MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsubdir 23960
Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ipsubdir 20458. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphsubdir.m = (-g𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphsubdir ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) − (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem cphsubdir
StepHypRef Expression
1 cphphl 23923 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2 eqid 2738 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 cphipcj.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
4 cphipcj.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 cphsubdir.m . . . 4 = (-g𝑊)
6 eqid 2738 . . . 4 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
72, 3, 4, 5, 6ipsubdir 20458 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
81, 7sylan 583 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
9 cphclm 23941 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
109adantr 484 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
111adantr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
12 simpr1 1195 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
13 simpr3 1197 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
14 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
152, 3, 4, 14ipcl 20449 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1611, 12, 13, 15syl3anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17 simpr2 1196 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
182, 3, 4, 14ipcl 20449 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1911, 17, 13, 18syl3anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
202, 14clmsub 23832 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐶) − (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐶)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
2110, 16, 19, 20syl3anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , 𝐶) − (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐶)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
228, 21eqtr4d 2776 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) − (𝐵 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  cfv 6339  (class class class)co 7170  cmin 10948  Basecbs 16586  Scalarcsca 16671  ·𝑖cip 16673  -gcsg 18221  PreHilcphl 20440  ℂModcclm 23814  ℂPreHilccph 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-seq 13461  df-exp 13522  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-drng 19623  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lmhm 19913  df-lvec 19994  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-cnfld 20218  df-phl 20442  df-nlm 23339  df-clm 23815  df-cph 23920
This theorem is referenced by:  ipcnlem2  23996  pjthlem1  24189
  Copyright terms: Public domain W3C validator