MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphcjcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cphcjcl 24700
Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphsca.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cphcjcl ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ 𝐾)
Proof of Theorem cphcjcl
StepHypRef Expression
1 cphsca.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 cphsca.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
31, 2cphsca 24696 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
43fveq2d 6896 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
52fvexi 6906 . . . . . 6 𝐾 ∈ V
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
7 cnfldcj 20951 . . . . . . 7 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜β„‚fld)
86, 7ressstarv 17253 . . . . . 6 (𝐾 ∈ V β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
95, 8ax-mp 5 . . . . 5 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
104, 9eqtr4di 2791 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = βˆ—)
1110adantr 482 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = βˆ—)
1211fveq1d 6894 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π΄) = (βˆ—β€˜π΄))
13 cphphl 24688 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
141phlsrng 21184 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
1513, 14syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
16 eqid 2733 . . . 4 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
1716, 2srngcl 20463 . . 3 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
1815, 17sylan 581 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
1912, 18eqeltrrd 2835 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  βˆ—ccj 15043  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  *π‘Ÿcstv 17199  Scalarcsca 17200  *-Ringcsr 20452  β„‚fldccnfld 20944  PreHilcphl 21177  β„‚PreHilccph 24683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-cj 15046  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mhm 18671  df-ghm 19090  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-rnghom 20251  df-staf 20453  df-srng 20454  df-cnfld 20945  df-phl 21179  df-cph 24685
This theorem is referenced by:  cphabscl  24702
  Copyright terms: Public domain W3C validator