Theorem elmapdd 8788

Description: Deduction associated with elmapd 8787. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapdd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapdd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmapdd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elmapdd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem elmapdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapdd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)
2		elmapdd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elmapdd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	2, 3	elmapd 8787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775

This theorem is referenced by:  psdcl  22127  mhmcompl  22345  mhmcoaddmpl  22346  elrgspnlem1  33303  elrgspnlem2  33304  elrgspnlem3  33305  elrgspnlem4  33306  elrgspnsubrunlem1  33308  elrgspnsubrunlem2  33309  elrspunsn  33489  1arithidom  33597  extvfvvcl  33679  extvfvcl  33680  mplmulmvr  33683  evlscaval  33684  evlextv  33686  mplvrpmlem  33687  mplvrpmfgalem  33688  mplvrpmga  33689  mplvrpmmhm  33690  mplvrpmrhm  33691  psrmonprod  33696  mplmonprod  33698  esplyfval0  33708  esplylem  33710  esplympl  33711  esplyfv1  33713  esplyfvaln  33718  esplyind  33719  esplyindfv  33720  esplyfvn  33721  vietalem  33723  vieta  33724  ply1degltdimlem  33766  fldextrspunlsplem  33817  fldextrspunlsp  33818  hashnexinj  42567  mapcod  42682  mhmcopsr  42992  mhmcoaddpsr  42993  evlsbagval  43002  selvcllem5  43015  selvvvval  43018  evlselv  43020  mhphf  43030  dvnprodlem1  46374