Theorem diaeldm 41037

Description: Member of domain of the partial isomorphism A. (Contributed by NM, 4-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
diafn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
diafn.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
diafn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diafn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diaeldm	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)))

Proof of Theorem diaeldm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diafn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		diafn.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		diafn.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diafn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	diadm 41036	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊})
6	5	eleq2d 2815	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊}))
7		breq1 5113	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤ 𝑊 ↔ 𝑋 ≤ 𝑊))
8	7	elrab 3662	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))
9	6, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  lecple 17234  LHypclh 39985  DIsoAcdia 41029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-disoa 41030

This theorem is referenced by:  diadmclN  41038  diadmleN  41039  dia0eldmN  41041  dia1eldmN  41042  diaf11N  41050  diaglbN  41056  diaintclN  41059  diasslssN  41060  docaclN  41125  doca2N  41127  djajN  41138  dibval2  41145  dibeldmN  41159