Theorem elmapdd 8844

Description: Deduction associated with elmapd 8843. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapdd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapdd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmapdd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elmapdd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem elmapdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapdd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)
2		elmapdd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elmapdd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	2, 3	elmapd 8843	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ⟶wf 6536  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832

This theorem is used by:  mhmcompl  22324  mhmcoaddmpl  22326  selvcllem5  22342  selvvvval  22345  psdcl  22376  elrgspnlem1  33628  elrgspnlem2  33629  elrgspnlem3  33630  elrgspnlem4  33631  elrgspnsubrunlem1  33633  elrgspnsubrunlem2  33634  elrspunsn  33803  1arithidom  33893  0mplrim  33970  selvascl  33973  selvply1rhmlema  33974  selvply1rhmlemb  33975  selvply1rhmlem1  33976  selvply1rhmlem2  33977  selvply1rhmlem4  33979  selvply1rhm0  33982  extvfvvcl  33991  extvfvcl  33992  mplmulmvr  33995  evlscaval  33996  evlextv  33998  mplvrpmlem  33999  mplvrpmfgalem  34000  mplvrpmga  34001  mplvrpmmhm  34002  mplvrpmrhm  34003  psrmonprod  34008  mplmonprod  34010  esplyfval0  34020  esplylem  34022  esplympl  34023  esplyfv1  34025  esplyfvaln  34030  esplyind  34031  esplyindfv  34032  esplyfvn  34033  vietalem  34035  vieta  34036  ply1degltdimlem  34078  fldextrspunlsplem  34129  fldextrspunlsp  34130  hashnexinj  42955  mapcod  43071  mhmcopsr  43372  mhmcoaddpsr  43373  evlsbagval  43378  evlselv  43381  mhphf  43389  dvnprodlem1  46720