Theorem dfon2lem9 34366

Description: Lemma for dfon2 34367. A class of new ordinals is well-founded by E. (Contributed by Scott Fenton, 3-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfon2lem9	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → E Fr 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem dfon2lem9

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 4010	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)))
2		dfon2lem8 34365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧) ∧ ∩ 𝑧 ∈ 𝑧))
3	2	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑧)
4		intss1 4924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑧 → ∩ 𝑧 ⊆ 𝑡)
5	2	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧))
6		intex 5294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
7		dfon2lem3 34360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∩ 𝑧 ∈ V → (∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧) → (Tr ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥)))
8	7	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (Tr ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥))
9	8	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥)
10		untelirr 34279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥 → ¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → ¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧)
12		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧 ↔ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
13	12	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 → (¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧 ↔ ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
14	11, 13	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
15	14	a1dd 50	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
16	8	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → Tr ∩ 𝑧)
17		trss 5233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Tr ∩ 𝑧 → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
19		eqss 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 ↔ (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
20	19	simplbi2com 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ⊆ ∩ 𝑧 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝑧 = 𝑡))
21	18, 20	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝑧 = 𝑡)))
22	21	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → ∩ 𝑧 = 𝑡)))
23		con3 153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → ∩ 𝑧 = 𝑡) → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
24	22, 23	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
25	24	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
26	15, 25	pm2.61d 179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
27	6, 26	sylanb 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
28	5, 27	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
29	4, 28	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (𝑡 ∈ 𝑧 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
30	29	ralrimiv 3142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)
31		eleq2 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (𝑡 ∈ 𝑤 ↔ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
32	31	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (¬ 𝑡 ∈ 𝑤 ↔ ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
33	32	ralbidv 3174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
34	33	rspcev 3581	. . . . . . 7 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
35	3, 30, 34	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
36	35	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
37	1, 36	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑧 ⊆ 𝐴 → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)))
38	37	impd 411	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
39	38	alrimiv 1930	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
40		df-fr 5588	. . 3 ⊢ ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤))
41		epel 5540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 E 𝑤 ↔ 𝑡 ∈ 𝑤)
42	41	notbii 319	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
43	42	ralbii 3096	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
44	43	rexbii 3097	. . . . 5 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
45	44	imbi2i 335	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
46	45	albii 1821	. . 3 ⊢ (∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
47	40, 46	bitri 274	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
48	39, 47	sylibr 233	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → E Fr 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910   ⊊ wpss 3911  ∅c0 4282  ∩ cint 4907   class class class wbr 5105  Tr wtr 5222   E cep 5536   Fr wfr 5585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5223  df-eprel 5537  df-fr 5588  df-suc 6323

This theorem is referenced by:  dfon2  34367