Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibglbN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibglbN 37187
Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dibglb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibglb.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibglbN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem dibglbN
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simprl 788 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ dom 𝐼)
3 eqid 2799 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 eqid 2799 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 dibglb.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 dibglb.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6dibdmN 37178 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐼 = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
87sseq2d 3829 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
98adantr 473 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
102, 9mpbid 224 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
11 simprr 790 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
125, 6dibvalrel 37184 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
1312adantr 473 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
14 n0 4131 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
1514biimpi 208 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥𝑆)
1615ad2antll 721 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
175, 6dibvalrel 37184 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑥))
1817adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Rel (𝐼𝑥))
1918a1d 25 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥𝑆 → Rel (𝐼𝑥)))
2019ancld 547 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
2120eximdv 2013 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
2216, 21mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
23 df-rex 3095 . . . . 5 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
2422, 23sylibr 226 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥))
25 reliin 5444 . . . 4 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
2624, 25syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
27 id 22 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)))
28 simpl 475 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 simprl 788 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
30 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
313, 4, 5, 30diadm 37056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
3231adantr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
3329, 32sseqtr4d 3838 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
34 simprr 790 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
35 dibglb.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (glb‘𝐾)
3635, 5, 30diaglbN 37076 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
3728, 33, 34, 36syl12anc 866 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
3837eleq2d 2864 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ↔ 𝑓 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
39 vex 3388 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
40 eliin 4715 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ V → (𝑓 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑓 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
4238, 41syl6bb 279 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
4342anbi1d 624 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
44 r19.27zv 4264 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
4544ad2antll 721 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
4643, 45bitr4d 274 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
47 hlclat 35379 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
4847ad2antrr 718 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
49 ssrab2 3883 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ⊆ (Base‘𝐾)
5029, 49syl6ss 3810 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
513, 35clatglbcl 17429 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5248, 50, 51syl2anc 580 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
53 hllat 35384 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
5453ad3antrrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5547ad3antrrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
56 simplrl 796 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
5756, 49syl6ss 3810 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
5855, 57, 51syl2anc 580 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5950sselda 3798 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
603, 5lhpbase 36019 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6160ad3antlr 723 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
62 simpr 478 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
633, 4, 35clatglble 17440 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
6455, 57, 62, 63syl3anc 1491 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
6529sselda 3798 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
66 breq1 4846 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦(le‘𝐾)𝑊𝑥(le‘𝐾)𝑊))
6766elrab 3556 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
6865, 67sylib 210 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
6968simprd 490 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥(le‘𝐾)𝑊)
703, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69lattrd 17373 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
7116, 70exlimddv 2031 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
72 eqid 2799 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
73 eqid 2799 . . . . . . 7 ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
743, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 37166 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
7528, 52, 71, 74syl12anc 866 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
76 opex 5123 . . . . . . 7 𝑓, 𝑠⟩ ∈ V
77 eliin 4715 . . . . . . 7 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥))
79 simpll 784 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
803, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 37166 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8179, 68, 80syl2anc 580 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8281ralbidva 3166 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8378, 82syl5bb 275 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8446, 75, 833bitr4d 303 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
8584eqrelrdv2 5423 . . 3 (((Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)) ∧ Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅))) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
8613, 26, 27, 85syl21anc 867 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
871, 10, 11, 86syl12anc 866 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wrex 3090  {crab 3093  Vcvv 3385  wss 3769  c0 4115  cop 4374   ciin 4711   class class class wbr 4843  cmpt 4922   I cid 5219  dom cdm 5312  cres 5314  Rel wrel 5317  cfv 6101  Basecbs 16184  lecple 16274  glbcglb 17258  Latclat 17360  CLatccla 17422  HLchlt 35371  LHypclh 36005  LTrncltrn 36122  DIsoAcdia 37049  DIsoBcdib 37159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-map 8097  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-p1 17355  df-lat 17361  df-clat 17423  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126  df-trl 36180  df-disoa 37050  df-dib 37160
This theorem is referenced by:  dibintclN  37188  dihglblem3N  37316  dihmeetlem2N  37320
  Copyright terms: Public domain W3C validator