Theorem evlsbagval 42605

Description: Polynomial evaluation builder for a bag of variables. EDITORIAL: This theorem should stay in my mathbox until there's another use, since 0 and 1 using 𝑈 instead of 𝑆 may not be convenient. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsbagval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsbagval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsbagval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsbagval.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑃)
evlsbagval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsbagval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsbagval.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsbagval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
evlsbagval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑈)
evlsbagval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsbagval.f	⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ))
evlsbagval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsbagval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsbagval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsbagval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsbagval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evlsbagval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑠   1 ,𝑠   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝐵,ℎ   𝐵,𝑠   𝑣,𝐷   𝐷,𝑠   𝑣,𝐼   ℎ,𝐼   𝑣,𝐾   𝑅,𝑠   𝑣,𝑆   𝑈,ℎ   𝑈,𝑠   ℎ,𝑊   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ,𝑠)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑄(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑅(𝑣,ℎ)   𝑆(ℎ,𝑠)   𝑈(𝑣)   1 (𝑣,ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ,𝑠)   𝐹(𝑣,ℎ,𝑠)   𝐼(𝑠)   𝐾(ℎ,𝑠)   𝑀(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑉(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑊(𝑠)   0 (𝑣,ℎ)

Proof of Theorem evlsbagval

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ∈ V)
2		evlsbagval.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		ovexd 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
4	2, 3	rabexd 5278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
5		evlsbagval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
6		evlsbagval.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7	6	subrgring 20490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
9		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
10		evlsbagval.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑈)
11	9, 10	ringidcl 20184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑈))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑈))
13		evlsbagval.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14	9, 13	ring0cl 20186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑈))
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑈))
16	12, 15	ifcld 4522	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑈))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑈))
18		evlsbagval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ))
19	17, 18	fmptd 7047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
20	1, 4, 19	elmapdd 8765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑈) ↑m 𝐷))
21		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑈) = (𝐼 mPwSer 𝑈)
22		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈))
23		evlsbagval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
24	21, 9, 2, 22, 23	psrbas 21871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) = ((Base‘𝑈) ↑m 𝐷))
25	20, 24	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)))
26	4, 15, 18	sniffsupp 9284	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
27		evlsbagval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
28		evlsbagval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑃)
29	27, 21, 22, 13, 28	mplelbas 21929	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑊 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
30	25, 26, 29	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
31		evlsbagval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
32		evlsbagval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
33		evlsbagval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
34		evlsbagval.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
35		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
36		evlsbagval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
37		evlsbagval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
38	31, 27, 28, 6, 2, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37	evlsvvval 42602	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
39		evlsbagval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
40	39	snssd 4761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝐷)
41		resmpt 5986	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐷 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵}) = (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵}) = (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
43	42	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵})) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
44		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
45	36	crngringd 20165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46	45	ringcmnd 20203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
47	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
48	6	subrgbas 20497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
49	32	subrgss 20488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
50	48, 49	eqsstrrd 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
51	5, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
52	19, 51	fssd 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
53	52	ffvelcdmda 7017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
54	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
55	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
56	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
57		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
58	2, 32, 33, 34, 54, 55, 56, 57	evlsvvvallem 42600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
59	32, 35, 47, 53, 58	ringcld 20179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾)
60	59	fmpttd 7048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))):𝐷⟶𝐾)
61		eldifsnneq 4743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
62	61	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
63	62	iffalsed 4486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) = 0 )
64		eqeq1 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (𝑠 = 𝐵 ↔ 𝑏 = 𝐵))
65	64	ifbid 4499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) = if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ))
66		eldifi 4081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → 𝑏 ∈ 𝐷)
68	10	fvexi 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
69	13	fvexi 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
70	68, 69	ifex 4526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ V)
72	18, 65, 67, 71	fvmptd3 6952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ))
73	6, 44	subrg0 20495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
74	73, 13	eqtr4di 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = 0 )
75	5, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = 0 )
76	75	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (0g‘𝑆) = 0 )
77	63, 72, 76	3eqtr4d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
78	77	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
79	66, 58	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
80	32, 35, 44	ringlz 20212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾) → ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
81	45, 79, 80	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
82	78, 81	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
83	82, 4	suppss2 8130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ {𝐵})
84	2, 27, 6, 28, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37	evlsvvvallem2 42601	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))
85	32, 44, 46, 4, 60, 83, 84	gsumres 19826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵})) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
86	36	crnggrpd 20166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
87	86	grpmndd 18859	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
88	52, 39	ffvelcdmd 7018	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐾)
89	2, 32, 33, 34, 23, 36, 37, 39	evlsvvvallem 42600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
90	32, 35, 45, 88, 89	ringcld 20179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾)
91		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝐵))
92		fveq1 6821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑣) = (𝐵‘𝑣))
93	92	oveq1d 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))
94	93	mpteq2dv 5185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))
95	94	oveq2d 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
96	91, 95	oveq12d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
97	32, 96	gsumsn 19867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
98	87, 39, 90, 97	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
99		iftrue 4481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) = 1 )
100	68	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
101	18, 99, 39, 100	fvmptd3 6952	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = 1 )
102		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
103	6, 102	subrg1 20498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑈))
104	5, 103	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑈))
105	10, 101, 104	3eqtr4a 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = (1r‘𝑆))
106	105	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
107	32, 35, 102, 45, 89	ringlidmd 20191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
108	98, 106, 107	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
109	43, 85, 108	3eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
110	38, 109	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
111	30, 110	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ifcif 4475  {csn 4576   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615   ↾ cres 5618   “ cima 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869   finSupp cfsupp 9245  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18642  ._gcmg 18980  mulGrpcmgp 20059  1_rcur 20100  Ringcrg 20152  CRingccrg 20153  SubRingcsubrg 20485   mPwSer cmps 21842   mPoly cmpl 21844   evalSub ces 22008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-srg 20106  df-ring 20154  df-cring 20155  df-rhm 20391  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-lsp 20906  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-evls 22010

This theorem is referenced by: (None)