Theorem cph2subdi 24374

Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ip2subdi 20849. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
cph2subdi.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cph2subdi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cph2subdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
cph2subdi.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
cph2subdi.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cph2subdi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem cph2subdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cph2subdi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		cphclm 24353	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5	4	clmadd 24237	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	oveqd 7292	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷)))
8	6	oveqd 7292	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
9	7, 8	oveq12d 7293	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
10		cphphl 24335	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
11	1, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
12		cph2subdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		cph2subdi.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		cphipcj.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		cphipcj.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
17	4, 14, 15, 16	ipcl 20838	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	11, 12, 13, 17	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19		cph2subdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
20		cph2subdi.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
21	4, 14, 15, 16	ipcl 20838	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	11, 19, 20, 21	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	4, 16	clmacl 24247	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24	3, 18, 22, 23	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
25	4, 14, 15, 16	ipcl 20838	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
26	11, 12, 20, 25	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
27	4, 14, 15, 16	ipcl 20838	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28	11, 19, 13, 27	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29	4, 16	clmacl 24247	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
30	3, 26, 28, 29	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
31	4, 16	clmsub 24243	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
32	3, 24, 30, 31	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
33		cphsubdir.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
34		eqid 2738	. . 3 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
35		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
36	4, 14, 15, 33, 34, 35, 11, 12, 19, 13, 20	ip2subdi 20849	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
37	9, 32, 36	3eqtr4rd 2789	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   + caddc 10874   − cmin 11205  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965  ·_𝑖cip 16967  -_gcsg 18579  PreHilcphl 20829  ℂModcclm 24225  ℂPreHilccph 24330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lmhm 20284  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-cnfld 20598  df-phl 20831  df-nlm 23742  df-clm 24226  df-cph 24332

This theorem is referenced by:  nmparlem  24403  cphipval2  24405