Theorem bncssbn 25299

Description: A closed subspace of a Banach space which is also a subcomplex pre-Hilbert space is a Banach space. Remark: the assumption that the Banach space must be a (subcomplex) pre-Hilbert space is required because the definition of ClSubSp is based on an inner product. If ClSubSp was generalized for arbitrary topological spaces, this assuption could be omitted. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmslssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cmscsscms.s	⊢ 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
bncssbn	⊢ (((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem bncssbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnvc 25265	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmVec)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	2	bnsca 25264	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
4	1, 3	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → (𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp))
5	4	ad2antrr 726	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp))
6		bncms 25269	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
7		cmslssbn.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
8		cmscsscms.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)
9	7, 8	cmscsscms 25298	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ CMetSp)
10	6, 9	sylanl1 680	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ CMetSp)
11		cphphl 25096	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ PreHil)
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	8, 13	csslss 21626	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	12, 14	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	7, 13	cmslssbn 25297	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))) → 𝑋 ∈ Ban)
17	5, 10, 15, 16	syl12anc 836	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ Ban)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↾_s cress 17138  Scalarcsca 17161  LSubSpclss 20862  PreHilcphl 21559  ClSubSpccss 21596  NrmVeccnvc 24494  ℂPreHilccph 25091  CMetSpccms 25257  Bancbn 25258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-drng 20644  df-staf 20752  df-srng 20753  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lmhm 20954  df-lvec 21035  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-phl 21561  df-ipf 21562  df-ocv 21598  df-css 21599  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-t1 23227  df-haus 23228  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-flim 23852  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-nm 24495  df-ngp 24496  df-tng 24497  df-nlm 24499  df-nvc 24500  df-clm 24988  df-cph 25093  df-tcph 25094  df-cfil 25180  df-cmet 25182  df-cms 25260  df-bn 25261

This theorem is referenced by:  chlcsschl  25303