Theorem diaglbN 41521

Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
diaglb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diaglb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diaglbN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Proof of Theorem diaglbN

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlclat 39824	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
3	2	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
4		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		diaglb.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		diaglb.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	diadm 41501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
9	8	sseq2d 3955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ↔ 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
10	9	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐼) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
11	10	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
12		ssrab2 4021	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ⊆ (Base‘𝐾)
13	11, 12	sstrdi 3935	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
14		diaglb.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
15	4, 14	clatglbcl 18466	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
16	3, 13, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
17		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
18		n0 4294	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
19	17, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
20		hllat 39829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21	20	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
22	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
23		ssel2 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
24	23	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
25	24	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
26	4, 5, 6, 7	diaeldm 41502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
27	26	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
28	25, 27	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
29	28	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
30	4, 6	lhpbase 40464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
31	30	ad3antlr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
32	2	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
33	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
34		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
35	4, 5, 14	clatglble 18478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
37	28	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥(le‘𝐾)𝑊)
38	4, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37	lattrd 18407	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
39	19, 38	exlimddv 1937	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
40		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
42	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 41499	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
43	1, 16, 39, 42	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
44		r19.28zv 4447	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
45	44	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
46		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
47	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 41499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
48	46, 28, 47	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
49	48	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
50	2	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ CLat)
51	4, 6, 40, 41	trlcl 40630	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
52	51	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
53	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
54	4, 5, 14	clatleglb 18479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
56	55	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
57	45, 49, 56	3bitr4rd 312	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥)))
58		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
59		eliin 4939	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ V → (𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥)))
60	58, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥))
61	57, 60	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
62	43, 61	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
63	62	eqrdv 2735	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∩ ciin 4935   class class class wbr 5086  dom cdm 5626  ‘cfv 6494  Basecbs 17174  lecple 17222  glbcglb 18271  Latclat 18392  CLatccla 18459  HLchlt 39816  LHypclh 40450  LTrncltrn 40567  trLctrl 40624  DIsoAcdia 41494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8770  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39642  df-ol 39644  df-oml 39645  df-covers 39732  df-ats 39733  df-atl 39764  df-cvlat 39788  df-hlat 39817  df-lhyp 40454  df-laut 40455  df-ldil 40570  df-ltrn 40571  df-trl 40625  df-disoa 41495

This theorem is referenced by:  diameetN  41522  diaintclN  41524  dibglbN  41632