Theorem elmapdd 8837

Description: Deduction associated with elmapd 8836. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapdd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapdd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmapdd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elmapdd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem elmapdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapdd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)
2		elmapdd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elmapdd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	2, 3	elmapd 8836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8825

This theorem is referenced by:  mhmcompl  22240  mhmcoaddmpl  22242  selvcllem5  22258  selvvvval  22261  psdcl  22292  elrgspnlem1  33502  elrgspnlem2  33503  elrgspnlem3  33504  elrgspnlem4  33505  elrgspnsubrunlem1  33507  elrgspnsubrunlem2  33508  elrspunsn  33680  1arithidom  33771  0mplrim  33848  selvascl  33851  selvply1rhmlema  33852  selvply1rhmlemb  33853  selvply1rhmlem1  33854  selvply1rhmlem2  33855  selvply1rhmlem4  33857  selvply1rhm0  33860  extvfvvcl  33869  extvfvcl  33870  mplmulmvr  33873  evlscaval  33874  evlextv  33876  mplvrpmlem  33877  mplvrpmfgalem  33878  mplvrpmga  33879  mplvrpmmhm  33880  mplvrpmrhm  33881  psrmonprod  33886  mplmonprod  33888  esplyfval0  33898  esplylem  33900  esplympl  33901  esplyfv1  33903  esplyfvaln  33908  esplyind  33909  esplyindfv  33910  esplyfvn  33911  vietalem  33913  vieta  33914  ply1degltdimlem  33956  fldextrspunlsplem  34007  fldextrspunlsp  34008  hashnexinj  42784  mapcod  42900  mhmcopsr  43203  mhmcoaddpsr  43204  evlsbagval  43209  evlselv  43212  mhphf  43220  dvnprodlem1  46551