Theorem cphassr 25422

Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare cphass 25421). See ipassr 21846, his52 . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphassr	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem cphassr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphclm 25399	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
3		cphass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	clmmul 25285	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘𝐹))
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → · = (.r‘𝐹))
6		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
7	3	clmcj 25286	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
8	2, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
9	8	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∗‘𝐴) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴))
10	5, 6, 9	oveq123d 7440	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
11		cphass.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
12	3, 11	clmsscn 25289	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
13	2, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
14		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
15	13, 14	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	cjcld 15271	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
17		cphipcj.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		cphipcj.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
19	17, 18	cphipcl 25401	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
20	19	3adant3r1 1201	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
21	16, 20	mulcomd 11245	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)))
22		cphphl 25381	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
23		3anrot 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾))
24	23	biimpi 219	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾))
25		cphass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
27		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
28	3, 18, 17, 11, 25, 26, 27	ipassr 21846	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
29	22, 24, 28	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
30	10, 21, 29	3eqtr4rd 2811	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113   · cmul 11120  ∗ccj 15171  Basecbs 17291  ._rcmulr 17333  *_𝑟cstv 17334  Scalarcsca 17335   ·_𝑠 cvsca 17336  ·_𝑖cip 17337  PreHilcphl 21824  ℂModcclm 25272  ℂPreHilccph 25376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-addf 11194  ax-mulf 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-rhm 20600  df-subrg 20719  df-drng 20879  df-staf 20992  df-srng 20993  df-lmod 21033  df-lmhm 21193  df-lvec 21274  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-cnfld 21573  df-phl 21826  df-nlm 24794  df-clm 25273  df-cph 25378

This theorem is used by:  cph2ass  25423  cphassir  25425  pjthlem1  25647