Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsbagval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsbagval 41440
Description: Polynomial evaluation builder for a bag of variables. EDITORIAL: This theorem should stay in my mathbox until there's another use, since 0 and 1 using π‘ˆ instead of 𝑆 may not be convenient. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsbagval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsbagval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsbagval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsbagval.w π‘Š = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsbagval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsbagval.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlsbagval.e ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsbagval.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
evlsbagval.o 1 = (1rβ€˜π‘ˆ)
evlsbagval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsbagval.f 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ))
evlsbagval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsbagval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsbagval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsbagval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsbagval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
evlsbagval (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
Distinct variable groups:   0 ,𝑠   1 ,𝑠   𝑣,𝐴   𝑣,𝐡   𝐡,β„Ž   𝐡,𝑠   𝑣,𝐷   𝐷,𝑠   𝑣,𝐼   β„Ž,𝐼   𝑣,𝐾   𝑅,𝑠   𝑣,𝑆   π‘ˆ,β„Ž   π‘ˆ,𝑠   β„Ž,π‘Š   𝑣,π‘Š   πœ‘,𝑣   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(β„Ž,𝑠)   𝐷(β„Ž)   𝑃(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝑅(𝑣,β„Ž)   𝑆(β„Ž,𝑠)   π‘ˆ(𝑣)   1 (𝑣,β„Ž)   ↑ (𝑣,β„Ž,𝑠)   𝐹(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝐼(𝑠)   𝐾(β„Ž,𝑠)   𝑀(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝑉(𝑣,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑠)   0 (𝑣,β„Ž)
Proof of Theorem evlsbagval
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6905 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
2 evlsbagval.d . . . . . 6 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3 ovexd 7446 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V)
42, 3rabexd 5332 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
5 evlsbagval.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
6 evlsbagval.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
76subrgring 20464 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
9 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
10 evlsbagval.o . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘ˆ)
119, 10ringidcl 20154 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
13 evlsbagval.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
149, 13ring0cl 20155 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
158, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
1612, 15ifcld 4573 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
1716adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
18 evlsbagval.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ))
1917, 18fmptd 7114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
201, 4, 19elmapdd 8837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐷))
21 eqid 2730 . . . . 5 (𝐼 mPwSer π‘ˆ) = (𝐼 mPwSer π‘ˆ)
22 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ))
23 evlsbagval.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2421, 9, 2, 22, 23psrbas 21716 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)) = ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐷))
2520, 24eleqtrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)))
264, 15, 18sniffsupp 9397 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
27 evlsbagval.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
28 evlsbagval.w . . . 4 π‘Š = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2927, 21, 22, 13, 28mplelbas 21769 . . 3 (𝐹 ∈ π‘Š ↔ (𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
3025, 26, 29sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
31 evlsbagval.q . . . 4 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
32 evlsbagval.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
33 evlsbagval.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
34 evlsbagval.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
35 eqid 2730 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
36 evlsbagval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
37 evlsbagval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
3831, 27, 28, 6, 2, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37evlsvvval 41437 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))))
39 evlsbagval.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
4039snssd 4811 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† 𝐷)
41 resmpt 6036 . . . . . 6 ({𝐡} βŠ† 𝐷 β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡}) = (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))))
4240, 41syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡}) = (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))))
4342oveq2d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡})) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))))
44 eqid 2730 . . . . 5 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
4536crngringd 20140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
4645ringcmnd 20172 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
4745adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
486subrgbas 20471 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
4932subrgss 20462 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
5048, 49eqsstrrd 4020 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
515, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
5219, 51fssd 6734 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢𝐾)
5352ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐾)
5423adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5536adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
5637adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
57 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
582, 32, 33, 34, 54, 55, 56, 57evlsvvvallem 41435 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
5932, 35, 47, 53, 58ringcld 20151 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) ∈ 𝐾)
6059fmpttd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))):𝐷⟢𝐾)
61 eldifsnneq 4793 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡}) β†’ Β¬ 𝑏 = 𝐡)
6261adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ Β¬ 𝑏 = 𝐡)
6362iffalsed 4538 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ) = 0 )
64 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑏 β†’ (𝑠 = 𝐡 ↔ 𝑏 = 𝐡))
6564ifbid 4550 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑏 β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) = if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ))
66 eldifi 4125 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡}) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
6766adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
6810fvexi 6904 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
6913fvexi 6904 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
7068, 69ifex 4577 . . . . . . . . . . 11 if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ V)
7218, 65, 67, 71fvmptd3 7020 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ))
736, 44subrg0 20469 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
7473, 13eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = 0 )
755, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = 0 )
7675adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (0gβ€˜π‘†) = 0 )
7763, 72, 763eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘†))
7877oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((0gβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
7966, 58sylan2 591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
8032, 35, 44ringlz 20181 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
8145, 79, 80syl2an2r 681 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ ((0gβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
8278, 81eqtrd 2770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
8382, 4suppss2 8187 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† {𝐡})
842, 27, 6, 28, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37evlsvvvallem2 41436 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
8532, 44, 46, 4, 60, 83, 84gsumres 19822 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡})) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))))
8636crnggrpd 20141 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
8786grpmndd 18868 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
8852, 39ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝐾)
892, 32, 33, 34, 23, 36, 37, 39evlsvvvallem 41435 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
9032, 35, 45, 88, 89ringcld 20151 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) ∈ 𝐾)
91 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π΅))
92 fveq1 6889 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘£) = (π΅β€˜π‘£))
9392oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)) = ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))
9493mpteq2dv 5249 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))
9594oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
9691, 95oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
9732, 96gsumsn 19863 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) ∈ 𝐾) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
9887, 39, 90, 97syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
99 iftrue 4533 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝐡 β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) = 1 )
10068a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ V)
10118, 99, 39, 100fvmptd3 7020 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) = 1 )
102 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
1036, 102subrg1 20472 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘ˆ))
1045, 103syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘ˆ))
10510, 101, 1043eqtr4a 2796 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) = (1rβ€˜π‘†))
106105oveq1d 7426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
10732, 35, 102, 45, 89ringlidmd 20160 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
10898, 106, 1073eqtrd 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
10943, 85, 1083eqtr3d 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
11038, 109eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
11130, 110jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  .rcmulr 17202  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  Mndcmnd 18659  .gcmg 18986  mulGrpcmgp 20028  1rcur 20075  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128  SubRingcsubrg 20457   mPwSer cmps 21676   mPoly cmpl 21678   evalSub ces 21852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-cring 20130  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-assa 21627  df-asp 21628  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-evls 21854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator