Theorem elmapdd 8861

Description: Deduction associated with elmapd 8860. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapdd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapdd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmapdd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elmapdd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem elmapdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapdd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)
2		elmapdd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elmapdd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	2, 3	elmapd 8860	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849

This theorem is used by:  s3rex  15101  s3rexrd  15102  mhmcompl  22430  mhmcoaddmpl  22432  selvcllem5  22448  selvvvval  22451  psdcl  22482  elrgspnlem1  33803  elrgspnlem2  33804  elrgspnlem3  33805  elrgspnlem4  33806  elrgspnsubrunlem1  33808  elrgspnsubrunlem2  33809  elrspunsn  33979  1arithidom  34069  0mplrim  34146  selvascl  34149  selvply1rhmlema  34150  selvply1rhmlemb  34151  selvply1rhmlem1  34152  selvply1rhmlem2  34153  selvply1rhmlem4  34155  selvply1rhm0  34158  extvfvcl  34168  mplmulmvr  34171  evlscaval  34172  evlextv  34174  mplvrpmlem  34175  mplvrpmfgalem  34176  mplvrpmga  34177  mplvrpmmhm  34178  mplvrpmrhm  34179  psrmonprod  34184  mplmonprod  34186  esplyfval0  34196  esplylem  34198  esplympl  34199  esplyfv1  34201  esplyfvaln  34206  esplyind  34207  esplyindfv  34208  esplyfvn  34209  vietalem  34211  vieta  34212  ply1degltdimlem  34254  fldextrspunlsplem  34305  fldextrspunlsp  34306  hashnexinj  43178  mapcod  43294  mhmcopsr  43608  mhmcoaddpsr  43609  evlsbagval  43614  evlselv  43617  mhphf  43625  dvnprodlem1  46955