Theorem diaglbN 41038

Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
diaglb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diaglb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diaglbN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Proof of Theorem diaglbN

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlclat 39340	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
3	2	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
4		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		diaglb.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		diaglb.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	diadm 41018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
9	8	sseq2d 4028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ↔ 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
10	9	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐼) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
11	10	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
12		ssrab2 4090	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ⊆ (Base‘𝐾)
13	11, 12	sstrdi 4008	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
14		diaglb.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
15	4, 14	clatglbcl 18563	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
16	3, 13, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
17		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
18		n0 4359	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
19	17, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
20		hllat 39345	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21	20	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
22	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
23		ssel2 3990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
24	23	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
25	24	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
26	4, 5, 6, 7	diaeldm 41019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
28	25, 27	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
29	28	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
30	4, 6	lhpbase 39981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
31	30	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
32	2	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
33	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
34		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
35	4, 5, 14	clatglble 18575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
37	28	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥(le‘𝐾)𝑊)
38	4, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37	lattrd 18504	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
39	19, 38	exlimddv 1933	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
40		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
42	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 41016	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
43	1, 16, 39, 42	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
44		r19.28zv 4507	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
45	44	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
46		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
47	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 41016	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
48	46, 28, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
49	48	ralbidva 3174	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
50	2	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ CLat)
51	4, 6, 40, 41	trlcl 40147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
52	51	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
53	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
54	4, 5, 14	clatleglb 18576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
56	55	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
57	45, 49, 56	3bitr4rd 312	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥)))
58		vex 3482	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
59		eliin 5001	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ V → (𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥)))
60	58, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (𝐼‘𝑥))
61	57, 60	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
62	43, 61	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
63	62	eqrdv 2733	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ∩ ciin 4997   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  glbcglb 18368  Latclat 18489  CLatccla 18556  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141  DIsoAcdia 41011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-disoa 41012

This theorem is referenced by:  diameetN  41039  diaintclN  41041  dibglbN  41149