Theorem cphcjcl 25090

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphcjcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphcjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsca.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		cphsca.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	cphsca 25086	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
4	3	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
5	2	fvexi 6875	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ V
6		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
7		cnfldcj 21280	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
8	6, 7	ressstarv 17278	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ V → ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾))
10	4, 9	eqtr4di 2783	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
12	11	fveq1d 6863	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) = (∗‘𝐴))
13		cphphl 25078	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
14	1	phlsrng 21547	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
16		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
17	16, 2	srngcl 20765	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
18	15, 17	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
19	12, 18	eqeltrrd 2830	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ∗ccj 15069  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  *_𝑟cstv 17229  Scalarcsca 17230  *-Ringcsr 20754  ℂ_fldccnfld 21271  PreHilcphl 21540  ℂPreHilccph 25073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-cj 15072  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-mhm 18717  df-ghm 19152  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-rhm 20388  df-staf 20755  df-srng 20756  df-cnfld 21272  df-phl 21542  df-cph 25075

This theorem is referenced by:  cphabscl  25092