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Theorem dfon2lem9 33746
Description: Lemma for dfon2 33747. A class of new ordinals is well-founded by E. (Contributed by Scott Fenton, 3-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem9 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → E Fr 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem dfon2lem9
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssralv 3991 . . . . 5 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)))
2 dfon2lem8 33745 . . . . . . . 8 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧) ∧ 𝑧𝑧))
32simprd 495 . . . . . . 7 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → 𝑧𝑧)
4 intss1 4899 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑧 𝑧𝑡)
52simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧))
6 intex 5264 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑧 ∈ V)
7 dfon2lem3 33740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( 𝑧 ∈ V → (∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧) → (Tr 𝑧 ∧ ∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥)))
87imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (Tr 𝑧 ∧ ∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥))
98simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥)
10 untelirr 33628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥 → ¬ 𝑧 𝑧)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ¬ 𝑧 𝑧)
12 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑧 = 𝑡 → ( 𝑧 𝑧𝑡 𝑧))
1312notbid 317 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑧 = 𝑡 → (¬ 𝑧 𝑧 ↔ ¬ 𝑡 𝑧))
1411, 13syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
1514a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧 = 𝑡 → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧)))
168simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → Tr 𝑧)
17 trss 5204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Tr 𝑧 → (𝑡 𝑧𝑡 𝑧))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (𝑡 𝑧𝑡 𝑧))
19 eqss 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( 𝑧 = 𝑡 ↔ ( 𝑧𝑡𝑡 𝑧))
2019simplbi2com 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 𝑧 → ( 𝑧𝑡 𝑧 = 𝑡))
2118, 20syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (𝑡 𝑧 → ( 𝑧𝑡 𝑧 = 𝑡)))
2221com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → (𝑡 𝑧 𝑧 = 𝑡)))
23 con3 153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 𝑧 𝑧 = 𝑡) → (¬ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
2422, 23syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → (¬ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧)))
2524com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (¬ 𝑧 = 𝑡 → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧)))
2615, 25pm2.61d 179 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
276, 26sylanb 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
285, 27syldan 590 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
294, 28syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝑧 → ¬ 𝑡 𝑧))
3029ralrimiv 3108 . . . . . . 7 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 𝑧)
31 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑡𝑤𝑡 𝑧))
3231notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (¬ 𝑡𝑤 ↔ ¬ 𝑡 𝑧))
3332ralbidv 3122 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤 ↔ ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 𝑧))
3433rspcev 3560 . . . . . . 7 (( 𝑧𝑧 ∧ ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 𝑧) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
353, 30, 34syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
3635expcom 413 . . . . 5 (∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
371, 36syl6com 37 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑧𝐴 → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)))
3837impd 410 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
3938alrimiv 1933 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
40 df-fr 5543 . . 3 ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤))
41 epel 5497 . . . . . . . 8 (𝑡 E 𝑤𝑡𝑤)
4241notbii 319 . . . . . . 7 𝑡 E 𝑤 ↔ ¬ 𝑡𝑤)
4342ralbii 3092 . . . . . 6 (∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
4443rexbii 3179 . . . . 5 (∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
4544imbi2i 335 . . . 4 (((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
4645albii 1825 . . 3 (∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
4740, 46bitri 274 . 2 ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
4839, 47sylibr 233 1 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → E Fr 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  wral 3065  wrex 3066  Vcvv 3430  wss 3891  wpss 3892  c0 4261   cint 4884   class class class wbr 5078  Tr wtr 5195   E cep 5493   Fr wfr 5540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-tr 5196  df-eprel 5494  df-fr 5543  df-suc 6269
This theorem is referenced by:  dfon2  33747
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