Theorem cphsubdi 23531

Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ipsubdi 20504. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphsubdi	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem cphsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphphl 23493	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		cphipcj.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
4		cphipcj.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		cphsubdir.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
6		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
7	2, 3, 4, 5, 6	ipsubdi 20504	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐴 , 𝐶)))
8	1, 7	sylan 572	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐴 , 𝐶)))
9		cphclm 23511	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
10	9	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
11	1	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
12		simpr1 1175	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		simpr2 1176	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
14		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15	2, 3, 4, 14	ipcl 20494	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	11, 12, 13, 15	syl3anc 1352	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		simpr3 1177	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
18	2, 3, 4, 14	ipcl 20494	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	11, 12, 17, 18	syl3anc 1352	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20	2, 14	clmsub 23402	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐴 , 𝐶)))
21	10, 16, 19, 20	syl3anc 1352	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐴 , 𝐶)))
22	8, 21	eqtr4d 2810	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974   − cmin 10668  Basecbs 16337  Scalarcsca 16422  ·_𝑖cip 16424  -_gcsg 17905  PreHilcphl 20485  ℂModcclm 23384  ℂPreHilccph 23488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-addf 10412  ax-mulf 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-seq 13183  df-exp 13243  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-ghm 18139  df-cmn 18680  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-cring 19035  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-rnghom 19202  df-drng 19239  df-subrg 19268  df-staf 19350  df-srng 19351  df-lmod 19370  df-lmhm 19528  df-lvec 19609  df-sra 19678  df-rgmod 19679  df-cnfld 20263  df-phl 20487  df-nlm 22914  df-clm 23385  df-cph 23490

This theorem is referenced by:  ipcnlem2  23565  pjthlem1  23758