Theorem elmapdd 8899

Description: Deduction associated with elmapd 8898. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapdd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapdd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmapdd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elmapdd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem elmapdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapdd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)
2		elmapdd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elmapdd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	2, 3	elmapd 8898	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ⟶wf 6562  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887

This theorem is used by:  s1mapd  14797  s2mapd  15084  s3rex  15144  s3rexrd  15145  mhmcompl  22485  mhmcoaddmpl  22487  selvcllem5  22503  selvvvval  22506  psdcl  22537  elrgspnlem1  33902  elrgspnlem2  33903  elrgspnlem3  33904  elrgspnlem4  33905  elrgspnsubrunlem1  33907  elrgspnsubrunlem2  33908  elrspunidl  34082  elrspunsn  34083  1arithidom  34173  0mplrim  34257  selvascl  34260  selvply1rhmlema  34261  selvply1rhmlemb  34262  selvply1rhmlem1  34263  selvply1rhmlem2  34264  selvply1rhmlem4  34266  selvply1rhm0  34269  extvfvcl  34279  mplmulmvr  34282  evlscaval  34283  evlextv  34285  mplvrpmlem  34286  mplvrpmfgalem  34287  mplvrpmga  34288  mplvrpmmhm  34289  mplvrpmrhm  34290  psrmonprod  34295  mplmonprod  34297  esplyfval0  34307  esplylem  34309  esplympl  34310  esplyfv1  34312  esplyfvaln  34317  esplyind  34318  esplyindfv  34319  esplyfvn  34320  vietalem  34322  vieta  34323  ply1degltdimlem  34365  fedgmul  34374  fldextrspunlsplem  34416  fldextrspunlsp  34417  hashnexinj  43444  mapcod  43561  mhmcopsr  43874  mhmcoaddpsr  43875  evlsbagval  43880  evlselv  43883  mhphf  43891  dvnprodlem1  47229  linply2cfv  49712  lazssaz  49730  prelrrx2bd  50157