Theorem diaglbN 41056

Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
diaglb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diaglb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diaglbN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Proof of Theorem diaglbN

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlclat 39358	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
3	2	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
4		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		diaglb.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		diaglb.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	diadm 41036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
9	8	sseq2d 3982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ↔ 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
10	9	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐼) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
11	10	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
12		ssrab2 4046	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ⊆ (Base‘𝐾)
13	11, 12	sstrdi 3962	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
14		diaglb.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
15	4, 14	clatglbcl 18471	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
16	3, 13, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
17		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
18		n0 4319	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
19	17, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
20		hllat 39363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21	20	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
22	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
23		ssel2 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
24	23	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
25	24	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
26	4, 5, 6, 7	diaeldm 41037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
28	25, 27	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
29	28	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
30	4, 6	lhpbase 39999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
31	30	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
32	2	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
33	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
34		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
35	4, 5, 14	clatglble 18483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
37	28	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥(le‘𝐾)𝑊)
38	4, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37	lattrd 18412	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
39	19, 38	exlimddv 1935	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
40		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
42	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 41034	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
43	1, 16, 39, 42	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
44		r19.28zv 4467	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
45	44	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
46		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
47	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 41034	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
48	46, 28, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
49	48	ralbidva 3155	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
50	2	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ CLat)
51	4, 6, 40, 41	trlcl 40165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
52	51	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
53	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
54	4, 5, 14	clatleglb 18484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
56	55	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
57	45, 49, 56	3bitr4rd 312	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥)))
58		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
59		eliin 4963	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ V → (𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥)))
60	58, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥))
61	57, 60	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
62	43, 61	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
63	62	eqrdv 2728	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  {crab 3408  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∩ ciin 4959   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  lecple 17234  glbcglb 18278  Latclat 18397  CLatccla 18464  HLchlt 39350  LHypclh 39985  LTrncltrn 40102  trLctrl 40159  DIsoAcdia 41029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-lhyp 39989  df-laut 39990  df-ldil 40105  df-ltrn 40106  df-trl 40160  df-disoa 41030

This theorem is referenced by:  diameetN  41057  diaintclN  41059  dibglbN  41167