Theorem ipcau 25280

Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space. Part of Lemma 3.2-1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is Metamath 100 proof #78. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcau.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcau.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcau.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ipcau	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Proof of Theorem ipcau

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (toℂPreHil‘𝑊) = (toℂPreHil‘𝑊)
2		ipcau.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		simp1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphphl 25213	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8	3, 7	cphsca 25221	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
10		ipcau.h	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
11	3, 7	cphsqrtcl 25226	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
12	4, 11	sylan 589	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	2, 10	ipge0 25240	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
14	4, 13	sylan 589	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
15		eqid 2761	. . 3 ⊢ (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)) = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊))
16		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
17		simp2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		simp3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19	1, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 7, 15, 16, 17, 18	ipcau2 25276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ (((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋) · ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌)))
20		ipcau.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
21	1, 20	cphtcphnm 25272	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)))
22	4, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑁 = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)))
23	22	fveq1d 6865	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) = ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋))
24	22	fveq1d 6865	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) = ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌))
25	23, 24	oveq12d 7410	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋) · ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌)))
26	19, 25	breqtrrd 5127	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070   · cmul 11075   ≤ cle 11214   / cdiv 11841  √csqrt 15243  abscabs 15244  Basecbs 17228   ↾_s cress 17249  Scalarcsca 17272  ·_𝑖cip 17274  ℂ_fldccnfld 21404  PreHilcphl 21656  normcnm 24616  ℂPreHilccph 25208  toℂPreHilctcph 25209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149  ax-mulf 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ico 13352  df-fz 13510  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-topgen 17455  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-rhm 20500  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-drng 20760  df-staf 20868  df-srng 20869  df-lmod 20909  df-lmhm 21069  df-lvec 21150  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-cnfld 21405  df-phl 21658  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-xms 24360  df-ms 24361  df-nm 24622  df-ngp 24623  df-tng 24624  df-nlm 24626  df-clm 25105  df-cph 25210  df-tcph 25211

This theorem is referenced by:  ipcnlem2  25286