Theorem ipcau 25230

Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space. Part of Lemma 3.2-1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is Metamath 100 proof #78. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcau.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcau.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcau.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ipcau	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Proof of Theorem ipcau

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (toℂPreHil‘𝑊) = (toℂPreHil‘𝑊)
2		ipcau.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphphl 25163	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8	3, 7	cphsca 25171	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
10		ipcau.h	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
11	3, 7	cphsqrtcl 25176	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
12	4, 11	sylan 586	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	2, 10	ipge0 25190	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
14	4, 13	sylan 586	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
15		eqid 2740	. . 3 ⊢ (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)) = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊))
16		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
17		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19	1, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 7, 15, 16, 17, 18	ipcau2 25226	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ (((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋) · ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌)))
20		ipcau.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
21	1, 20	cphtcphnm 25222	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)))
22	4, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑁 = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)))
23	22	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) = ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋))
24	22	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) = ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌))
25	23, 24	oveq12d 7381	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋) · ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌)))
26	19, 25	breqtrrd 5107	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   · cmul 11041   ≤ cle 11178   / cdiv 11805  √csqrt 15193  abscabs 15194  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  Scalarcsca 17221  ·_𝑖cip 17223  ℂ_fldccnfld 21354  PreHilcphl 21606  normcnm 24566  ℂPreHilccph 25158  toℂPreHilctcph 25159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ico 13302  df-fz 13460  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17402  df-topgen 17404  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-drng 20710  df-staf 20818  df-srng 20819  df-lmod 20859  df-lmhm 21019  df-lvec 21100  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-cnfld 21355  df-phl 21608  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-xms 24310  df-ms 24311  df-nm 24572  df-ngp 24573  df-tng 24574  df-nlm 24576  df-clm 25055  df-cph 25160  df-tcph 25161

This theorem is referenced by:  ipcnlem2  25236