Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 484 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β dom πΌ β§ π β β
)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simprl 770 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β dom πΌ β§ π β β
)) β π β dom πΌ) |
3 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
4 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
5 | | dibglb.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | dibglb.i |
. . . . . 6
β’ πΌ = ((DIsoBβπΎ)βπ) |
7 | 3, 4, 5, 6 | dibdmN 39649 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β dom πΌ = {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π}) |
8 | 7 | sseq2d 3981 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β (π β dom πΌ β π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π})) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β dom πΌ β§ π β β
)) β (π β dom πΌ β π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π})) |
10 | 2, 9 | mpbid 231 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β dom πΌ β§ π β β
)) β π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π}) |
11 | | simprr 772 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β dom πΌ β§ π β β
)) β π β β
) |
12 | 5, 6 | dibvalrel 39655 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β Rel (πΌβ(πΊβπ))) |
13 | 12 | adantr 482 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β Rel (πΌβ(πΊβπ))) |
14 | | n0 4311 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β
β
βπ₯ π₯ β π) |
15 | 14 | biimpi 215 |
. . . . . . 7
β’ (π β β
β
βπ₯ π₯ β π) |
16 | 15 | ad2antll 728 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β βπ₯ π₯ β π) |
17 | 5, 6 | dibvalrel 39655 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β Rel (πΌβπ₯)) |
18 | 17 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β Rel (πΌβπ₯)) |
19 | 18 | a1d 25 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (π₯ β π β Rel (πΌβπ₯))) |
20 | 19 | ancld 552 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (π₯ β π β (π₯ β π β§ Rel (πΌβπ₯)))) |
21 | 20 | eximdv 1921 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (βπ₯ π₯ β π β βπ₯(π₯ β π β§ Rel (πΌβπ₯)))) |
22 | 16, 21 | mpd 15 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β βπ₯(π₯ β π β§ Rel (πΌβπ₯))) |
23 | | df-rex 3075 |
. . . . 5
β’
(βπ₯ β
π Rel (πΌβπ₯) β βπ₯(π₯ β π β§ Rel (πΌβπ₯))) |
24 | 22, 23 | sylibr 233 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β βπ₯ β π Rel (πΌβπ₯)) |
25 | | reliin 5778 |
. . . 4
β’
(βπ₯ β
π Rel (πΌβπ₯) β Rel β© π₯ β π (πΌβπ₯)) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β Rel β© π₯ β π (πΌβπ₯)) |
27 | | id 22 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
))) |
28 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
29 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π}) |
30 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
((DIsoAβπΎ)βπ) = ((DIsoAβπΎ)βπ) |
31 | 3, 4, 5, 30 | diadm 39527 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β dom ((DIsoAβπΎ)βπ) = {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π}) |
32 | 31 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β dom
((DIsoAβπΎ)βπ) = {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π}) |
33 | 29, 32 | sseqtrrd 3990 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β π β dom ((DIsoAβπΎ)βπ)) |
34 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β π β β
) |
35 | | dibglb.g |
. . . . . . . . . . 11
β’ πΊ = (glbβπΎ) |
36 | 35, 5, 30 | diaglbN 39547 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β dom ((DIsoAβπΎ)βπ) β§ π β β
)) β (((DIsoAβπΎ)βπ)β(πΊβπ)) = β©
π₯ β π (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯)) |
37 | 28, 33, 34, 36 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (((DIsoAβπΎ)βπ)β(πΊβπ)) = β©
π₯ β π (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯)) |
38 | 37 | eleq2d 2824 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (π β (((DIsoAβπΎ)βπ)β(πΊβπ)) β π β β©
π₯ β π (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯))) |
39 | | vex 3452 |
. . . . . . . . 9
β’ π β V |
40 | | eliin 4964 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β V β (π β β© π₯ β π (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β βπ₯ β π π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯))) |
41 | 39, 40 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β© π₯ β π (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β βπ₯ β π π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯)) |
42 | 38, 41 | bitrdi 287 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (π β (((DIsoAβπΎ)βπ)β(πΊβπ)) β βπ₯ β π π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯))) |
43 | 42 | anbi1d 631 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β ((π β (((DIsoAβπΎ)βπ)β(πΊβπ)) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))) β (βπ₯ β π π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))))) |
44 | | r19.27zv 4468 |
. . . . . . 7
β’ (π β β
β
(βπ₯ β π (π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))) β (βπ₯ β π π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))))) |
45 | 44 | ad2antll 728 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (βπ₯ β π (π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))) β (βπ₯ β π π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))))) |
