Theorem diaeldm 39057

Description: Member of domain of the partial isomorphism A. (Contributed by NM, 4-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
diafn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
diafn.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
diafn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diafn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diaeldm	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)))

Proof of Theorem diaeldm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diafn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		diafn.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		diafn.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diafn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	diadm 39056	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊})
6	5	eleq2d 2825	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊}))
7		breq1 5078	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤ 𝑊 ↔ 𝑋 ≤ 𝑊))
8	7	elrab 3625	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))
9	6, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3069   class class class wbr 5075  dom cdm 5590  ‘cfv 6437  Basecbs 16921  lecple 16978  LHypclh 38005  DIsoAcdia 39049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pr 5353

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-disoa 39050

This theorem is referenced by:  diadmclN  39058  diadmleN  39059  dia0eldmN  39061  dia1eldmN  39062  diaf11N  39070  diaglbN  39076  diaintclN  39079  diasslssN  39080  docaclN  39145  doca2N  39147  djajN  39158  dibval2  39165  dibeldmN  39179