Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaglbN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaglbN 41012
Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diaglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
diaglb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diaglb.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diaglbN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Proof of Theorem diaglbN
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 hlclat 39314 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
32ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
4 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6 diaglb.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 diaglb.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
84, 5, 6, 7diadm 40992 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐼 = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
98sseq2d 4041 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
109biimpa 476 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐼) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
1110adantrr 716 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
12 ssrab2 4103 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ⊆ (Base‘𝐾)
1311, 12sstrdi 4021 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
14 diaglb.g . . . . . 6 𝐺 = (glb‘𝐾)
154, 14clatglbcl 18575 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
163, 13, 15syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
17 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
18 n0 4376 . . . . . 6 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
1917, 18sylib 218 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
20 hllat 39319 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2120ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
2216adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
23 ssel2 4003 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
2423adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
2524adantll 713 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
264, 5, 6, 7diaeldm 40993 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
2726ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
2825, 27mpbid 232 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
2928simpld 494 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
304, 6lhpbase 39955 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3130ad3antlr 730 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
322ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
3313adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
34 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
354, 5, 14clatglble 18587 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
3728simprd 495 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥(le‘𝐾)𝑊)
384, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37lattrd 18516 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
3919, 38exlimddv 1934 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
40 eqid 2740 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41 eqid 2740 . . . . 5 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
424, 5, 6, 40, 41, 7diaelval 40990 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆))))
431, 16, 39, 42syl12anc 836 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆))))
44 r19.28zv 4524 . . . . . 6 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
4544ad2antll 728 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
46 simpll 766 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
474, 5, 6, 40, 41, 7diaelval 40990 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
4846, 28, 47syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑓 ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
4948ralbidva 3182 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
502ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ CLat)
514, 6, 40, 41trlcl 40121 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
5251adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
5313adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
544, 5, 14clatleglb 18588 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
5550, 52, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
5655pm5.32da 578 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
5745, 49, 563bitr4rd 312 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥)))
58 vex 3492 . . . . 5 𝑓 ∈ V
59 eliin 5020 . . . . 5 (𝑓 ∈ V → (𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥)))
6058, 59ax-mp 5 . . . 4 (𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥))
6157, 60bitr4di 289 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆)) ↔ 𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
6243, 61bitrd 279 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ 𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
6362eqrdv 2738 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1777  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488  wss 3976  c0 4352   ciin 5016   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  glbcglb 18380  Latclat 18501  CLatccla 18568  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058  trLctrl 40115  DIsoAcdia 40985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-disoa 40986
This theorem is referenced by:  diameetN  41013  diaintclN  41015  dibglbN  41123
  Copyright terms: Public domain W3C validator