MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphass Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cphass 24952
Description: Associative law for inner product. Equation I2 of [Ponnusamy] p. 363. See ipass 21417, his5 30594. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cphipcj.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
cphass.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphass.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
cphass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cphass ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴 Β· (𝐡 , 𝐢)))
Proof of Theorem cphass
StepHypRef Expression
1 cphphl 24912 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 cphass.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 cphipcj.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
4 cphipcj.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 cphass.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
6 cphass.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 eqid 2732 . . . 4 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
82, 3, 4, 5, 6, 7ipass 21417 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴(.rβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)))
91, 8sylan 580 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴(.rβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)))
10 cphclm 24930 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
112clmmul 24815 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
1210, 11syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
1312adantr 481 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
1413oveqd 7428 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· (𝐡 , 𝐢)) = (𝐴(.rβ€˜πΉ)(𝐡 , 𝐢)))
159, 14eqtr4d 2775 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) , 𝐢) = (𝐴 Β· (𝐡 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   Β· cmul 11117  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  Β·π‘–cip 17206  PreHilcphl 21396  β„‚Modcclm 24802  β„‚PreHilccph 24907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-cnfld 21145  df-phl 21398  df-nlm 24315  df-clm 24803  df-cph 24909
This theorem is referenced by:  cph2ass  24954  cphassi  24955
  Copyright terms: Public domain W3C validator