Theorem cph2subdi 25108

Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ip2subdi 21551. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
cph2subdi.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cph2subdi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cph2subdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
cph2subdi.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
cph2subdi.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cph2subdi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem cph2subdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cph2subdi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		cphclm 25087	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5	4	clmadd 24972	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	oveqd 7366	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷)))
8	6	oveqd 7366	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
9	7, 8	oveq12d 7367	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
10		cphphl 25069	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
11	1, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
12		cph2subdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		cph2subdi.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		cphipcj.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		cphipcj.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
17	4, 14, 15, 16	ipcl 21540	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	11, 12, 13, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19		cph2subdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
20		cph2subdi.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
21	4, 14, 15, 16	ipcl 21540	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	11, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	4, 16	clmacl 24982	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24	3, 18, 22, 23	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
25	4, 14, 15, 16	ipcl 21540	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
26	11, 12, 20, 25	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
27	4, 14, 15, 16	ipcl 21540	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28	11, 19, 13, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29	4, 16	clmacl 24982	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
30	3, 26, 28, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
31	4, 16	clmsub 24978	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
32	3, 24, 30, 31	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
33		cphsubdir.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
34		eqid 2729	. . 3 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
35		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
36	4, 14, 15, 33, 34, 35, 11, 12, 19, 13, 20	ip2subdi 21551	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
37	9, 32, 36	3eqtr4rd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   + caddc 11012   − cmin 11347  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164  ·_𝑖cip 17166  -_gcsg 18814  PreHilcphl 21531  ℂModcclm 24960  ℂPreHilccph 25064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-rhm 20357  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-staf 20724  df-srng 20725  df-lmod 20765  df-lmhm 20926  df-lvec 21007  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-cnfld 21262  df-phl 21533  df-nlm 24472  df-clm 24961  df-cph 25066

This theorem is referenced by:  nmparlem  25137  cphipval2  25139