MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2subdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cph2subdi 25093
Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ip2subdi 21537. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cphipcj.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
cphsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
cph2subdi.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
cph2subdi.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
cph2subdi.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
cph2subdi.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
cph2subdi.5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
cph2subdi (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))

Proof of Theorem cph2subdi
StepHypRef Expression
1 cph2subdi.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
2 cphclm 25072 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
54clmadd 24956 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ + = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
63, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
76oveqd 7422 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐢)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐷)))
86oveqd 7422 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) = ((𝐴 , 𝐷)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐢)))
97, 8oveq12d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐷))(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴 , 𝐷)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐢))))
10 cphphl 25054 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
111, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
12 cph2subdi.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
13 cph2subdi.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
14 cphipcj.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
15 cphipcj.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
16 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
174, 14, 15, 16ipcl 21526 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1811, 12, 13, 17syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
19 cph2subdi.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
20 cph2subdi.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
214, 14, 15, 16ipcl 21526 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2211, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
234, 16clmacl 24966 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
243, 18, 22, 23syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
254, 14, 15, 16ipcl 21526 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2611, 12, 20, 25syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
274, 14, 15, 16ipcl 21526 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2811, 19, 13, 27syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
294, 16clmacl 24966 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
303, 26, 28, 29syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
314, 16clmsub 24962 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
323, 24, 30, 31syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷))(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
33 cphsubdir.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
34 eqid 2726 . . 3 (-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
35 eqid 2726 . . 3 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
364, 14, 15, 33, 34, 35, 11, 12, 19, 13, 20ip2subdi 21537 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐷))(-gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((𝐴 , 𝐷)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝐡 , 𝐢))))
379, 32, 363eqtr4rd 2777 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐢 βˆ’ 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) + (𝐡 , 𝐷)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐡 , 𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11448  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209  Β·π‘–cip 17211  -gcsg 18865  PreHilcphl 21517  β„‚Modcclm 24944  β„‚PreHilccph 25049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-rhm 20374  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lmhm 20870  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-phl 21519  df-nlm 24450  df-clm 24945  df-cph 25051
This theorem is referenced by:  nmparlem  25122  cphipval2  25124
  Copyright terms: Public domain W3C validator