Theorem cph2di 23812

Description: Distributive law for inner product. Complex version of ip2di 20330. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphdir.P	⊢ + = (+g‘𝑊)
cph2di.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cph2di.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cph2di.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
cph2di.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
cph2di.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cph2di	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem cph2di

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		cphipcj.h	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		cphipcj.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		cphdir.P	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
5		eqid 2798	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
6		cph2di.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
7		cphphl 23776	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
9		cph2di.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		cph2di.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
11		cph2di.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
12		cph2di.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
13	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12	ip2di 20330	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(+g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
14		cphclm 23794	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
15	1	clmadd 23679	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
16	6, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
17	16	oveqd 7152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷)))
18	16	oveqd 7152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
19	16, 17, 18	oveq123d 7156	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(+g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
20	13, 19	eqtr4d 2836	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   + caddc 10529  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560  ·_𝑖cip 16562  PreHilcphl 20313  ℂModcclm 23667  ℂPreHilccph 23771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-staf 19609  df-srng 19610  df-lmod 19629  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-cnfld 20092  df-phl 20315  df-nlm 23193  df-clm 23668  df-cph 23773

This theorem is referenced by:  nmparlem  23843  cphipval2  23845