Theorem cphorthcom 23799

Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. Complex version of iporthcom 20773. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphorthcom	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))

Proof of Theorem cphorthcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphphl 23769	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		cphipcj.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
4		cphipcj.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6	2, 3, 4, 5	iporthcom 20773	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐵 , 𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7	1, 6	syl3an1 1159	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐵 , 𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
8		cphclm 23787	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
9	2	clm0 23670	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
11	10	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
12	11	eqeq2d 2832	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 , 𝐵) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
13	11	eqeq2d 2832	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐵 , 𝐴) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
14	7, 12, 13	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0cc0 10531  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562  ·_𝑖cip 16564  0_gc0g 16707  PreHilcphl 20762  ℂModcclm 23660  ℂPreHilccph 23764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-grp 18100  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cmn 18902  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-rnghom 19461  df-drng 19498  df-subrg 19527  df-staf 19610  df-srng 19611  df-lmod 19630  df-lmhm 19788  df-lvec 19869  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-cnfld 20540  df-phl 20764  df-nlm 23190  df-clm 23661  df-cph 23766

This theorem is referenced by: (None)