Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cph2di 23791
 Description: Distributive law for inner product. Complex version of ip2di 20761. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphdir.P + = (+g𝑊)
cph2di.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
cph2di.2 (𝜑𝐴𝑉)
cph2di.3 (𝜑𝐵𝑉)
cph2di.4 (𝜑𝐶𝑉)
cph2di.5 (𝜑𝐷𝑉)
Assertion
Ref Expression
cph2di (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem cph2di
StepHypRef Expression
1 eqid 2820 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2 cphipcj.h . . 3 , = (·𝑖𝑊)
3 cphipcj.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 cphdir.P . . 3 + = (+g𝑊)
5 eqid 2820 . . 3 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
6 cph2di.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
7 cphphl 23755 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
9 cph2di.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
10 cph2di.3 . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
11 cph2di.4 . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
12 cph2di.5 . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
131, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12ip2di 20761 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(+g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
14 cphclm 23773 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
151clmadd 23658 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
166, 14, 153syl 18 . . 3 (𝜑 → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
1716oveqd 7150 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷)))
1816oveqd 7150 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
1916, 17, 18oveq123d 7154 . 2 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(+g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
2013, 19eqtr4d 2858 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   + caddc 10518  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  Scalarcsca 16547  ·𝑖cip 16549  PreHilcphl 20744  ℂModcclm 23646  ℂPreHilccph 23750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-seq 13354  df-exp 13415  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-subg 18255  df-ghm 18335  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-rnghom 19446  df-drng 19480  df-subrg 19509  df-staf 19592  df-srng 19593  df-lmod 19612  df-lmhm 19770  df-lvec 19851  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-cnfld 20522  df-phl 20746  df-nlm 23172  df-clm 23647  df-cph 23752 This theorem is referenced by:  nmparlem  23822  cphipval2  23824
 Copyright terms: Public domain W3C validator