Theorem elmapdd 8822

Description: Deduction associated with elmapd 8821. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapdd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapdd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmapdd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elmapdd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem elmapdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapdd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)
2		elmapdd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elmapdd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	2, 3	elmapd 8821	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
5	1, 4	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ⟶wf 6517  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-map 8810

This theorem is referenced by:  mhmcompl  22174  mhmcoaddmpl  22176  selvcllem5  22192  selvvvval  22195  psdcl  22226  elrgspnlem1  33423  elrgspnlem2  33424  elrgspnlem3  33425  elrgspnlem4  33426  elrgspnsubrunlem1  33428  elrgspnsubrunlem2  33429  elrspunsn  33615  1arithidom  33733  0mplrim  33811  selvascl  33814  selvply1rhmlema  33815  selvply1rhmlemb  33816  selvply1rhmlem1  33817  selvply1rhmlem2  33818  selvply1rhmlem4  33820  selvply1rhm0  33823  extvfvvcl  33832  extvfvcl  33833  mplmulmvr  33836  evlscaval  33837  evlextv  33839  mplvrpmlem  33840  mplvrpmfgalem  33841  mplvrpmga  33842  mplvrpmmhm  33843  mplvrpmrhm  33844  psrmonprod  33849  mplmonprod  33851  esplyfval0  33861  esplylem  33863  esplympl  33864  esplyfv1  33866  esplyfvaln  33871  esplyind  33872  esplyindfv  33873  esplyfvn  33874  vietalem  33876  vieta  33877  ply1degltdimlem  33919  fldextrspunlsplem  33970  fldextrspunlsp  33971  hashnexinj  42745  mapcod  42859  mhmcopsr  43162  mhmcoaddpsr  43163  evlsbagval  43168  evlselv  43171  mhphf  43179  dvnprodlem1  46520