Theorem dibfnN 41971

Description: Functionality and domain of the partial isomorphism B. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibfn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibfn.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibfn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibfn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibfnN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊})

Distinct variable groups:   𝑥, ≤   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dibfnN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibfn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3		dibfn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dibfna 41969	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
5		dibfn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		dibfn.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7	5, 6, 1, 2	diadm 41850	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊})
8	7	fneq2d 6636	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼 Fn dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) ↔ 𝐼 Fn {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊}))
9	4, 8	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ≤ 𝑊})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419   class class class wbr 5114  dom cdm 5666   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  lecple 17342  LHypclh 40799  DIsoAcdia 41843  DIsoBcdib 41953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-disoa 41844  df-dib 41954

This theorem is used by:  dibdmN  41972  dibf11N  41976