Theorem evlsbagval 42521

Description: Polynomial evaluation builder for a bag of variables. EDITORIAL: This theorem should stay in my mathbox until there's another use, since 0 and 1 using 𝑈 instead of 𝑆 may not be convenient. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsbagval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsbagval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsbagval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsbagval.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑃)
evlsbagval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsbagval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsbagval.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsbagval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
evlsbagval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑈)
evlsbagval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsbagval.f	⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ))
evlsbagval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsbagval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsbagval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsbagval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsbagval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evlsbagval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑠   1 ,𝑠   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝐵,ℎ   𝐵,𝑠   𝑣,𝐷   𝐷,𝑠   𝑣,𝐼   ℎ,𝐼   𝑣,𝐾   𝑅,𝑠   𝑣,𝑆   𝑈,ℎ   𝑈,𝑠   ℎ,𝑊   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ,𝑠)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑄(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑅(𝑣,ℎ)   𝑆(ℎ,𝑠)   𝑈(𝑣)   1 (𝑣,ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ,𝑠)   𝐹(𝑣,ℎ,𝑠)   𝐼(𝑠)   𝐾(ℎ,𝑠)   𝑀(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑉(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑊(𝑠)   0 (𝑣,ℎ)

Proof of Theorem evlsbagval

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ∈ V)
2		evlsbagval.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		ovexd 7483	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
4	2, 3	rabexd 5358	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
5		evlsbagval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
6		evlsbagval.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7	6	subrgring 20602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
9		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
10		evlsbagval.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑈)
11	9, 10	ringidcl 20289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑈))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑈))
13		evlsbagval.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14	9, 13	ring0cl 20290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑈))
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑈))
16	12, 15	ifcld 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑈))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑈))
18		evlsbagval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ))
19	17, 18	fmptd 7148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
20	1, 4, 19	elmapdd 8899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑈) ↑m 𝐷))
21		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑈) = (𝐼 mPwSer 𝑈)
22		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈))
23		evlsbagval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
24	21, 9, 2, 22, 23	psrbas 21976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) = ((Base‘𝑈) ↑m 𝐷))
25	20, 24	eleqtrrd 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)))
26	4, 15, 18	sniffsupp 9469	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
27		evlsbagval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
28		evlsbagval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑃)
29	27, 21, 22, 13, 28	mplelbas 22034	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑊 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
30	25, 26, 29	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
31		evlsbagval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
32		evlsbagval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
33		evlsbagval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
34		evlsbagval.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
35		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
36		evlsbagval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
37		evlsbagval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
38	31, 27, 28, 6, 2, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37	evlsvvval 42518	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
39		evlsbagval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
40	39	snssd 4834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝐷)
41		resmpt 6066	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐷 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵}) = (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵}) = (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
43	42	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵})) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
44		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
45	36	crngringd 20273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46	45	ringcmnd 20307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
47	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
48	6	subrgbas 20609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
49	32	subrgss 20600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
50	48, 49	eqsstrrd 4048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
51	5, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
52	19, 51	fssd 6764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
53	52	ffvelcdmda 7118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
54	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
55	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
56	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
57		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
58	2, 32, 33, 34, 54, 55, 56, 57	evlsvvvallem 42516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
59	32, 35, 47, 53, 58	ringcld 20286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾)
60	59	fmpttd 7149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))):𝐷⟶𝐾)
61		eldifsnneq 4816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
62	61	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
63	62	iffalsed 4559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) = 0 )
64		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (𝑠 = 𝐵 ↔ 𝑏 = 𝐵))
65	64	ifbid 4571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) = if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ))
66		eldifi 4154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → 𝑏 ∈ 𝐷)
68	10	fvexi 6934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
69	13	fvexi 6934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
70	68, 69	ifex 4598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ V)
72	18, 65, 67, 71	fvmptd3 7052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ))
73	6, 44	subrg0 20607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
74	73, 13	eqtr4di 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = 0 )
75	5, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = 0 )
76	75	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (0g‘𝑆) = 0 )
77	63, 72, 76	3eqtr4d 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
78	77	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
79	66, 58	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
80	32, 35, 44	ringlz 20316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾) → ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
81	45, 79, 80	syl2an2r 684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
82	78, 81	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
83	82, 4	suppss2 8241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ {𝐵})
84	2, 27, 6, 28, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37	evlsvvvallem2 42517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))
85	32, 44, 46, 4, 60, 83, 84	gsumres 19955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵})) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
86	36	crnggrpd 20274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
87	86	grpmndd 18986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
88	52, 39	ffvelcdmd 7119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐾)
89	2, 32, 33, 34, 23, 36, 37, 39	evlsvvvallem 42516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
90	32, 35, 45, 88, 89	ringcld 20286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾)
91		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝐵))
92		fveq1 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑣) = (𝐵‘𝑣))
93	92	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))
94	93	mpteq2dv 5268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))
95	94	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
96	91, 95	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
97	32, 96	gsumsn 19996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
98	87, 39, 90, 97	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
99		iftrue 4554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) = 1 )
100	68	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
101	18, 99, 39, 100	fvmptd3 7052	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = 1 )
102		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
103	6, 102	subrg1 20610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑈))
104	5, 103	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑈))
105	10, 101, 104	3eqtr4a 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = (1r‘𝑆))
106	105	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
107	32, 35, 102, 45, 89	ringlidmd 20295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
108	98, 106, 107	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
109	43, 85, 108	3eqtr3d 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
110	38, 109	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
111	30, 110	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702   “ cima 5703  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  Mndcmnd 18772  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  SubRingcsubrg 20595   mPwSer cmps 21947   mPoly cmpl 21949   evalSub ces 22119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-evls 22121

This theorem is referenced by: (None)