46 | 43, 45 | bitr4d 282 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β ((π β (((DIsoAβπΎ)βπ)β(πΊβπ)) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))) β βπ₯ β π (π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))))) |
47 | | hlclat 37849 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ β HL β πΎ β CLat) |
48 | 47 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β πΎ β CLat) |
49 | | ssrab2 4042 |
. . . . . . . 8
β’ {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β (BaseβπΎ) |
50 | 29, 49 | sstrdi 3961 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β π β (BaseβπΎ)) |
51 | 3, 35 | clatglbcl 18401 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β CLat β§ π β (BaseβπΎ)) β (πΊβπ) β (BaseβπΎ)) |
52 | 48, 50, 51 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (πΊβπ) β (BaseβπΎ)) |
53 | | hllat 37854 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
54 | 53 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β πΎ β Lat) |
55 | 47 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β πΎ β CLat) |
56 | | simplrl 776 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π}) |
57 | 56, 49 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β π β (BaseβπΎ)) |
58 | 55, 57, 51 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β (πΊβπ) β (BaseβπΎ)) |
59 | 50 | sselda 3949 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β π₯ β (BaseβπΎ)) |
60 | 3, 5 | lhpbase 38490 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
61 | 60 | ad3antlr 730 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β π β (BaseβπΎ)) |
62 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β π₯ β π) |
63 | 3, 4, 35 | clatglble 18413 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β CLat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π₯ β π) β (πΊβπ)(leβπΎ)π₯) |
64 | 55, 57, 62, 63 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β (πΊβπ)(leβπΎ)π₯) |
65 | 29 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β π₯ β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π}) |
66 | | breq1 5113 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π¦ = π₯ β (π¦(leβπΎ)π β π₯(leβπΎ)π)) |
67 | 66 | elrab 3650 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π₯ β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β (π₯ β (BaseβπΎ) β§ π₯(leβπΎ)π)) |
68 | 65, 67 | sylib 217 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β (π₯ β (BaseβπΎ) β§ π₯(leβπΎ)π)) |
69 | 68 | simprd 497 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β π₯(leβπΎ)π) |
70 | 3, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69 | lattrd 18342 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β (πΊβπ)(leβπΎ)π) |
71 | 16, 70 | exlimddv 1939 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (πΊβπ)(leβπΎ)π) |
72 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
((LTrnβπΎ)βπ) = ((LTrnβπΎ)βπ) |
73 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’ (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ))) = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ))) |
74 | 3, 4, 5, 72, 73, 30, 6 | dibopelval2 39637 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΊβπ) β (BaseβπΎ) β§ (πΊβπ)(leβπΎ)π)) β (β¨π, π β© β (πΌβ(πΊβπ)) β (π β (((DIsoAβπΎ)βπ)β(πΊβπ)) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))))) |
75 | 28, 52, 71, 74 | syl12anc 836 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (β¨π, π β© β (πΌβ(πΊβπ)) β (π β (((DIsoAβπΎ)βπ)β(πΊβπ)) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))))) |
76 | | opex 5426 |
. . . . . . 7
β’
β¨π, π β© β V |
77 | | eliin 4964 |
. . . . . . 7
β’
(β¨π, π β© β V β
(β¨π, π β© β β© π₯ β π (πΌβπ₯) β βπ₯ β π β¨π, π β© β (πΌβπ₯))) |
78 | 76, 77 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
β’
(β¨π, π β© β β© π₯ β π (πΌβπ₯) β βπ₯ β π β¨π, π β© β (πΌβπ₯)) |
79 | | simpll 766 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
80 | 3, 4, 5, 72, 73, 30, 6 | dibopelval2 39637 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π₯ β (BaseβπΎ) β§ π₯(leβπΎ)π)) β (β¨π, π β© β (πΌβπ₯) β (π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))))) |
81 | 79, 68, 80 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β§ π₯ β π) β (β¨π, π β© β (πΌβπ₯) β (π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))))) |
82 | 81 | ralbidva 3173 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (βπ₯ β π β¨π, π β© β (πΌβπ₯) β βπ₯ β π (π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))))) |
83 | 78, 82 | bitrid 283 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (β¨π, π β© β β© π₯ β π (πΌβπ₯) β βπ₯ β π (π β (((DIsoAβπΎ)βπ)βπ₯) β§ π = (β β ((LTrnβπΎ)βπ) β¦ ( I βΎ (BaseβπΎ)))))) |
84 | 46, 75, 83 | 3bitr4d 311 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (β¨π, π β© β (πΌβ(πΊβπ)) β β¨π, π β© β β© π₯ β π (πΌβπ₯))) |
85 | 84 | eqrelrdv2 5756 |
. . 3
β’ (((Rel
(πΌβ(πΊβπ)) β§ Rel β© π₯ β π (πΌβπ₯)) β§ ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
))) β (πΌβ(πΊβπ)) = β©
π₯ β π (πΌβπ₯)) |
86 | 13, 26, 27, 85 | syl21anc 837 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β {π¦ β (BaseβπΎ) β£ π¦(leβπΎ)π} β§ π β β
)) β (πΌβ(πΊβπ)) = β©
π₯ β π (πΌβπ₯)) |
87 | 1, 10, 11, 86 | syl12anc 836 |
1
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