Theorem cphcjcl 25504

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphcjcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphcjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsca.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		cphsca.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	cphsca 25500	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
4	3	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
5	2	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ V
6		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
7		cnfldcj 21687	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
8	6, 7	ressstarv 17479	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ V → ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾))
10	4, 9	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
12	11	fveq1d 6887	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) = (∗‘𝐴))
13		cphphl 25492	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
14	1	phlsrng 21937	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
17	16, 2	srngcl 21106	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
18	15, 17	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
19	12, 18	eqeltrrd 2861	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ∗ccj 15263  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  *_𝑟cstv 17430  Scalarcsca 17431  *-Ringcsr 21095  ℂ_fldccnfld 21678  PreHilcphl 21930  ℂPreHilccph 25487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-cj 15266  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mhm 18978  df-ghm 19428  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-rhm 20702  df-staf 21096  df-srng 21097  df-cnfld 21679  df-phl 21932  df-cph 25489

This theorem is used by:  cphabscl  25506