Theorem cphcjcl 25141

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphcjcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphcjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsca.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		cphsca.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	cphsca 25137	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
4	3	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
5	2	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ V
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
7		cnfldcj 21320	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
8	6, 7	ressstarv 17230	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ V → ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾))
10	4, 9	eqtr4di 2789	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
12	11	fveq1d 6836	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) = (∗‘𝐴))
13		cphphl 25129	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
14	1	phlsrng 21588	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
17	16, 2	srngcl 20784	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
18	15, 17	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
19	12, 18	eqeltrrd 2837	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ∗ccj 15021  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  *_𝑟cstv 17181  Scalarcsca 17182  *-Ringcsr 20773  ℂ_fldccnfld 21311  PreHilcphl 21581  ℂPreHilccph 25124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-cj 15024  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-mhm 18710  df-ghm 19144  df-mgp 20078  df-ur 20119  df-ring 20172  df-rhm 20410  df-staf 20774  df-srng 20775  df-cnfld 21312  df-phl 21583  df-cph 25126

This theorem is referenced by:  cphabscl  25143