Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsbagval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsbagval 41138
Description: Polynomial evaluation builder for a bag of variables. EDITORIAL: This theorem should stay in my mathbox until there's another use, since 0 and 1 using π‘ˆ instead of 𝑆 may not be convenient. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsbagval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsbagval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsbagval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsbagval.w π‘Š = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsbagval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsbagval.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlsbagval.e ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsbagval.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
evlsbagval.o 1 = (1rβ€˜π‘ˆ)
evlsbagval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsbagval.f 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ))
evlsbagval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsbagval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsbagval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsbagval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsbagval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
evlsbagval (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
Distinct variable groups:   0 ,𝑠   1 ,𝑠   𝑣,𝐴   𝑣,𝐡   𝐡,β„Ž   𝐡,𝑠   𝑣,𝐷   𝐷,𝑠   𝑣,𝐼   β„Ž,𝐼   𝑣,𝐾   𝑅,𝑠   𝑣,𝑆   π‘ˆ,β„Ž   π‘ˆ,𝑠   β„Ž,π‘Š   𝑣,π‘Š   πœ‘,𝑣   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(β„Ž,𝑠)   𝐷(β„Ž)   𝑃(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝑅(𝑣,β„Ž)   𝑆(β„Ž,𝑠)   π‘ˆ(𝑣)   1 (𝑣,β„Ž)   ↑ (𝑣,β„Ž,𝑠)   𝐹(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝐼(𝑠)   𝐾(β„Ž,𝑠)   𝑀(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝑉(𝑣,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑠)   0 (𝑣,β„Ž)
Proof of Theorem evlsbagval
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6907 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
2 evlsbagval.d . . . . . 6 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3 ovexd 7444 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V)
42, 3rabexd 5334 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
5 evlsbagval.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
6 evlsbagval.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
76subrgring 20322 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
9 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
10 evlsbagval.o . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘ˆ)
119, 10ringidcl 20083 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
13 evlsbagval.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
149, 13ring0cl 20084 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
158, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
1612, 15ifcld 4575 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
1716adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
18 evlsbagval.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ))
1917, 18fmptd 7114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
201, 4, 19elmapdd 8835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐷))
21 eqid 2733 . . . . 5 (𝐼 mPwSer π‘ˆ) = (𝐼 mPwSer π‘ˆ)
22 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ))
23 evlsbagval.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2421, 9, 2, 22, 23psrbas 21497 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)) = ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐷))
2520, 24eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)))
264, 15, 18sniffsupp 9395 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
27 evlsbagval.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
28 evlsbagval.w . . . 4 π‘Š = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2927, 21, 22, 13, 28mplelbas 21550 . . 3 (𝐹 ∈ π‘Š ↔ (𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
3025, 26, 29sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
31 evlsbagval.q . . . 4 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
32 evlsbagval.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
33 evlsbagval.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
34 evlsbagval.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
35 eqid 2733 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
36 evlsbagval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
37 evlsbagval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
3831, 27, 28, 6, 2, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37evlsvvval 41135 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))))
39 evlsbagval.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
4039snssd 4813 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† 𝐷)
41 resmpt 6038 . . . . . 6 ({𝐡} βŠ† 𝐷 β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡}) = (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))))
4240, 41syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡}) = (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))))
4342oveq2d 7425 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡})) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))))
44 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
4536crngringd 20069 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
4645ringcmnd 20101 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
4745adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
486subrgbas 20328 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
4932subrgss 20320 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
5048, 49eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
515, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
5219, 51fssd 6736 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢𝐾)
5352ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐾)
5423adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5536adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
5637adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
57 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
582, 32, 33, 34, 54, 55, 56, 57evlsvvvallem 41133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
5932, 35, 47, 53, 58ringcld 20080 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) ∈ 𝐾)
6059fmpttd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))):𝐷⟢𝐾)
61 eldifsnneq 4795 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡}) β†’ Β¬ 𝑏 = 𝐡)
6261adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ Β¬ 𝑏 = 𝐡)
6362iffalsed 4540 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ) = 0 )
64 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑏 β†’ (𝑠 = 𝐡 ↔ 𝑏 = 𝐡))
6564ifbid 4552 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑏 β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) = if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ))
66 eldifi 4127 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡}) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
6766adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
6810fvexi 6906 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
6913fvexi 6906 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
7068, 69ifex 4579 . . . . . . . . . . 11 if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ V)
7218, 65, 67, 71fvmptd3 7022 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ))
736, 44subrg0 20326 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
7473, 13eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = 0 )
755, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = 0 )
7675adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (0gβ€˜π‘†) = 0 )
7763, 72, 763eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘†))
7877oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((0gβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
7966, 58sylan2 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
8032, 35, 44ringlz 20107 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
8145, 79, 80syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ ((0gβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
8278, 81eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
8382, 4suppss2 8185 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† {𝐡})
842, 27, 6, 28, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37evlsvvvallem2 41134 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
8532, 44, 46, 4, 60, 83, 84gsumres 19781 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡})) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))))
8636crnggrpd 20070 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
8786grpmndd 18832 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
8852, 39ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝐾)
892, 32, 33, 34, 23, 36, 37, 39evlsvvvallem 41133 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
9032, 35, 45, 88, 89ringcld 20080 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) ∈ 𝐾)
91 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π΅))
92 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘£) = (π΅β€˜π‘£))
9392oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)) = ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))
9493mpteq2dv 5251 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))
9594oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
9691, 95oveq12d 7427 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
9732, 96gsumsn 19822 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) ∈ 𝐾) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
9887, 39, 90, 97syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
99 iftrue 4535 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝐡 β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) = 1 )
10068a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ V)
10118, 99, 39, 100fvmptd3 7022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) = 1 )
102 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
1036, 102subrg1 20329 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘ˆ))
1045, 103syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘ˆ))
10510, 101, 1043eqtr4a 2799 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) = (1rβ€˜π‘†))
106105oveq1d 7424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
10732, 35, 102, 45, 89ringlidmd 20089 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
10898, 106, 1073eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
10943, 85, 1083eqtr3d 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
11038, 109eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
11130, 110jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  .rcmulr 17198  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625  .gcmg 18950  mulGrpcmgp 19987  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  SubRingcsubrg 20315   mPwSer cmps 21457   mPoly cmpl 21459   evalSub ces 21633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-assa 21408  df-asp 21409  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-evls 21635
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator