Theorem cphassr 25168

Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare cphass 25167). See ipassr 21601, his52 . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphassr	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem cphassr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphclm 25145	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
3		cphass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	clmmul 25031	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘𝐹))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → · = (.r‘𝐹))
6		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
7	3	clmcj 25032	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
9	8	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∗‘𝐴) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴))
10	5, 6, 9	oveq123d 7379	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
11		cphass.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
12	3, 11	clmsscn 25035	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
14		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
15	13, 14	sseldd 3934	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	cjcld 15119	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
17		cphipcj.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		cphipcj.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
19	17, 18	cphipcl 25147	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
20	19	3adant3r1 1183	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
21	16, 20	mulcomd 11153	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)))
22		cphphl 25127	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
23		3anrot 1099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾))
24	23	biimpi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾))
25		cphass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
27		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
28	3, 18, 17, 11, 25, 26, 27	ipassr 21601	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
29	22, 24, 28	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
30	10, 21, 29	3eqtr4rd 2782	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   · cmul 11031  ∗ccj 15019  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  *_𝑟cstv 17179  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  ·_𝑖cip 17182  PreHilcphl 21579  ℂModcclm 25018  ℂPreHilccph 25122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-rhm 20408  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-staf 20772  df-srng 20773  df-lmod 20813  df-lmhm 20974  df-lvec 21055  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-cnfld 21310  df-phl 21581  df-nlm 24530  df-clm 25019  df-cph 25124

This theorem is referenced by:  cph2ass  25169  cphassir  25171  pjthlem1  25393