Theorem evlsbagval 43002

Description: Polynomial evaluation builder for a bag of variables. EDITORIAL: This theorem should stay in my mathbox until there's another use, since 0 and 1 using 𝑈 instead of 𝑆 may not be convenient. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsbagval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsbagval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsbagval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsbagval.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑃)
evlsbagval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsbagval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsbagval.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsbagval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
evlsbagval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑈)
evlsbagval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsbagval.f	⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ))
evlsbagval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsbagval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsbagval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsbagval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsbagval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evlsbagval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑠   1 ,𝑠   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝐵,ℎ   𝐵,𝑠   𝑣,𝐷   𝐷,𝑠   𝑣,𝐼   ℎ,𝐼   𝑣,𝐾   𝑅,𝑠   𝑣,𝑆   𝑈,ℎ   𝑈,𝑠   ℎ,𝑊   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ,𝑠)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑄(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑅(𝑣,ℎ)   𝑆(ℎ,𝑠)   𝑈(𝑣)   1 (𝑣,ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ,𝑠)   𝐹(𝑣,ℎ,𝑠)   𝐼(𝑠)   𝐾(ℎ,𝑠)   𝑀(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑉(𝑣,ℎ,𝑠)   𝑊(𝑠)   0 (𝑣,ℎ)

Proof of Theorem evlsbagval

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ∈ V)
2		evlsbagval.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		ovexd 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
4	2, 3	rabexd 5281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
5		evlsbagval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
6		evlsbagval.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7	6	subrgring 20551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
10		evlsbagval.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑈)
11	9, 10	ringidcl 20246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑈))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑈))
13		evlsbagval.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14	9, 13	ring0cl 20248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑈))
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑈))
16	12, 15	ifcld 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑈))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑈))
18		evlsbagval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ))
19	17, 18	fmptd 7066	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
20	1, 4, 19	elmapdd 8788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑈) ↑m 𝐷))
21		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑈) = (𝐼 mPwSer 𝑈)
22		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈))
23		evlsbagval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
24	21, 9, 2, 22, 23	psrbas 21913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) = ((Base‘𝑈) ↑m 𝐷))
25	20, 24	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)))
26	4, 15, 18	sniffsupp 9313	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
27		evlsbagval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
28		evlsbagval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑃)
29	27, 21, 22, 13, 28	mplelbas 21969	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑊 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑈)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
30	25, 26, 29	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
31		evlsbagval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
32		evlsbagval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
33		evlsbagval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
34		evlsbagval.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
35		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
36		evlsbagval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
37		evlsbagval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
38	31, 27, 28, 6, 2, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37	evlsvvval 22071	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
39		evlsbagval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
40	39	snssd 4730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝐷)
41		resmpt 6002	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐷 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵}) = (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵}) = (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
43	42	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵})) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
44		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
45	36	crngringd 20227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46	45	ringcmnd 20265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
47	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
48	6	subrgbas 20558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
49	32	subrgss 20549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
50	48, 49	eqsstrrd 3957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
51	5, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
52	19, 51	fssd 6685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
53	52	ffvelcdmda 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
54	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
55	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
56	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
57		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
58	2, 32, 33, 34, 54, 55, 56, 57	evlsvvvallem 22069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
59	32, 35, 47, 53, 58	ringcld 20241	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾)
60	59	fmpttd 7067	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))):𝐷⟶𝐾)
61		eldifsnneq 4736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
62	61	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
63	62	iffalsed 4477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) = 0 )
64		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (𝑠 = 𝐵 ↔ 𝑏 = 𝐵))
65	64	ifbid 4490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) = if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ))
66		eldifi 4071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → 𝑏 ∈ 𝐷)
68	10	fvexi 6854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
69	13	fvexi 6854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
70	68, 69	ifex 4517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ) ∈ V)
72	18, 65, 67, 71	fvmptd3 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐵, 1 , 0 ))
73	6, 44	subrg0 20556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
74	73, 13	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = 0 )
75	5, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = 0 )
76	75	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (0g‘𝑆) = 0 )
77	63, 72, 76	3eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
78	77	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
79	66, 58	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
80	32, 35, 44	ringlz 20274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾) → ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
81	45, 79, 80	syl2an2r 686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((0g‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
82	78, 81	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
83	82, 4	suppss2 8150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ {𝐵})
84	2, 27, 6, 28, 32, 33, 34, 35, 23, 36, 5, 30, 37	evlsvvvallem2 22070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))
85	32, 44, 46, 4, 60, 83, 84	gsumres 19888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ↾ {𝐵})) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))))
86	36	crnggrpd 20228	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
87	86	grpmndd 18922	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
88	52, 39	ffvelcdmd 7037	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐾)
89	2, 32, 33, 34, 23, 36, 37, 39	evlsvvvallem 22069	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
90	32, 35, 45, 88, 89	ringcld 20241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾)
91		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝐵))
92		fveq1 6839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑣) = (𝐵‘𝑣))
93	92	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))
94	93	mpteq2dv 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))
95	94	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
96	91, 95	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
97	32, 96	gsumsn 19929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) ∈ 𝐾) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
98	87, 39, 90, 97	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
99		iftrue 4472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → if(𝑠 = 𝐵, 1 , 0 ) = 1 )
100	68	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
101	18, 99, 39, 100	fvmptd3 6971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = 1 )
102		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
103	6, 102	subrg1 20559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑈))
104	5, 103	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑈))
105	10, 101, 104	3eqtr4a 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = (1r‘𝑆))
106	105	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
107	32, 35, 102, 45, 89	ringlidmd 20253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
108	98, 106, 107	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
109	43, 85, 108	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏)(.r‘𝑆)(𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
110	38, 109	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))
111	30, 110	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ifcif 4466  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18702  ._gcmg 19043  mulGrpcmgp 20121  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215  SubRingcsubrg 20546   mPwSer cmps 21884   mPoly cmpl 21886   evalSub ces 22050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-assa 21833  df-asp 21834  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-evls 22052

This theorem is referenced by: (None)