Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcau 23845
 Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcau.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcau.h , = (·𝑖𝑊)
ipcau.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ipcau ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)))

Proof of Theorem ipcau
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . 3 (toℂPreHil‘𝑊) = (toℂPreHil‘𝑊)
2 ipcau.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2801 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 simp1 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5 cphphl 23779 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
7 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
83, 7cphsca 23787 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
94, 8syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
10 ipcau.h . . 3 , = (·𝑖𝑊)
113, 7cphsqrtcl 23792 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
124, 11sylan 583 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
132, 10ipge0 23806 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
144, 13sylan 583 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
15 eqid 2801 . . 3 (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)) = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊))
16 eqid 2801 . . 3 ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
17 simp2 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
18 simp3 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
191, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 7, 15, 16, 17, 18ipcau2 23841 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ (((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋) · ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌)))
20 ipcau.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝑊)
211, 20cphtcphnm 23837 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)))
224, 21syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑁 = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)))
2322fveq1d 6651 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁𝑋) = ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋))
2422fveq1d 6651 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁𝑌) = ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌))
2523, 24oveq12d 7157 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)) = (((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋) · ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌)))
2619, 25breqtrrd 5061 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530   · cmul 10535   ≤ cle 10669   / cdiv 11290  √csqrt 14587  abscabs 14588  Basecbs 16478   ↾s cress 16479  Scalarcsca 16563  ·𝑖cip 16565  ℂfldccnfld 20094  PreHilcphl 20316  normcnm 23186  ℂPreHilccph 23774  toℂPreHilctcph 23775 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-topgen 16712  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19500  df-subrg 19529  df-staf 19612  df-srng 19613  df-lmod 19632  df-lmhm 19790  df-lvec 19871  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-phl 20318  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-xms 22930  df-ms 22931  df-nm 23192  df-ngp 23193  df-tng 23194  df-nlm 23196  df-clm 23671  df-cph 23776  df-tcph 23777 This theorem is referenced by:  ipcnlem2  23851
 Copyright terms: Public domain W3C validator