MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphip0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphip0r 24355
Description: Inner product with a zero second argument. Complex version of ip0r 20830. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphip0l.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphip0r ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 0)

Proof of Theorem cphip0r
StepHypRef Expression
1 cphphl 24323 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2 eqid 2738 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 cphipcj.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
4 cphipcj.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2738 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6 cphip0l.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
72, 3, 4, 5, 6ip0r 20830 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 0 ) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
81, 7sylan 580 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 0 ) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9 cphclm 24341 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
102clm0 24223 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
119, 10syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1211adantr 481 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
138, 12eqtr4d 2781 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 , 0 ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6427  (class class class)co 7268  0cc0 10859  Basecbs 16900  Scalarcsca 16953  ·𝑖cip 16955  0gc0g 17138  PreHilcphl 20817  ℂModcclm 24213  ℂPreHilccph 24318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-addf 10938  ax-mulf 10939
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-tpos 8030  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-fz 13228  df-seq 13710  df-exp 13771  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-0g 17140  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-mhm 18418  df-grp 18568  df-subg 18740  df-ghm 18820  df-cmn 19376  df-mgp 19709  df-ur 19726  df-ring 19773  df-cring 19774  df-oppr 19850  df-dvdsr 19871  df-unit 19872  df-rnghom 19947  df-drng 19981  df-subrg 20010  df-staf 20093  df-srng 20094  df-lmod 20113  df-lmhm 20272  df-lvec 20353  df-sra 20422  df-rgmod 20423  df-cnfld 20586  df-phl 20819  df-nlm 23730  df-clm 24214  df-cph 24320
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator