Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsbagval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsbagval 41135
Description: Polynomial evaluation builder for a bag of variables. EDITORIAL: This theorem should stay in my mathbox until there's another use, since 0 and 1 using π‘ˆ instead of 𝑆 may not be convenient. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsbagval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsbagval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsbagval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsbagval.w π‘Š = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsbagval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsbagval.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlsbagval.e ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsbagval.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
evlsbagval.o 1 = (1rβ€˜π‘ˆ)
evlsbagval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsbagval.f 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ))
evlsbagval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsbagval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsbagval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsbagval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsbagval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
evlsbagval (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
Distinct variable groups:   0 ,𝑠   1 ,𝑠   𝑣,𝐴   𝑣,𝐡   𝐡,β„Ž   𝐡,𝑠   𝑣,𝐷   𝐷,𝑠   𝑣,𝐼   β„Ž,𝐼   𝑣,𝐾   𝑅,𝑠   𝑣,𝑆   π‘ˆ,β„Ž   π‘ˆ,𝑠   β„Ž,π‘Š   𝑣,π‘Š   πœ‘,𝑣   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(β„Ž,𝑠)   𝐷(β„Ž)   𝑃(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝑅(𝑣,β„Ž)   𝑆(β„Ž,𝑠)   π‘ˆ(𝑣)   1 (𝑣,β„Ž)   ↑ (𝑣,β„Ž,𝑠)   𝐹(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝐼(𝑠)   𝐾(β„Ž,𝑠)   𝑀(𝑣,β„Ž,𝑠)   𝑉(𝑣,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑠)   0 (𝑣,β„Ž)
Proof of Theorem evlsbagval
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6903 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
2 evlsbagval.d . . . . . 6 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3 ovexd 7440 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V)
42, 3rabexd 5332 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
5 evlsbagval.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
6 evlsbagval.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
76subrgring 20358 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
9 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
10 evlsbagval.o . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘ˆ)
119, 10ringidcl 20076 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
13 evlsbagval.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
149, 13ring0cl 20077 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
158, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
1612, 15ifcld 4573 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
1716adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
18 evlsbagval.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ))
1917, 18fmptd 7110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
201, 4, 19elmapdd 8831 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐷))
21 eqid 2732 . . . . 5 (𝐼 mPwSer π‘ˆ) = (𝐼 mPwSer π‘ˆ)
22 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ))
23 evlsbagval.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2421, 9, 2, 22, 23psrbas 21488 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)) = ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐷))
2520, 24eleqtrrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)))
264, 15, 18sniffsupp 9391 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
27 evlsbagval.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
28 evlsbagval.w . . . 4 π‘Š = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2927, 21, 22, 13, 28mplelbas 21541 . . 3 (𝐹 ∈ π‘Š ↔ (𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer π‘ˆ)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
3025, 26, 29sylanbrc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
31 evlsbagval.q . . . 4 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
32 evlsbagval.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
33 evlsbagval.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
34 evlsbagval.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
35 eqid 2732 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
36 evlsbagval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
37 evlsbagval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
3831, 27, 28, 6, 2, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37evlsvvval 41132 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))))
39 evlsbagval.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
4039snssd 4811 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† 𝐷)
41 resmpt 6035 . . . . . 6 ({𝐡} βŠ† 𝐷 β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡}) = (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))))
4240, 41syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡}) = (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))))
4342oveq2d 7421 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡})) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))))
44 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
4536crngringd 20062 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
4645ringcmnd 20094 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
4745adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
486subrgbas 20364 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
4932subrgss 20356 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
5048, 49eqsstrrd 4020 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
515, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
5219, 51fssd 6732 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢𝐾)
5352ffvelcdmda 7083 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐾)
5423adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5536adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
5637adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
57 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
582, 32, 33, 34, 54, 55, 56, 57evlsvvvallem 41130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
5932, 35, 47, 53, 58ringcld 20073 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) ∈ 𝐾)
6059fmpttd 7111 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))):𝐷⟢𝐾)
61 eldifsnneq 4793 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡}) β†’ Β¬ 𝑏 = 𝐡)
6261adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ Β¬ 𝑏 = 𝐡)
6362iffalsed 4538 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ) = 0 )
64 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑏 β†’ (𝑠 = 𝐡 ↔ 𝑏 = 𝐡))
6564ifbid 4550 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑏 β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) = if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ))
66 eldifi 4125 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡}) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
6766adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
6810fvexi 6902 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
6913fvexi 6902 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
7068, 69ifex 4577 . . . . . . . . . . 11 if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ) ∈ V)
7218, 65, 67, 71fvmptd3 7018 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑏 = 𝐡, 1 , 0 ))
736, 44subrg0 20362 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
7473, 13eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = 0 )
755, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = 0 )
7675adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (0gβ€˜π‘†) = 0 )
7763, 72, 763eqtr4d 2782 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘†))
7877oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((0gβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
7966, 58sylan2 593 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
8032, 35, 44ringlz 20100 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
8145, 79, 80syl2an2r 683 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ ((0gβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
8278, 81eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– {𝐡})) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
8382, 4suppss2 8181 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† {𝐡})
842, 27, 6, 28, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37evlsvvvallem2 41131 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
8532, 44, 46, 4, 60, 83, 84gsumres 19775 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) β†Ύ {𝐡})) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))))
8636crnggrpd 20063 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
8786grpmndd 18828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
8852, 39ffvelcdmd 7084 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ 𝐾)
892, 32, 33, 34, 23, 36, 37, 39evlsvvvallem 41130 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
9032, 35, 45, 88, 89ringcld 20073 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) ∈ 𝐾)
91 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π΅))
92 fveq1 6887 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘£) = (π΅β€˜π‘£))
9392oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)) = ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))
9493mpteq2dv 5249 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))
9594oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
9691, 95oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
9732, 96gsumsn 19816 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) ∈ 𝐾) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
9887, 39, 90, 97syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
99 iftrue 4533 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝐡 β†’ if(𝑠 = 𝐡, 1 , 0 ) = 1 )
10068a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ V)
10118, 99, 39, 100fvmptd3 7018 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) = 1 )
102 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
1036, 102subrg1 20365 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘ˆ))
1045, 103syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘ˆ))
10510, 101, 1043eqtr4a 2798 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) = (1rβ€˜π‘†))
106105oveq1d 7420 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
10732, 35, 102, 45, 89ringlidmd 20082 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘†)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
10898, 106, 1073eqtrd 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
10943, 85, 1083eqtr3d 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
11038, 109eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))
11130, 110jca 512 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ π‘Š ∧ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  .rcmulr 17194  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  1rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  SubRingcsubrg 20351   mPwSer cmps 21448   mPoly cmpl 21450   evalSub ces 21624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-evls 21626
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator