MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcau 24746
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space. Part of Lemma 3.2-1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is Metamath 100 proof #78. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcau.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipcau.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
ipcau.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ipcau ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem ipcau
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š) = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
2 ipcau.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 eqid 2732 . . 3 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 simp1 1136 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
5 cphphl 24679 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
64, 5syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
7 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
83, 7cphsca 24687 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
94, 8syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
10 ipcau.h . . 3 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
113, 7cphsqrtcl 24692 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
124, 11sylan 580 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
132, 10ipge0 24706 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
144, 13sylan 580 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
15 eqid 2732 . . 3 (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)) = (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š))
16 eqid 2732 . . 3 ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ)) = ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ))
17 simp2 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
18 simp3 1138 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
191, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 7, 15, 16, 17, 18ipcau2 24742 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ (((normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š))β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š))β€˜π‘Œ)))
20 ipcau.n . . . . . 6 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
211, 20cphtcphnm 24738 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝑁 = (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)))
224, 21syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 = (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)))
2322fveq1d 6890 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = ((normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š))β€˜π‘‹))
2422fveq1d 6890 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) = ((normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š))β€˜π‘Œ))
2523, 24oveq12d 7423 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) = (((normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š))β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š))β€˜π‘Œ)))
2619, 25breqtrrd 5175 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  βˆšcsqrt 15176  abscabs 15177  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  Scalarcsca 17196  Β·π‘–cip 17198  β„‚fldccnfld 20936  PreHilcphl 21168  normcnm 24076  β„‚PreHilccph 24674  toβ„‚PreHilctcph 24675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-phl 21170  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-tng 24084  df-nlm 24086  df-clm 24570  df-cph 24676  df-tcph 24677
This theorem is referenced by:  ipcnlem2  24752
  Copyright terms: Public domain W3C validator