Theorem elmapdd 8776

Description: Deduction associated with elmapd 8775. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapdd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapdd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmapdd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elmapdd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem elmapdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapdd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)
2		elmapdd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elmapdd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	2, 3	elmapd 8775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6486  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8763

This theorem is referenced by:  psdcl  22102  mhmcompl  22322  mhmcoaddmpl  22323  elrgspnlem1  33273  elrgspnlem2  33274  elrgspnlem3  33275  elrgspnlem4  33276  elrgspnsubrunlem1  33278  elrgspnsubrunlem2  33279  elrspunsn  33459  1arithidom  33567  extvfvvcl  33649  extvfvcl  33650  mplmulmvr  33653  evlscaval  33654  evlextv  33656  mplvrpmlem  33657  mplvrpmfgalem  33658  mplvrpmga  33659  mplvrpmmhm  33660  mplvrpmrhm  33661  esplyfval0  33671  esplylem  33673  esplympl  33674  esplyfv1  33676  esplyind  33680  esplyindfv  33681  esplyfvn  33682  vietalem  33684  vieta  33685  ply1degltdimlem  33728  fldextrspunlsplem  33779  fldextrspunlsp  33780  hashnexinj  42321  mapcod  42440  mhmcopsr  42744  mhmcoaddpsr  42745  evlsbagval  42754  selvcllem5  42767  selvvvval  42770  evlselv  42772  mhphf  42782  dvnprodlem1  46132