Theorem dfon2lem9 36553

Description: Lemma for dfon2 36554. A class of new ordinals is well-founded by E. (Contributed by Scott Fenton, 3-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfon2lem9	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → E Fr 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem dfon2lem9

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 4000	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)))
2		dfon2lem8 36552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧) ∧ ∩ 𝑧 ∈ 𝑧))
3	2	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑧)
4		intss1 4923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑧 → ∩ 𝑧 ⊆ 𝑡)
5	2	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧))
6		intex 5305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
7		dfon2lem3 36547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∩ 𝑧 ∈ V → (∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧) → (Tr ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥)))
8	7	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (Tr ∩ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥))
9	8	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥)
10		untelirr 36473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∩ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑥 → ¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → ¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧)
12		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧 ↔ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
13	12	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 → (¬ ∩ 𝑧 ∈ ∩ 𝑧 ↔ ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
14	11, 13	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
15	14	a1dd 51	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
16	8	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → Tr ∩ 𝑧)
17		trss 5222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Tr ∩ 𝑧 → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
19		eqss 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∩ 𝑧 = 𝑡 ↔ (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 ∧ 𝑡 ⊆ ∩ 𝑧))
20	19	simplbi2com 508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ⊆ ∩ 𝑧 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝑧 = 𝑡))
21	18, 20	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝑧 = 𝑡)))
22	21	com23 87	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → (𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → ∩ 𝑧 = 𝑡)))
23		con3 154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ ∩ 𝑧 → ∩ 𝑧 = 𝑡) → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
24	22, 23	syl6 36	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
25	24	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (¬ ∩ 𝑧 = 𝑡 → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)))
26	15, 25	pm2.61d 181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
27	6, 26	sylanb 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢((𝑢 ⊊ ∩ 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 ∈ ∩ 𝑧)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
28	5, 27	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (∩ 𝑧 ⊆ 𝑡 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
29	4, 28	syl5 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → (𝑡 ∈ 𝑧 → ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
30	29	ralrimiv 3154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧)
31		eleq2 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (𝑡 ∈ 𝑤 ↔ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
32	31	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (¬ 𝑡 ∈ 𝑤 ↔ ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
33	32	ralbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∩ 𝑧 → (∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧))
34	33	rspcev 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((∩ 𝑧 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ ∩ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
35	3, 30, 34	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥)) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
36	35	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
37	1, 36	syl6com 38	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑧 ⊆ 𝐴 → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)))
38	37	impd 416	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
39	38	alrimiv 1960	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
40		df-fr 5604	. . 3 ⊢ ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤))
41		epel 5554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 E 𝑤 ↔ 𝑡 ∈ 𝑤)
42	41	notbii 323	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
43	42	ralbii 3109	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
44	43	rexbii 3110	. . . . 5 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤)
45	44	imbi2i 339	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
46	45	albii 1852	. . 3 ⊢ (∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
47	40, 46	bitri 278	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝑧 ∀𝑡 ∈ 𝑧 ¬ 𝑡 ∈ 𝑤))
48	39, 47	sylibr 237	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑥) → E Fr 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  ∅c0 4279  ∩ cint 4907   class class class wbr 5103  Tr wtr 5212   E cep 5550   Fr wfr 5601

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-fr 5604  df-suc 6368

This theorem is used by:  dfon2  36554