Theorem elmapdd 8834

Description: Deduction associated with elmapd 8833. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapdd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapdd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmapdd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elmapdd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem elmapdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapdd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)
2		elmapdd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elmapdd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	2, 3	elmapd 8833	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822

This theorem is referenced by:  mhmcompl  22272  mhmcoaddmpl  22274  selvcllem5  22290  selvvvval  22293  psdcl  22324  elrgspnlem1  33562  elrgspnlem2  33563  elrgspnlem3  33564  elrgspnlem4  33565  elrgspnsubrunlem1  33567  elrgspnsubrunlem2  33568  elrspunsn  33737  1arithidom  33827  0mplrim  33904  selvascl  33907  selvply1rhmlema  33908  selvply1rhmlemb  33909  selvply1rhmlem1  33910  selvply1rhmlem2  33911  selvply1rhmlem4  33913  selvply1rhm0  33916  extvfvvcl  33925  extvfvcl  33926  mplmulmvr  33929  evlscaval  33930  evlextv  33932  mplvrpmlem  33933  mplvrpmfgalem  33934  mplvrpmga  33935  mplvrpmmhm  33936  mplvrpmrhm  33937  psrmonprod  33942  mplmonprod  33944  esplyfval0  33954  esplylem  33956  esplympl  33957  esplyfv1  33959  esplyfvaln  33964  esplyind  33965  esplyindfv  33966  esplyfvn  33967  vietalem  33969  vieta  33970  ply1degltdimlem  34012  fldextrspunlsplem  34063  fldextrspunlsp  34064  hashnexinj  42895  mapcod  43011  mhmcopsr  43312  mhmcoaddpsr  43313  evlsbagval  43318  evlselv  43321  mhphf  43329  dvnprodlem1  46660