Theorem dfon2lem9 33149

Description: Lemma for dfon2 33150. A class of new ordinals is well-founded by E. (Contributed by Scott Fenton, 3-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfon2lem9	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → E Fr 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem dfon2lem9

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3981	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)))
2		dfon2lem8 33148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧) ∧ ∩ 𝑧 ∈ 𝑧))
3	2	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑧)
4		intss1 4853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑧 → ∩ 𝑧 ⊆ 𝑡)
5	2	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧))
6		intex 5204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
7		dfon2lem3 33143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∩ 𝑧 ∈ V → (∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧) → (Tr ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥)))
8	7	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (Tr ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥))
9	8	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥)
10		untelirr 33047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥 → ¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → ¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧)
12		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧 ↔ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
13	12	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 → (¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧 ↔ ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
14	11, 13	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
15	14	a1dd 50	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
16	8	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → Tr ∩ 𝑧)
17		trss 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Tr ∩ 𝑧 → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
19		eqss 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 ↔ (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
20	19	simplbi2com 506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ⊆ ∩ 𝑧 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝑧 = 𝑡))
21	18, 20	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝑧 = 𝑡)))
22	21	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → ∩ 𝑧 = 𝑡)))
23		con3 156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → ∩ 𝑧 = 𝑡) → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
24	22, 23	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
25	24	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
26	15, 25	pm2.61d 182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
27	6, 26	sylanb 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
28	5, 27	syldan 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
29	4, 28	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (𝑡 ∈ 𝑧 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
30	29	ralrimiv 3148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)
31		eleq2 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (𝑡 ∈ 𝑤 ↔ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
32	31	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (¬ 𝑡 ∈ 𝑤 ↔ ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
33	32	ralbidv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
34	33	rspcev 3571	. . . . . . 7 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
35	3, 30, 34	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
36	35	expcom 417	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
37	1, 36	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑧 ⊆ 𝐴 → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)))
38	37	impd 414	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
39	38	alrimiv 1928	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
40		df-fr 5478	. . 3 ⊢ ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤))
41		epel 5433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 E 𝑤 ↔ 𝑡 ∈ 𝑤)
42	41	notbii 323	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
43	42	ralbii 3133	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
44	43	rexbii 3210	. . . . 5 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
45	44	imbi2i 339	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
46	45	albii 1821	. . 3 ⊢ (∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
47	40, 46	bitri 278	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
48	39, 47	sylibr 237	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → E Fr 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882  ∅c0 4243  ∩ cint 4838   class class class wbr 5030  Tr wtr 5136   E cep 5429   Fr wfr 5475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-eprel 5430  df-fr 5478  df-suc 6165

This theorem is referenced by:  dfon2  33150