Theorem diadm 41037

Description: Domain of the partial isomorphism A. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
diafn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
diafn.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
diafn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diafn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diadm	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊})

Distinct variable groups:   𝑥, ≤   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem diadm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diafn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		diafn.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		diafn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diafn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	diafn 41036	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊})
6	5	fndmd 6673	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  LHypclh 39986  DIsoAcdia 41030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-disoa 41031

This theorem is referenced by:  diaeldm  41038  diaglbN  41057  diaintclN  41060  dibfnN  41158  dibglbN  41168