Theorem cph2subdi 25086

Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ip2subdi 21529. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
cph2subdi.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cph2subdi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cph2subdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
cph2subdi.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
cph2subdi.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cph2subdi	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem cph2subdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cph2subdi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		cphclm 25065	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5	4	clmadd 24950	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	oveqd 7386	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷)))
8	6	oveqd 7386	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
9	7, 8	oveq12d 7387	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
10		cphphl 25047	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
11	1, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
12		cph2subdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		cph2subdi.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		cphipcj.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
15		cphipcj.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
17	4, 14, 15, 16	ipcl 21518	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	11, 12, 13, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19		cph2subdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
20		cph2subdi.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
21	4, 14, 15, 16	ipcl 21518	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	11, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	4, 16	clmacl 24960	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24	3, 18, 22, 23	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
25	4, 14, 15, 16	ipcl 21518	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
26	11, 12, 20, 25	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
27	4, 14, 15, 16	ipcl 21518	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28	11, 19, 13, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29	4, 16	clmacl 24960	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
30	3, 26, 28, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
31	4, 16	clmsub 24956	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
32	3, 24, 30, 31	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
33		cphsubdir.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
34		eqid 2729	. . 3 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
35		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
36	4, 14, 15, 33, 34, 35, 11, 12, 19, 13, 20	ip2subdi 21529	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
37	9, 32, 36	3eqtr4rd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   + caddc 11047   − cmin 11381  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  Scalarcsca 17199  ·_𝑖cip 17201  -_gcsg 18843  PreHilcphl 21509  ℂModcclm 24938  ℂPreHilccph 25042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-rhm 20357  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-staf 20724  df-srng 20725  df-lmod 20744  df-lmhm 20905  df-lvec 20986  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-cnfld 21241  df-phl 21511  df-nlm 24450  df-clm 24939  df-cph 25044

This theorem is referenced by:  nmparlem  25115  cphipval2  25117