Theorem cphcjcl 25531

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphcjcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphcjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsca.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		cphsca.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	cphsca 25527	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
4	3	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
5	2	fvexi 6919	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ V
6		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
7		cnfldcj 21714	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
8	6, 7	ressstarv 17505	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ V → ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾))
10	4, 9	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
12	11	fveq1d 6907	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) = (∗‘𝐴))
13		cphphl 25519	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
14	1	phlsrng 21964	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
17	16, 2	srngcl 21133	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
18	15, 17	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
19	12, 18	eqeltrrd 2865	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ∗ccj 15289  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  *_𝑟cstv 17456  Scalarcsca 17457  *-Ringcsr 21122  ℂ_fldccnfld 21705  PreHilcphl 21957  ℂPreHilccph 25514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-cj 15292  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-0g 17638  df-mhm 19004  df-ghm 19454  df-mgp 20388  df-ur 20435  df-ring 20488  df-rhm 20729  df-staf 21123  df-srng 21124  df-cnfld 21706  df-phl 21959  df-cph 25516

This theorem is used by:  cphabscl  25533