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Theorem dibglbN 40025
Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibglb.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dibglb.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dibglb.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dibglbN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem dibglbN
Dummy variables 𝑓 𝑠 β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simprl 769 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝐼)
3 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2732 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
5 dibglb.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 dibglb.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6dibdmN 40016 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ dom 𝐼 = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
87sseq2d 4013 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ↔ 𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š}))
98adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ↔ 𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š}))
102, 9mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
11 simprr 771 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
125, 6dibvalrel 40022 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))
1312adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ Rel (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))
14 n0 4345 . . . . . . . 8 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆)
1514biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑆 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆)
1615ad2antll 727 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆)
175, 6dibvalrel 40022 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜π‘₯))
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ Rel (πΌβ€˜π‘₯))
1918a1d 25 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ Rel (πΌβ€˜π‘₯)))
2019ancld 551 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯))))
2120eximdv 1920 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯))))
2216, 21mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯)))
23 df-rex 3071 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 Rel (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯)))
2422, 23sylibr 233 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 Rel (πΌβ€˜π‘₯))
25 reliin 5815 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 Rel (πΌβ€˜π‘₯) β†’ Rel ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
2624, 25syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ Rel ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
27 id 22 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)))
28 simpl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
29 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
313, 4, 5, 30diadm 39894 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ dom ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ dom ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
3329, 32sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† dom ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
34 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
35 dibglb.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
3635, 5, 30diaglbN 39914 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
3728, 33, 34, 36syl12anc 835 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
3837eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ 𝑓 ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
39 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
40 eliin 5001 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ V β†’ (𝑓 ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
4238, 41bitrdi 286 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
4342anbi1d 630 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
44 r19.27zv 4504 . . . . . . 7 (𝑆 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
4544ad2antll 727 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
4643, 45bitr4d 281 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
47 hlclat 38216 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
4847ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
49 ssrab2 4076 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
5029, 49sstrdi 3993 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
513, 35clatglbcl 18454 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5248, 50, 51syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
53 hllat 38221 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5453ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5547ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
56 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
5756, 49sstrdi 3993 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
5855, 57, 51syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5950sselda 3981 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
603, 5lhpbase 38857 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6160ad3antlr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
62 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
633, 4, 35clatglble 18466 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†)(leβ€˜πΎ)π‘₯)
6455, 57, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†)(leβ€˜πΎ)π‘₯)
6529sselda 3981 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š})
66 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š ↔ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š))
6766elrab 3682 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š))
6865, 67sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š))
6968simprd 496 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š)
703, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69lattrd 18395 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
7116, 70exlimddv 1938 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΊβ€˜π‘†)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
72 eqid 2732 . . . . . . 7 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73 eqid 2732 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
743, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 40004 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘†)(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
7528, 52, 71, 74syl12anc 835 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
76 opex 5463 . . . . . . 7 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ V
77 eliin 5001 . . . . . . 7 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ V β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . . 6 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯))
79 simpll 765 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
803, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 40004 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
8179, 68, 80syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
8281ralbidva 3175 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
8378, 82bitrid 282 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∧ 𝑠 = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))))
8446, 75, 833bitr4d 310 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)))
8584eqrelrdv2 5793 . . 3 (((Rel (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∧ Rel ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…))) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
8613, 26, 27, 85syl21anc 836 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š} ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
871, 10, 11, 86syl12anc 835 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† dom 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βŸ¨cop 4633  βˆ© ciin 4997   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  Rel wrel 5680  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  glbcglb 18259  Latclat 18380  CLatccla 18447  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  DIsoAcdia 39887  DIsoBcdib 39997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-disoa 39888  df-dib 39998
This theorem is referenced by:  dibintclN  40026  dihglblem3N  40154  dihmeetlem2N  40158
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