MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psdcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psdcl 22012
Description: The derivative of a power series is a power series. (Contributed by SN, 11-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psdcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psdcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psdcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
psdcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
psdcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
psdcl (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
Proof of Theorem psdcl
Dummy variables β„Ž π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
2 ovex 7434 . . . . 5 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
32rabex 5322 . . . 4 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
5 psdcl.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
65adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
7 eqid 2724 . . . . . . . . 9 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
87psrbagf 21780 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
98adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
10 psdcl.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
129, 11ffvelcdmd 7077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
13 nn0p1nn 12508 . . . . . 6 ((π‘˜β€˜π‘‹) ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•)
15 psdcl.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
16 eqid 2724 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
17 psdcl.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
18 psdcl.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
1915, 16, 7, 17, 18psrelbas 21807 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
2019adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
21 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
22 psdcl.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
23 1nn0 12485 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•0
247snifpsrbag 21784 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2522, 23, 24sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
277psrbagaddcl 21790 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2821, 26, 27syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2920, 28ffvelcdmd 7077 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
30 eqid 2724 . . . . . 6 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
3116, 30mulgnncl 19006 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mgm ∧ ((π‘˜β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
326, 14, 29, 31syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3332fmpttd 7106 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
341, 4, 33elmapdd 8831 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}))
3515, 17, 7, 22, 5, 10, 18psdval 22010 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) = (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
3615, 16, 7, 17, 22psrbas 21806 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}))
3734, 35, 363eltr4d 2840 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  ifcif 4520   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665   β€œ cima 5669  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∘f cof 7661   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  Basecbs 17143  Mgmcmgm 18561  .gcmg 18985   mPwSer cmps 21766   mPSDer cpsd 21983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-seq 13964  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-mgm 18563  df-mulg 18986  df-psr 21771  df-psd 22007
This theorem is referenced by:  psdmplcl  22013  psdadd  22014  psdvsca  22015
  Copyright terms: Public domain W3C validator