MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2subdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cph2subdi 25156
Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ip2subdi 21580. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cphipcj.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
cphsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
cph2subdi.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
cph2subdi.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
cph2subdi.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
cph2subdi.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
cph2subdi.5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
cph2subdi (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))

Proof of Theorem cph2subdi
StepHypRef Expression
1 cph2subdi.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
2 cphclm 25135 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
4 eqid 2725 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
54clmadd 25019 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ + = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
63, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
76oveqd 7433 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐢)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐷)))
86oveqd 7433 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐷)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐢)))
97, 8oveq12d 7434 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐷))(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴 , 𝐷)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐢))))
10 cphphl 25117 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
111, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
12 cph2subdi.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
13 cph2subdi.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
14 cphipcj.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
15 cphipcj.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
16 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
174, 14, 15, 16ipcl 21569 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1811, 12, 13, 17syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
19 cph2subdi.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
20 cph2subdi.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
214, 14, 15, 16ipcl 21569 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2211, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
234, 16clmacl 25029 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
243, 18, 22, 23syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
254, 14, 15, 16ipcl 21569 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2611, 12, 20, 25syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
274, 14, 15, 16ipcl 21569 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2811, 19, 13, 27syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
294, 16clmacl 25029 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
303, 26, 28, 29syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
314, 16clmsub 25025 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
323, 24, 30, 31syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
33 cphsubdir.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
34 eqid 2725 . . 3 (-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
35 eqid 2725 . . 3 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
364, 14, 15, 33, 34, 35, 11, 12, 19, 13, 20ip2subdi 21580 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐷))(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴 , 𝐷)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐢))))
379, 32, 363eqtr4rd 2776 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   + caddc 11141   βˆ’ cmin 11474  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235  Β·π‘–cip 17237  -gcsg 18896  PreHilcphl 21560  β„‚Modcclm 25007  β„‚PreHilccph 25112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-rhm 20415  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-staf 20729  df-srng 20730  df-lmod 20749  df-lmhm 20911  df-lvec 20992  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-cnfld 21284  df-phl 21562  df-nlm 24513  df-clm 25008  df-cph 25114
This theorem is referenced by:  nmparlem  25185  cphipval2  25187
  Copyright terms: Public domain W3C validator