MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphassr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cphassr 24961
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare cphass 24960). See ipassr 21419, his52 . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cphipcj.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
cphass.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphass.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
cphass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cphassr ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , (𝐴 Β· 𝐢)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (𝐡 , 𝐢)))
Proof of Theorem cphassr
StepHypRef Expression
1 cphclm 24938 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
21adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
3 cphass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43clmmul 24823 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
52, 4syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
6 eqidd 2732 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , 𝐢) = (𝐡 , 𝐢))
73clmcj 24824 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
82, 7syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
98fveq1d 6893 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆ—β€˜π΄) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π΄))
105, 6, 9oveq123d 7433 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐡 , 𝐢) Β· (βˆ—β€˜π΄)) = ((𝐡 , 𝐢)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π΄)))
11 cphass.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
123, 11clmsscn 24827 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
132, 12syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
14 simpr1 1193 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
1513, 14sseldd 3983 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1615cjcld 15148 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
17 cphipcj.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
18 cphipcj.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
1917, 18cphipcl 24940 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ β„‚)
20193adant3r1 1181 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ β„‚)
2116, 20mulcomd 11240 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((βˆ—β€˜π΄) Β· (𝐡 , 𝐢)) = ((𝐡 , 𝐢) Β· (βˆ—β€˜π΄)))
22 cphphl 24920 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
23 3anrot 1099 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) ↔ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾))
2423biimpi 215 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾))
25 cphass.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
26 eqid 2731 . . . 4 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
27 eqid 2731 . . . 4 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
283, 18, 17, 11, 25, 26, 27ipassr 21419 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐡 , (𝐴 Β· 𝐢)) = ((𝐡 , 𝐢)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π΄)))
2922, 24, 28syl2an 595 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , (𝐴 Β· 𝐢)) = ((𝐡 , 𝐢)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π΄)))
3010, 21, 293eqtr4rd 2782 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , (𝐴 Β· 𝐢)) = ((βˆ—β€˜π΄) Β· (𝐡 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111   Β· cmul 11118  βˆ—ccj 15048  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  *π‘Ÿcstv 17204  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  Β·π‘–cip 17207  PreHilcphl 21397  β„‚Modcclm 24810  β„‚PreHilccph 24915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-rhm 20364  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-staf 20597  df-srng 20598  df-lmod 20617  df-lmhm 20778  df-lvec 20859  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-cnfld 21146  df-phl 21399  df-nlm 24316  df-clm 24811  df-cph 24917
This theorem is referenced by:  cph2ass  24962  cphassir  24964  pjthlem1  25186
  Copyright terms: Public domain W3C validator