MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psdcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psdcl 22072
Description: The derivative of a power series is a power series. (Contributed by SN, 11-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psdcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psdcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psdcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
psdcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
psdcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
psdcl (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
Proof of Theorem psdcl
Dummy variables β„Ž π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6906 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
2 ovex 7447 . . . . 5 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
32rabex 5328 . . . 4 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
5 psdcl.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
65adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
7 eqid 2727 . . . . . . . . 9 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
87psrbagf 21838 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
98adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
10 psdcl.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
129, 11ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
13 nn0p1nn 12533 . . . . . 6 ((π‘˜β€˜π‘‹) ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•)
15 psdcl.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
16 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
17 psdcl.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
18 psdcl.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
1915, 16, 7, 17, 18psrelbas 21866 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
2019adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
21 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
22 psdcl.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
23 1nn0 12510 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•0
247snifpsrbag 21842 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2522, 23, 24sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
277psrbagaddcl 21848 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2821, 26, 27syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2920, 28ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
30 eqid 2727 . . . . . 6 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
3116, 30mulgnncl 19035 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mgm ∧ ((π‘˜β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
326, 14, 29, 31syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3332fmpttd 7119 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
341, 4, 33elmapdd 8851 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}))
3515, 17, 7, 22, 5, 10, 18psdval 22070 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) = (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘˜β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(π‘˜ ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
3615, 16, 7, 17, 22psrbas 21865 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}))
3734, 35, 363eltr4d 2843 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469  ifcif 4524   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7677   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  Basecbs 17171  Mgmcmgm 18589  .gcmg 19014   mPwSer cmps 21824   mPSDer cpsd 22043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-seq 13991  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-tset 17243  df-mgm 18591  df-mulg 19015  df-psr 21829  df-psd 22067
This theorem is referenced by:  psdmplcl  22073  psdadd  22074  psdvsca  22075  psdmul  22077  psd1  22078
  Copyright terms: Public domain W3C validator