Theorem cph2subdi 25586

Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ip2subdi 22005. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
cph2subdi.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cph2subdi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cph2subdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
cph2subdi.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
cph2subdi.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cph2subdi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem cph2subdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cph2subdi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		cphclm 25565	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5	4	clmadd 25450	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
6	3, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	oveqd 7468	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷)))
8	6	oveqd 7468	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
9	7, 8	oveq12d 7469	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
10		cphphl 25547	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
11	1, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
12		cph2subdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		cph2subdi.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		cphipcj.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		cphipcj.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
17	4, 14, 15, 16	ipcl 21994	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	11, 12, 13, 17	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19		cph2subdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
20		cph2subdi.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
21	4, 14, 15, 16	ipcl 21994	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	11, 19, 20, 21	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	4, 16	clmacl 25460	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24	3, 18, 22, 23	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
25	4, 14, 15, 16	ipcl 21994	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
26	11, 12, 20, 25	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
27	4, 14, 15, 16	ipcl 21994	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28	11, 19, 13, 27	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29	4, 16	clmacl 25460	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
30	3, 26, 28, 29	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
31	4, 16	clmsub 25456	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
32	3, 24, 30, 31	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
33		cphsubdir.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
34		eqid 2763	. . 3 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
35		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
36	4, 14, 15, 33, 34, 35, 11, 12, 19, 13, 20	ip2subdi 22005	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
37	9, 32, 36	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   + caddc 11242   − cmin 11580  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Scalarcsca 17475  ·_𝑖cip 17477  -_gcsg 19196  PreHilcphl 21985  ℂModcclm 25438  ℂPreHilccph 25542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-rhm 20753  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-staf 21147  df-srng 21148  df-lmod 21188  df-lmhm 21348  df-lvec 21429  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-cnfld 21730  df-phl 21987  df-nlm 24960  df-clm 25439  df-cph 25544

This theorem is used by:  nmparlem  25615  cphipval2  25617