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Theorem dfon2lem9 32284
Description: Lemma for dfon2 32285. A class of new ordinals is well-founded by E. (Contributed by Scott Fenton, 3-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem9 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → E Fr 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem dfon2lem9
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssralv 3885 . . . . 5 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)))
2 dfon2lem8 32283 . . . . . . . 8 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧) ∧ 𝑧𝑧))
32simprd 491 . . . . . . 7 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → 𝑧𝑧)
4 intss1 4725 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑧 𝑧𝑡)
52simpld 490 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧))
6 intex 5054 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑧 ∈ V)
7 dfon2lem3 32278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( 𝑧 ∈ V → (∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧) → (Tr 𝑧 ∧ ∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥)))
87imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (Tr 𝑧 ∧ ∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥))
98simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥)
10 untelirr 32182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥 → ¬ 𝑧 𝑧)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ¬ 𝑧 𝑧)
12 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑧 = 𝑡 → ( 𝑧 𝑧𝑡 𝑧))
1312notbid 310 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑧 = 𝑡 → (¬ 𝑧 𝑧 ↔ ¬ 𝑡 𝑧))
1411, 13syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
1514a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧 = 𝑡 → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧)))
168simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → Tr 𝑧)
17 trss 4996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Tr 𝑧 → (𝑡 𝑧𝑡 𝑧))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (𝑡 𝑧𝑡 𝑧))
19 eqss 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( 𝑧 = 𝑡 ↔ ( 𝑧𝑡𝑡 𝑧))
2019simplbi2com 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 𝑧 → ( 𝑧𝑡 𝑧 = 𝑡))
2118, 20syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (𝑡 𝑧 → ( 𝑧𝑡 𝑧 = 𝑡)))
2221com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → (𝑡 𝑧 𝑧 = 𝑡)))
23 con3 151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 𝑧 𝑧 = 𝑡) → (¬ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
2422, 23syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → (¬ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧)))
2524com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (¬ 𝑧 = 𝑡 → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧)))
2615, 25pm2.61d 172 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
276, 26sylanb 576 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
285, 27syldan 585 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
294, 28syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝑧 → ¬ 𝑡 𝑧))
3029ralrimiv 3147 . . . . . . 7 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 𝑧)
31 eleq2 2848 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑡𝑤𝑡 𝑧))
3231notbid 310 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (¬ 𝑡𝑤 ↔ ¬ 𝑡 𝑧))
3332ralbidv 3168 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤 ↔ ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 𝑧))
3433rspcev 3511 . . . . . . 7 (( 𝑧𝑧 ∧ ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 𝑧) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
353, 30, 34syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
3635expcom 404 . . . . 5 (∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
371, 36syl6com 37 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑧𝐴 → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)))
3837impd 400 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
3938alrimiv 1970 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
40 df-fr 5314 . . 3 ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤))
41 epel 5269 . . . . . . . 8 (𝑡 E 𝑤𝑡𝑤)
4241notbii 312 . . . . . . 7 𝑡 E 𝑤 ↔ ¬ 𝑡𝑤)
4342ralbii 3162 . . . . . 6 (∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
4443rexbii 3224 . . . . 5 (∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
4544imbi2i 328 . . . 4 (((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
4645albii 1863 . . 3 (∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
4740, 46bitri 267 . 2 ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
4839, 47sylibr 226 1 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → E Fr 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  wal 1599   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  Vcvv 3398  wss 3792  wpss 3793  c0 4141   cint 4710   class class class wbr 4886  Tr wtr 4987   E cep 5265   Fr wfr 5311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-tr 4988  df-eprel 5266  df-fr 5314  df-suc 5982
This theorem is referenced by:  dfon2  32285
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