Theorem ipcau 25592

Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space. Part of Lemma 3.2-1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is Metamath 100 proof #78. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcau.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcau.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcau.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ipcau	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Proof of Theorem ipcau

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (toℂPreHil‘𝑊) = (toℂPreHil‘𝑊)
2		ipcau.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphphl 25525	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8	3, 7	cphsca 25533	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
9	4, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
10		ipcau.h	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
11	3, 7	cphsqrtcl 25538	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
12	4, 11	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	2, 10	ipge0 25552	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
14	4, 13	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
15		eqid 2763	. . 3 ⊢ (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)) = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊))
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
17		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19	1, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 7, 15, 16, 17, 18	ipcau2 25588	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ (((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋) · ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌)))
20		ipcau.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
21	1, 20	cphtcphnm 25584	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)))
22	4, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑁 = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)))
23	22	fveq1d 6913	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) = ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋))
24	22	fveq1d 6913	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) = ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌))
25	23, 24	oveq12d 7464	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋) · ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌)))
26	19, 25	breqtrrd 5137	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230   · cmul 11235   ≤ cle 11374   / cdiv 12003  √csqrt 15432  abscabs 15433  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  Scalarcsca 17463  ·_𝑖cip 17465  ℂ_fldccnfld 21711  PreHilcphl 21963  normcnm 24928  ℂPreHilccph 25520  toℂPreHilctcph 25521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ico 13512  df-fz 13670  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-0g 17644  df-topgen 17646  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-dvr 20664  df-rhm 20735  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-drng 21015  df-staf 21129  df-srng 21130  df-lmod 21170  df-lmhm 21330  df-lvec 21411  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-cnfld 21712  df-phl 21965  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-xms 24672  df-ms 24673  df-nm 24934  df-ngp 24935  df-tng 24936  df-nlm 24938  df-clm 25417  df-cph 25522  df-tcph 25523

This theorem is used by:  ipcnlem2  25598