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Theorem diblss 40505
Description: The value of partial isomorphism B is a subspace of partial vector space H. TODO: use dib* specific theorems instead of dia* ones to shorten proof? (Contributed by NM, 11-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
diblss.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
diblss.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
diblss.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
diblss.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
diblss.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
diblss.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
diblss (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem diblss
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ β„Ž 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2732 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
2 diblss.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2731 . . . . 5 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 diblss.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2731 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
72, 3, 4, 5, 6dvhbase 40418 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
87eqcomd 2737 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
98adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
10 eqid 2731 . . . . 5 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
122, 10, 3, 4, 11dvhvbase 40422 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
1312eqcomd 2737 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1413adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
15 eqidd 2732 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ))
16 eqidd 2732 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ))
17 diblss.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
1817a1i 11 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
19 diblss.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
20 diblss.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
21 diblss.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2219, 20, 2, 21, 4, 11dibss 40504 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
2322, 14sseqtrrd 4023 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2419, 20, 2, 21dibn0 40488 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
25 fvex 6904 . . . . . . 7 (π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∈ V
26 vex 3477 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
27 fvex 6904 . . . . . . . 8 (2nd β€˜π‘Ž) ∈ V
2826, 27coex 7925 . . . . . . 7 (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž)) ∈ V
2925, 28op1st 7987 . . . . . 6 (1st β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩) = (π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž))
3029coeq1i 5859 . . . . 5 ((1st β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩) ∘ (1st β€˜π‘)) = ((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘))
31 simpll 764 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
32 simpr1 1193 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
33 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š))
34 simpr2 1194 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
3519, 20, 2, 10, 21dibelval1st1 40485 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (1st β€˜π‘Ž) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3631, 33, 34, 35syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (1st β€˜π‘Ž) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
372, 10, 3tendocl 40102 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (1st β€˜π‘Ž) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3831, 32, 36, 37syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
39 simpr3 1195 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
4019, 20, 2, 10, 21dibelval1st1 40485 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
4131, 33, 39, 40syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
422, 10ltrnco 40054 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (1st β€˜π‘) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
4331, 38, 41, 42syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
44 simplll 772 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4544hllatd 38698 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
46 eqid 2731 . . . . . . . . 9 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4719, 2, 10, 46trlcl 39499 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘))) ∈ 𝐡)
4831, 43, 47syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘))) ∈ 𝐡)
4919, 2, 10, 46trlcl 39499 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž))) ∈ 𝐡)
5031, 38, 49syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž))) ∈ 𝐡)
5119, 2, 10, 46trlcl 39499 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (1st β€˜π‘) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
5231, 41, 51syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
53 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
5419, 53latjcl 18402 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž))) ∈ 𝐡 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘)) ∈ 𝐡) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘))) ∈ 𝐡)
5545, 50, 52, 54syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘))) ∈ 𝐡)
56 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5720, 53, 2, 10, 46trlco 40062 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (1st β€˜π‘) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘))) ≀ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘))))
5831, 38, 41, 57syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘))) ≀ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘))))
5919, 2, 10, 46trlcl 39499 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (1st β€˜π‘Ž) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∈ 𝐡)
6031, 36, 59syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∈ 𝐡)
6120, 2, 10, 46, 3tendotp 40096 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (1st β€˜π‘Ž) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž))) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘Ž)))
6231, 32, 36, 61syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž))) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘Ž)))
63 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6419, 20, 2, 63, 21dibelval1st 40484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (1st β€˜π‘Ž) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹))
6531, 33, 34, 64syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (1st β€˜π‘Ž) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹))
6619, 20, 2, 10, 46, 63diatrl 40379 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (1st β€˜π‘Ž) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ≀ 𝑋)
6731, 33, 65, 66syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ≀ 𝑋)
6819, 20, 45, 50, 60, 56, 62, 67lattrd 18409 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž))) ≀ 𝑋)
6919, 20, 2, 63, 21dibelval1st 40484 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹))
7031, 33, 39, 69syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹))
7119, 20, 2, 10, 46, 63diatrl 40379 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (1st β€˜π‘) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘)) ≀ 𝑋)
7231, 33, 70, 71syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘)) ≀ 𝑋)
7319, 20, 53latjle12 18413 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž))) ∈ 𝐡 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž))) ≀ 𝑋 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘)) ≀ 𝑋) ↔ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘))) ≀ 𝑋))
7445, 50, 52, 56, 73syl13anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž))) ≀ 𝑋 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘)) ≀ 𝑋) ↔ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘))) ≀ 𝑋))
7568, 72, 74mpbi2and 709 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(1st β€˜π‘))) ≀ 𝑋)
7619, 20, 45, 48, 55, 56, 58, 75lattrd 18409 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘))) ≀ 𝑋)
7719, 20, 2, 10, 46, 63diaelval 40368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘)) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ↔ (((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘))) ≀ 𝑋)))
7877adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘)) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ↔ (((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘))) ≀ 𝑋)))
