Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphcjcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphcjcl 23777
 Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphcjcl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphcjcl
StepHypRef Expression
1 cphsca.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 cphsca.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2cphsca 23773 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
43fveq2d 6655 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟𝐹) = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾)))
52fvexi 6665 . . . . . 6 𝐾 ∈ V
6 eqid 2824 . . . . . . 7 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
7 cnfldcj 20538 . . . . . . 7 ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
86, 7ressstarv 16615 . . . . . 6 (𝐾 ∈ V → ∗ = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾)))
95, 8ax-mp 5 . . . . 5 ∗ = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾))
104, 9syl6eqr 2877 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟𝐹) = ∗)
1110adantr 484 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (*𝑟𝐹) = ∗)
1211fveq1d 6653 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → ((*𝑟𝐹)‘𝐴) = (∗‘𝐴))
13 cphphl 23765 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
141phlsrng 20761 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
16 eqid 2824 . . . 4 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
1716, 2srngcl 19612 . . 3 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐴𝐾) → ((*𝑟𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
1815, 17sylan 583 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → ((*𝑟𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
1912, 18eqeltrrd 2917 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3479  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  ∗ccj 14444  Basecbs 16472   ↾s cress 16473  *𝑟cstv 16556  Scalarcsca 16557  *-Ringcsr 19601  ℂfldccnfld 20531  PreHilcphl 20754  ℂPreHilccph 23760 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-cj 14447  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-0g 16704  df-mhm 17945  df-ghm 18345  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-rnghom 19456  df-staf 19602  df-srng 19603  df-cnfld 20532  df-phl 20756  df-cph 23762 This theorem is referenced by:  cphabscl  23779
 Copyright terms: Public domain W3C validator