Theorem evlsbagval 42556

Description: Polynomial evaluation builder for a bag of variables. EDITORIAL: This theorem should stay in my mathbox until there's another use, since 0 and 1 using 𝑈 instead of 𝑆 may not be convenient. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsbagval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsbagval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsbagval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsbagval.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑃)
evlsbagval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsbagval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsbagval.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsbagval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
evlsbagval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑈)
evlsbagval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsbagval.f	⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ))
evlsbagval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsbagval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsbagval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsbagval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsbagval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evlsbagval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑠   1 ,𝑠   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝐵,ℎ   𝐵,𝑠   𝑣,𝐷   𝐷,𝑠   𝑣,𝐼   ℎ,𝐼   𝑣,𝐾   𝑅,𝑠   𝑣,𝑆   𝑈,ℎ   𝑈,𝑠   ℎ,𝑊   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ,𝑠)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑄(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑅(𝑣,ℎ)   𝑆(ℎ,𝑠)   𝑈(𝑣)   1 (𝑣,ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ,𝑠)   𝐹(𝑣,ℎ,𝑠)   𝐼(𝑠)   𝐾(ℎ,𝑠)   𝑀(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑉(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑊(𝑠)   0 (𝑣,ℎ)

Proof of Theorem evlsbagval

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ∈ V)
2		evlsbagval.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		ovexd 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
4	2, 3	rabexd 5315	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
5		evlsbagval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
6		evlsbagval.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7	6	subrgring 20539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
10		evlsbagval.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑈)
11	9, 10	ringidcl 20230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑈))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑈))
13		evlsbagval.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14	9, 13	ring0cl 20232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑈))
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑈))
16	12, 15	ifcld 4552	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑈))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑈))
18		evlsbagval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ))
19	17, 18	fmptd 7109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
20	1, 4, 19	elmapdd 8860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑈) ↑m 𝐷))
21		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑈) = (𝐼 mPwSer 𝑈)
22		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈))
23		evlsbagval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
24	21, 9, 2, 22, 23	psrbas 21898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) = ((Base‘𝑈) ↑m 𝐷))
25	20, 24	eleqtrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)))
26	4, 15, 18	sniffsupp 9417	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
27		evlsbagval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
28		evlsbagval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑃)
29	27, 21, 22, 13, 28	mplelbas 21956	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑊 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
30	25, 26, 29	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
31		evlsbagval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
32		evlsbagval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
33		evlsbagval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
34		evlsbagval.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
35		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
36		evlsbagval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
37		evlsbagval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
38	31, 27, 28, 6, 2, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37	evlsvvval 42553	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
39		evlsbagval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
40	39	snssd 4790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝐷)
41		resmpt 6029	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐷 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵}) = (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵}) = (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
43	42	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵})) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
44		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
45	36	crngringd 20211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46	45	ringcmnd 20249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
47	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
48	6	subrgbas 20546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
49	32	subrgss 20537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
50	48, 49	eqsstrrd 3999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
51	5, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
52	19, 51	fssd 6728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
53	52	ffvelcdmda 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
54	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
55	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
56	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
57		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
58	2, 32, 33, 34, 54, 55, 56, 57	evlsvvvallem 42551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
59	32, 35, 47, 53, 58	ringcld 20225	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾)
60	59	fmpttd 7110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))):𝐷⟶𝐾)
61		eldifsnneq 4772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
62	61	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
63	62	iffalsed 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) = 0 )
64		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (𝑠 = 𝐵 ↔ 𝑏 = 𝐵))
65	64	ifbid 4529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) = if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ))
66		eldifi 4111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → 𝑏 ∈ 𝐷)
68	10	fvexi 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
69	13	fvexi 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
70	68, 69	ifex 4556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ V)
72	18, 65, 67, 71	fvmptd3 7014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ))
73	6, 44	subrg0 20544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
74	73, 13	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = 0 )
75	5, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = 0 )
76	75	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (0g‘𝑆) = 0 )
77	63, 72, 76	3eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
78	77	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
79	66, 58	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
80	32, 35, 44	ringlz 20258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾) → ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
81	45, 79, 80	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
82	78, 81	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
83	82, 4	suppss2 8204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ {𝐵})
84	2, 27, 6, 28, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37	evlsvvvallem2 42552	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))
85	32, 44, 46, 4, 60, 83, 84	gsumres 19899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵})) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
86	36	crnggrpd 20212	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
87	86	grpmndd 18934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
88	52, 39	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐾)
89	2, 32, 33, 34, 23, 36, 37, 39	evlsvvvallem 42551	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
90	32, 35, 45, 88, 89	ringcld 20225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾)
91		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝐵))
92		fveq1 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑣) = (𝐵‘𝑣))
93	92	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))
94	93	mpteq2dv 5220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))
95	94	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
96	91, 95	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
97	32, 96	gsumsn 19940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
98	87, 39, 90, 97	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
99		iftrue 4511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) = 1 )
100	68	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
101	18, 99, 39, 100	fvmptd3 7014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = 1 )
102		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
103	6, 102	subrg1 20547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑈))
104	5, 103	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑈))
105	10, 101, 104	3eqtr4a 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = (1r‘𝑆))
106	105	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
107	32, 35, 102, 45, 89	ringlidmd 20237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
108	98, 106, 107	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
109	43, 85, 108	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
110	38, 109	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
111	30, 110	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  ifcif 4505  {csn 4606   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   “ cima 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9378  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18717  ._gcmg 19055  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199  SubRingcsubrg 20534   mPwSer cmps 21869   mPoly cmpl 21871   evalSub ces 22035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-srg 20152  df-ring 20200  df-cring 20201  df-rhm 20437  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-assa 21818  df-asp 21819  df-ascl 21820  df-psr 21874  df-mvr 21875  df-mpl 21876  df-evls 22037

This theorem is referenced by: (None)