Theorem cphassr 25134

Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare cphass 25133). See ipassr 21578, his52 . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphassr	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem cphassr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphclm 25111	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
3		cphass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	clmmul 24997	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘𝐹))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → · = (.r‘𝐹))
6		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
7	3	clmcj 24998	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ∗ = (*𝑟‘𝐹))
9	8	fveq1d 6819	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∗‘𝐴) = ((*𝑟‘𝐹)‘𝐴))
10	5, 6, 9	oveq123d 7362	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
11		cphass.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
12	3, 11	clmsscn 25001	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
14		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
15	13, 14	sseldd 3930	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	cjcld 15098	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
17		cphipcj.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		cphipcj.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
19	17, 18	cphipcl 25113	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
20	19	3adant3r1 1183	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
21	16, 20	mulcomd 11128	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)))
22		cphphl 25093	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
23		3anrot 1099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾))
24	23	biimpi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾))
25		cphass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
27		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
28	3, 18, 17, 11, 25, 26, 27	ipassr 21578	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
29	22, 24, 28	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r‘𝐹)((*𝑟‘𝐹)‘𝐴)))
30	10, 21, 29	3eqtr4rd 2777	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999   · cmul 11006  ∗ccj 14998  Basecbs 17115  ._rcmulr 17157  *_𝑟cstv 17158  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160  ·_𝑖cip 17161  PreHilcphl 21556  ℂModcclm 24984  ℂPreHilccph 25088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-addf 11080  ax-mulf 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-rhm 20385  df-subrg 20480  df-drng 20641  df-staf 20749  df-srng 20750  df-lmod 20790  df-lmhm 20951  df-lvec 21032  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-cnfld 21287  df-phl 21558  df-nlm 24496  df-clm 24985  df-cph 25090

This theorem is referenced by:  cph2ass  25135  cphassir  25137  pjthlem1  25359