7943, 76, 78mpbir2and 710 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∘ (1st β€˜π‘)) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹))
8030, 79eqeltrid 2836 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((1st β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩) ∘ (1st β€˜π‘)) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹))
81 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘ β€˜β„Ž) ∘ (π‘‘β€˜β„Ž)))) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘ β€˜β„Ž) ∘ (π‘‘β€˜β„Ž))))
82 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
832, 10, 3, 4, 5, 81, 82dvhfplusr 40419 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘ β€˜β„Ž) ∘ (π‘‘β€˜β„Ž)))))
8483ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘ β€˜β„Ž) ∘ (π‘‘β€˜β„Ž)))))
8525, 28op2nd 7988 . . . . . . . 8 (2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩) = (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))
86 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
8719, 20, 2, 10, 86, 21dibelval2nd 40487 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (2nd β€˜π‘Ž) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
8831, 33, 34, 87syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (2nd β€˜π‘Ž) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
8988coeq2d 5862 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž)) = (π‘₯ ∘ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))))
9019, 2, 10, 3, 86tendo0mulr 40162 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∘ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
9131, 32, 90syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯ ∘ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
9289, 91eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž)) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
9385, 92eqtrid 2783 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
9419, 20, 2, 10, 86, 21dibelval2nd 40487 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (2nd β€˜π‘) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
9531, 33, 39, 94syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (2nd β€˜π‘) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
9684, 93, 95oveq123d 7433 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘)) = ((β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘ β€˜β„Ž) ∘ (π‘‘β€˜β„Ž))))(β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))))
97 simpllr 773 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
9819, 2, 10, 3, 86tendo0cl 40125 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
9998ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
10019, 2, 10, 3, 86, 81tendo0pl 40126 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘ β€˜β„Ž) ∘ (π‘‘β€˜β„Ž))))(β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
10144, 97, 99, 100syl21anc 835 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))(𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑑 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘ β€˜β„Ž) ∘ (π‘‘β€˜β„Ž))))(β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
10296, 101eqtrd 2771 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘)) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
103 ovex 7445 . . . . . 6 ((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘)) ∈ V
104103elsn 4643 . . . . 5 (((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘)) ∈ {(β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))} ↔ ((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘)) = (β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
105102, 104sylibr 233 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘)) ∈ {(β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))})
106 opelxpi 5713 . . . 4 ((((1st β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩) ∘ (1st β€˜π‘)) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∧ ((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘)) ∈ {(β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}) β†’ ⟨((1st β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩) ∘ (1st β€˜π‘)), ((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘))⟩ ∈ ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}))
10780, 105, 106syl2anc 583 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ⟨((1st β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩) ∘ (1st β€˜π‘)), ((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘))⟩ ∈ ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}))
10823adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
109108, 34sseldd 3983 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ π‘Ž ∈ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
110 eqid 2731 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
1112, 10, 3, 4, 110dvhvsca 40436 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Ž) = ⟨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)
11231, 32, 109, 111syl12anc 834 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Ž) = ⟨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)
113112oveq1d 7427 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏) = (⟨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏))
11488, 99eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
1152, 3tendococl 40107 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (2nd β€˜π‘Ž) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
11631, 32, 114, 115syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
117 opelxpi 5713 . . . . . 6 (((π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ⟨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩ ∈ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
11838, 116, 117syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ⟨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩ ∈ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
119108, 39sseldd 3983 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑏 ∈ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
120 eqid 2731 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
1212, 10, 3, 4, 5, 120, 82dvhvadd 40427 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (⟨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩ ∈ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))) β†’ (⟨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏) = ⟨((1st β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩) ∘ (1st β€˜π‘)), ((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘))⟩)
12231, 118, 119, 121syl12anc 834 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (⟨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏) = ⟨((1st β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩) ∘ (1st β€˜π‘)), ((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘))⟩)
123113, 122eqtrd 2771 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏) = ⟨((1st β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩) ∘ (1st β€˜π‘)), ((2nd β€˜βŸ¨(π‘₯β€˜(1st β€˜π‘Ž)), (π‘₯ ∘ (2nd β€˜π‘Ž))⟩)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))(2nd β€˜π‘))⟩)
12419, 20, 2, 10, 86, 63, 21dibval2 40479 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}))
125124adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(β„Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}))
126107, 123, 1253eltr4d 2847 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏) ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
1271, 9, 14, 15, 16, 18, 23, 24, 126islssd 20778 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  lecple 17211  joincjn 18274  Latclat 18394  LSubSpclss 20774  HLchlt 38684  LHypclh 39319  LTrncltrn 39436  trLctrl 39493  TEndoctendo 40087  DIsoAcdia 40363  DVecHcdvh 40413  DIsoBcdib 40473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38287
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-lss 20775  df-oposet 38510  df-ol 38512  df-oml 38513  df-covers 38600  df-ats 38601  df-atl 38632  df-cvlat 38656  df-hlat 38685  df-llines 38833  df-lplanes 38834  df-lvols 38835  df-lines 38836  df-psubsp 38838  df-pmap 38839  df-padd 39131  df-lhyp 39323  df-laut 39324  df-ldil 39439  df-ltrn 39440  df-trl 39494  df-tendo 40090  df-edring 40092  df-disoa 40364  df-dvech 40414  df-dib 40474
This theorem is referenced by:  diblsmopel  40506  cdlemn5pre  40535  cdlemn11c  40544  dihjustlem  40551  dihord1  40553  dihord2a  40554  dihord2b  40555  dihord11c  40559  dihlsscpre  40569  dihopelvalcpre  40583  dihlss  40585  dihord6apre  40591  dihord5b  40594  dihord5apre  40597
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