Theorem elmapdd 8869

Description: Deduction associated with elmapd 8868. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapdd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapdd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmapdd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elmapdd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem elmapdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapdd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶:𝐵⟶𝐴)
2		elmapdd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elmapdd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	2, 3	elmapd 8868	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6539  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8857

This theorem is used by:  s1mapd  14763  s2mapd  15050  s3rex  15110  s3rexrd  15111  mhmcompl  22439  mhmcoaddmpl  22441  selvcllem5  22457  selvvvval  22460  psdcl  22491  elrgspnlem1  33853  elrgspnlem2  33854  elrgspnlem3  33855  elrgspnlem4  33856  elrgspnsubrunlem1  33858  elrgspnsubrunlem2  33859  elrspunidl  34028  elrspunsn  34029  1arithidom  34119  0mplrim  34196  selvascl  34199  selvply1rhmlema  34200  selvply1rhmlemb  34201  selvply1rhmlem1  34202  selvply1rhmlem2  34203  selvply1rhmlem4  34205  selvply1rhm0  34208  extvfvcl  34218  mplmulmvr  34221  evlscaval  34222  evlextv  34224  mplvrpmlem  34225  mplvrpmfgalem  34226  mplvrpmga  34227  mplvrpmmhm  34228  mplvrpmrhm  34229  psrmonprod  34234  mplmonprod  34236  esplyfval0  34246  esplylem  34248  esplympl  34249  esplyfv1  34251  esplyfvaln  34256  esplyind  34257  esplyindfv  34258  esplyfvn  34259  vietalem  34261  vieta  34262  ply1degltdimlem  34304  fedgmul  34313  fldextrspunlsplem  34355  fldextrspunlsp  34356  hashnexinj  43315  mapcod  43431  mhmcopsr  43745  mhmcoaddpsr  43746  evlsbagval  43751  evlselv  43754  mhphf  43762  dvnprodlem1  47092  prelrrx2bd  49962