MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphassr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphassr 24357
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare cphass 24356). See ipassr 20832, his52 . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphass.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphass.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphassr ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem cphassr
StepHypRef Expression
1 cphclm 24334 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
21adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
3 cphass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
43clmmul 24219 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r𝐹))
52, 4syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → · = (.r𝐹))
6 eqidd 2740 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
73clmcj 24220 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟𝐹))
82, 7syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ∗ = (*𝑟𝐹))
98fveq1d 6770 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (∗‘𝐴) = ((*𝑟𝐹)‘𝐴))
105, 6, 9oveq123d 7289 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝐴)))
11 cphass.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
123, 11clmsscn 24223 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
132, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
14 simpr1 1192 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝐾)
1513, 14sseldd 3926 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1615cjcld 14888 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
17 cphipcj.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
18 cphipcj.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
1917, 18cphipcl 24336 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
20193adant3r1 1180 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
2116, 20mulcomd 10980 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)))
22 cphphl 24316 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
23 3anrot 1098 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉) ↔ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐴𝐾))
2423biimpi 215 . . 3 ((𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐴𝐾))
25 cphass.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
26 eqid 2739 . . . 4 (.r𝐹) = (.r𝐹)
27 eqid 2739 . . . 4 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
283, 18, 17, 11, 25, 26, 27ipassr 20832 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐴𝐾)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝐴)))
2922, 24, 28syl2an 595 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝐴)))
3010, 21, 293eqtr4rd 2790 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wss 3891  cfv 6430  (class class class)co 7268  cc 10853   · cmul 10860  ccj 14788  Basecbs 16893  .rcmulr 16944  *𝑟cstv 16945  Scalarcsca 16946   ·𝑠 cvsca 16947  ·𝑖cip 16948  PreHilcphl 20810  ℂModcclm 24206  ℂPreHilccph 24311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-addf 10934  ax-mulf 10935
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-grp 18561  df-subg 18733  df-ghm 18813  df-cmn 19369  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-rnghom 19940  df-drng 19974  df-subrg 20003  df-staf 20086  df-srng 20087  df-lmod 20106  df-lmhm 20265  df-lvec 20346  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-cnfld 20579  df-phl 20812  df-nlm 23723  df-clm 24207  df-cph 24313
This theorem is referenced by:  cph2ass  24358  cphassir  24360  pjthlem1  24582
  Copyright terms: Public domain W3C validator