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Theorem dibglbN 39658
Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibglb.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dibglb.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dibglb.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dibglbN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem dibglbN
Dummy variables 𝑓 𝑠 β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simprl 770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝐼)
3 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
5 dibglb.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 dibglb.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6dibdmN 39649 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ dom 𝐼 = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
87sseq2d 3981 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ↔ 𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š}))
98adantr 482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ↔ 𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š}))
102, 9mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
11 simprr 772 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
125, 6dibvalrel 39655 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))
1312adantr 482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ Rel (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))
14 n0 4311 . . . . . . . 8 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆)
1514biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑆 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆)
1615ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆)
175, 6dibvalrel 39655 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜π‘₯))
1817adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ Rel (πΌβ€˜π‘₯))
1918a1d 25 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ Rel (πΌβ€˜π‘₯)))
2019ancld 552 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯))))
2120eximdv 1921 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯))))
2216, 21mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯)))
23 df-rex 3075 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 Rel (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯)))
2422, 23sylibr 233 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 Rel (πΌβ€˜π‘₯))
25 reliin 5778 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 Rel (πΌβ€˜π‘₯) β†’ Rel ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
2624, 25syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ Rel ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
27 id 22 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)))
28 simpl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
29 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
30 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
313, 4, 5, 30diadm 39527 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ dom ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
3231adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ dom ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
3329, 32sseqtrrd 3990 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† dom ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
34 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
35 dibglb.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
3635, 5, 30diaglbN 39547 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
3728, 33, 34, 36syl12anc 836 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
3837eleq2d 2824 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ 𝑓 ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
39 vex 3452 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
40 eliin 4964 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ V β†’ (𝑓 ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
4238, 41bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
4342anbi1d 631 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
44 r19.27zv 4468 . . . . . . 7 (𝑆 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
4544ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
4643, 45bitr4d 282 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
47 hlclat 37849 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
4847ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
49 ssrab2 4042 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
5029, 49sstrdi 3961 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
513, 35clatglbcl 18401 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5248, 50, 51syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
53 hllat 37854 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5453ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5547ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
56 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
5756, 49sstrdi 3961 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
5855, 57, 51syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5950sselda 3949 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
603, 5lhpbase 38490 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6160ad3antlr 730 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
62 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
633, 4, 35clatglble 18413 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†)(leβ€˜πΎ)π‘₯)
6455, 57, 62, 63syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†)(leβ€˜πΎ)π‘₯)
6529sselda 3949 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
66 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š ↔ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š))
6766elrab 3650 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š))
6865, 67sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š))
6968simprd 497 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š)
703, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69lattrd 18342 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
7116, 70exlimddv 1939 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΊβ€˜π‘†)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
72 eqid 2737 . . . . . . 7 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73 eqid 2737 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
743, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 39637 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘†)(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
7528, 52, 71, 74syl12anc 836 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
76 opex 5426 . . . . . . 7 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ V
77 eliin 4964 . . . . . . 7 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ V β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . . 6 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯))
79 simpll 766 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
803, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 39637 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
8179, 68, 80syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
8281ralbidva 3173 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
8378, 82bitrid 283 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
8446, 75, 833bitr4d 311 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)))
8584eqrelrdv2 5756 . . 3 (((Rel (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∧ Rel ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…))) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
8613, 26, 27, 85syl21anc 837 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
871, 10, 11, 86syl12anc 836 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  βŸ¨cop 4597  βˆ© ciin 4960   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5535  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640  Rel wrel 5643  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  lecple 17147  glbcglb 18206  Latclat 18327  CLatccla 18394  HLchlt 37841  LHypclh 38476  LTrncltrn 38593  DIsoAcdia 39520  DIsoBcdib 39630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651  df-disoa 39521  df-dib 39631
This theorem is referenced by:  dibintclN  39659  dihglblem3N  39787  dihmeetlem2N  39791
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