Theorem evlsbagval 43043

Description: Polynomial evaluation builder for a bag of variables. EDITORIAL: This theorem should stay in my mathbox until there's another use, since 0 and 1 using 𝑈 instead of 𝑆 may not be convenient. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsbagval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsbagval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsbagval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsbagval.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑃)
evlsbagval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsbagval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsbagval.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsbagval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
evlsbagval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑈)
evlsbagval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsbagval.f	⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ))
evlsbagval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsbagval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsbagval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsbagval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsbagval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evlsbagval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑠   1 ,𝑠   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝐵,ℎ   𝐵,𝑠   𝑣,𝐷   𝐷,𝑠   𝑣,𝐼   ℎ,𝐼   𝑣,𝐾   𝑅,𝑠   𝑣,𝑆   𝑈,ℎ   𝑈,𝑠   ℎ,𝑊   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ,𝑠)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑄(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑅(𝑣,ℎ)   𝑆(ℎ,𝑠)   𝑈(𝑣)   1 (𝑣,ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ,𝑠)   𝐹(𝑣,ℎ,𝑠)   𝐼(𝑠)   𝐾(ℎ,𝑠)   𝑀(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑉(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑊(𝑠)   0 (𝑣,ℎ)

Proof of Theorem evlsbagval

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ∈ V)
2		evlsbagval.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		ovexd 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
4	2, 3	rabexd 5275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
5		evlsbagval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
6		evlsbagval.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7	6	subrgring 20553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
9		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
10		evlsbagval.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑈)
11	9, 10	ringidcl 20244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑈))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑈))
13		evlsbagval.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14	9, 13	ring0cl 20246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑈))
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑈))
16	12, 15	ifcld 4508	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑈))
17	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑈))
18		evlsbagval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ))
19	17, 18	fmptd 7062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
20	1, 4, 19	elmapdd 8785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑈) ↑m 𝐷))
21		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑈) = (𝐼 mPwSer 𝑈)
22		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈))
23		evlsbagval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
24	21, 9, 2, 22, 23	psrbas 21916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) = ((Base‘𝑈) ↑m 𝐷))
25	20, 24	eleqtrrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)))
26	4, 15, 18	sniffsupp 9310	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
27		evlsbagval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
28		evlsbagval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑃)
29	27, 21, 22, 13, 28	mplelbas 21972	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑊 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
30	25, 26, 29	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
31		evlsbagval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
32		evlsbagval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
33		evlsbagval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
34		evlsbagval.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
35		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
36		evlsbagval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
37		evlsbagval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
38	31, 27, 28, 6, 2, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37	evlsvvval 22076	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
39		evlsbagval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
40	39	snssd 4725	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝐷)
41		resmpt 5996	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐷 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵}) = (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵}) = (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
43	42	oveq2d 7379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵})) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
44		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
45	36	crngringd 20225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46	45	ringcmnd 20263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
47	45	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
48	6	subrgbas 20560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
49	32	subrgss 20551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
50	48, 49	eqsstrrd 3957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
51	5, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
52	19, 51	fssd 6679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
53	52	ffvelcdmda 7032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
54	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
55	36	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
56	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
57		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
58	2, 32, 33, 34, 54, 55, 56, 57	evlsvvvallem 22074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
59	32, 35, 47, 53, 58	ringcld 20239	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾)
60	59	fmpttd 7063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))):𝐷⟶𝐾)
61		eldifsnneq 4731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
63	62	iffalsed 4472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) = 0 )
64		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (𝑠 = 𝐵 ↔ 𝑏 = 𝐵))
65	64	ifbid 4485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) = if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ))
66		eldifi 4068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → 𝑏 ∈ 𝐷)
68	10	fvexi 6848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
69	13	fvexi 6848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
70	68, 69	ifex 4512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ V)
72	18, 65, 67, 71	fvmptd3 6966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ))
73	6, 44	subrg0 20558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
74	73, 13	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = 0 )
75	5, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = 0 )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (0g‘𝑆) = 0 )
77	63, 72, 76	3eqtr4d 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
78	77	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
79	66, 58	sylan2 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
80	32, 35, 44	ringlz 20272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾) → ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
81	45, 79, 80	syl2an2r 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
82	78, 81	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
83	82, 4	suppss2 8147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ {𝐵})
84	2, 27, 6, 28, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37	evlsvvvallem2 22075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))
85	32, 44, 46, 4, 60, 83, 84	gsumres 19886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵})) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
86	36	crnggrpd 20226	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
87	86	grpmndd 18920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
88	52, 39	ffvelcdmd 7033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐾)
89	2, 32, 33, 34, 23, 36, 37, 39	evlsvvvallem 22074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
90	32, 35, 45, 88, 89	ringcld 20239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾)
91		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝐵))
92		fveq1 6833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑣) = (𝐵‘𝑣))
93	92	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))
94	93	mpteq2dv 5173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))
95	94	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
96	91, 95	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
97	32, 96	gsumsn 19927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
98	87, 39, 90, 97	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
99		iftrue 4467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) = 1 )
100	68	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
101	18, 99, 39, 100	fvmptd3 6966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = 1 )
102		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
103	6, 102	subrg1 20561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑈))
104	5, 103	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑈))
105	10, 101, 104	3eqtr4a 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = (1r‘𝑆))
106	105	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
107	32, 35, 102, 45, 89	ringlidmd 20251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
108	98, 106, 107	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
109	43, 85, 108	3eqtr3d 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
110	38, 109	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
111	30, 110	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ifcif 4461  {csn 4562   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ^◡ccnv 5624   ↾ cres 5627   “ cima 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400   Σ_g cgsu 17401  Mndcmnd 18700  ._gcmg 19041  mulGrpcmgp 20119  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  SubRingcsubrg 20548   mPwSer cmps 21886   mPoly cmpl 21888   evalSub ces 22055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-assa 21835  df-asp 21836  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-evls 22057

This theorem is referenced by: (None)