Theorem ipcau 23413

Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcau.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcau.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcau.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ipcau	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Proof of Theorem ipcau

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. . 3 ⊢ (toℂPreHil‘𝑊) = (toℂPreHil‘𝑊)
2		ipcau.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		simp1 1170	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphphl 23347	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
7		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8	3, 7	cphsca 23355	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
10		ipcau.h	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
11	3, 7	cphsqrtcl 23360	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
12	4, 11	sylan 575	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	2, 10	ipge0 23374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
14	4, 13	sylan 575	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
15		eqid 2825	. . 3 ⊢ (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)) = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊))
16		eqid 2825	. . 3 ⊢ ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
17		simp2 1171	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		simp3 1172	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19	1, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 7, 15, 16, 17, 18	ipcau2 23409	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ (((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋) · ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌)))
20		ipcau.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
21	1, 20	cphtcphnm 23405	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)))
22	4, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑁 = (norm‘(toℂPreHil‘𝑊)))
23	22	fveq1d 6439	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) = ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋))
24	22	fveq1d 6439	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) = ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌))
25	23, 24	oveq12d 6928	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑋) · ((norm‘(toℂPreHil‘𝑊))‘𝑌)))
26	19, 25	breqtrrd 4903	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  0cc0 10259   · cmul 10264   ≤ cle 10399   / cdiv 11016  √csqrt 14357  abscabs 14358  Basecbs 16229   ↾_s cress 16230  Scalarcsca 16315  ·_𝑖cip 16317  ℂ_fldccnfld 20113  PreHilcphl 20338  normcnm 22758  ℂPreHilccph 23342  toℂPreHilctcph 23343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ico 12476  df-fz 12627  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-topgen 16464  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-rnghom 19078  df-drng 19112  df-subrg 19141  df-staf 19208  df-srng 19209  df-lmod 19228  df-lmhm 19388  df-lvec 19469  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-cnfld 20114  df-phl 20340  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-xms 22502  df-ms 22503  df-nm 22764  df-ngp 22765  df-tng 22766  df-nlm 22768  df-clm 23239  df-cph 23344  df-tcph 23345

This theorem is referenced by:  ipcnlem2  23419