MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphdir 24515
Description: Distributive law for inner product (right-distributivity). Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. Complex version of ipdir 20990. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphdir.P + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphdir ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem cphdir
StepHypRef Expression
1 cphphl 24481 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2 eqid 2736 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 cphipcj.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
4 cphipcj.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 cphdir.P . . . 4 + = (+g𝑊)
6 eqid 2736 . . . 4 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
72, 3, 4, 5, 6ipdir 20990 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
81, 7sylan 580 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
9 cphclm 24499 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
102clmadd 24383 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
1211adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
1312oveqd 7368 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
148, 13eqtr4d 2779 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351   + caddc 11012  Basecbs 17037  +gcplusg 17087  Scalarcsca 17090  ·𝑖cip 17092  PreHilcphl 20975  ℂModcclm 24371  ℂPreHilccph 24476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-seq 13861  df-exp 13922  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-starv 17102  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-ip 17105  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-unif 17110  df-0g 17277  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-grp 18705  df-subg 18878  df-ghm 18959  df-cmn 19517  df-mgp 19850  df-ur 19867  df-ring 19914  df-cring 19915  df-oppr 19996  df-dvdsr 20017  df-unit 20018  df-drng 20134  df-subrg 20167  df-lmod 20271  df-lmhm 20430  df-lvec 20511  df-sra 20580  df-rgmod 20581  df-cnfld 20744  df-phl 20977  df-nlm 23888  df-clm 24372  df-cph 24478
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator