Theorem elmapdd 8774

Description: Deduction associated with elmapd 8773. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapdd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapdd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmapdd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elmapdd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem elmapdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapdd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)
2		elmapdd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elmapdd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	2, 3	elmapd 8773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6485  (class class class)co 7355   ↑_m cmap 8759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-map 8761

This theorem is referenced by:  psdcl  22086  mhmcompl  22305  mhmcoaddmpl  22306  elrgspnlem1  33220  elrgspnlem2  33221  elrgspnlem3  33222  elrgspnlem4  33223  elrgspnsubrunlem1  33225  elrgspnsubrunlem2  33226  elrspunsn  33405  1arithidom  33513  mplvrpmlem  33584  mplvrpmfgalem  33585  mplvrpmga  33586  mplvrpmmhm  33587  mplvrpmrhm  33588  esplylem  33598  esplympl  33599  esplyfv1  33601  ply1degltdimlem  33646  fldextrspunlsplem  33697  fldextrspunlsp  33698  hashnexinj  42231  mapcod  42351  mhmcopsr  42657  mhmcoaddpsr  42658  evlsbagval  42674  selvcllem5  42690  selvvvval  42693  evlselv  42695  mhphf  42705  dvnprodlem1  46058