subrgss 20701	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ ℂ)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ ℂ)
7	6	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ ℂ)
8		cphphl 25361	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
9		nmsq.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
10		nmsq.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11	1, 9, 10, 2	ipcl 21813	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
12	8, 11	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	7, 12	sseldd 3939	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  Basecbs 17287  Scalarcsca 17331  ·_𝑖cip 17333  SubRingcsubrg 20698  ℂ_fldccnfld 21552  PreHilcphl 21804  ℂPreHilccph 25356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-seq 14052  df-exp 14112  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-subg 19213  df-ghm 19308  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-cring 20342  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-subrg 20699  df-drng 20859  df-lmhm 21173  df-lvec 21254  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-cnfld 21553  df-phl 21806  df-cph 25358

This theorem is used by:  nmsq  25384  cphipipcj  25390  cphassr  25402  cph2ass  25403  cphpyth  25406  cphipval2  25431  ipcnlem2  25434  pjthlem1  25627