Theorem dfon2lem9 33673

Description: Lemma for dfon2 33674. A class of new ordinals is well-founded by E. (Contributed by Scott Fenton, 3-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfon2lem9	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → E Fr 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem dfon2lem9

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3983	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)))
2		dfon2lem8 33672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧) ∧ ∩ 𝑧 ∈ 𝑧))
3	2	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑧)
4		intss1 4891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑧 → ∩ 𝑧 ⊆ 𝑡)
5	2	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧))
6		intex 5256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
7		dfon2lem3 33667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∩ 𝑧 ∈ V → (∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧) → (Tr ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥)))
8	7	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (Tr ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥))
9	8	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥)
10		untelirr 33549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥 → ¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → ¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧)
12		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧 ↔ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
13	12	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 → (¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧 ↔ ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
14	11, 13	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
15	14	a1dd 50	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
16	8	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → Tr ∩ 𝑧)
17		trss 5196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Tr ∩ 𝑧 → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
19		eqss 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 ↔ (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
20	19	simplbi2com 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ⊆ ∩ 𝑧 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝑧 = 𝑡))
21	18, 20	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝑧 = 𝑡)))
22	21	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → ∩ 𝑧 = 𝑡)))
23		con3 153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → ∩ 𝑧 = 𝑡) → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
24	22, 23	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
25	24	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
26	15, 25	pm2.61d 179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
27	6, 26	sylanb 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
28	5, 27	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
29	4, 28	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (𝑡 ∈ 𝑧 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
30	29	ralrimiv 3106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)
31		eleq2 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (𝑡 ∈ 𝑤 ↔ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
32	31	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (¬ 𝑡 ∈ 𝑤 ↔ ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
33	32	ralbidv 3120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
34	33	rspcev 3552	. . . . . . 7 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
35	3, 30, 34	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
36	35	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
37	1, 36	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑧 ⊆ 𝐴 → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)))
38	37	impd 410	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
39	38	alrimiv 1931	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
40		df-fr 5535	. . 3 ⊢ ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤))
41		epel 5489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 E 𝑤 ↔ 𝑡 ∈ 𝑤)
42	41	notbii 319	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
43	42	ralbii 3090	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
44	43	rexbii 3177	. . . . 5 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
45	44	imbi2i 335	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
46	45	albii 1823	. . 3 ⊢ (∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
47	40, 46	bitri 274	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
48	39, 47	sylibr 233	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → E Fr 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  ∅c0 4253  ∩ cint 4876   class class class wbr 5070  Tr wtr 5187   E cep 5485   Fr wfr 5532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-fr 5535  df-suc 6257

This theorem is referenced by:  dfon2  33674