MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmcoaddmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmcoaddmpl 22401
Description: Show that the ring homomorphism in rhmmpl 22403 preserves addition. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmcoaddmpl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhmcoaddmpl.q 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
mhmcoaddmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcoaddmpl.c 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcoaddmpl.1 + = (+g𝑃)
mhmcoaddmpl.2 = (+g𝑄)
mhmcoaddmpl.h (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcoaddmpl.f (𝜑𝐹𝐵)
mhmcoaddmpl.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
mhmcoaddmpl (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻𝐹) (𝐻𝐺)))

Proof of Theorem mhmcoaddmpl
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmcoaddmpl.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2 fvexd 6922 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
3 eqid 2735 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4 ovexd 7466 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ0m 𝐼) ∈ V)
53, 4rabexd 5346 . . . 4 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
6 mhmcoaddmpl.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 mhmcoaddmpl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
9 mhmcoaddmpl.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
106, 7, 8, 3, 9mplelf 22036 . . . 4 (𝜑𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
112, 5, 10elmapdd 8880 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
12 mhmcoaddmpl.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐵)
136, 7, 8, 3, 12mplelf 22036 . . . 4 (𝜑𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
142, 5, 13elmapdd 8880 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
15 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
16 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
177, 15, 16mhmvlin 18827 . . 3 ((𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → (𝐻 ∘ (𝐹f (+g𝑅)𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∘f (+g𝑆)(𝐻𝐺)))
181, 11, 14, 17syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹f (+g𝑅)𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∘f (+g𝑆)(𝐻𝐺)))
19 mhmcoaddmpl.1 . . . 4 + = (+g𝑃)
206, 8, 15, 19, 9, 12mpladd 22047 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹f (+g𝑅)𝐺))
2120coeq2d 5876 . 2 (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝐹f (+g𝑅)𝐺)))
22 mhmcoaddmpl.q . . 3 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
23 mhmcoaddmpl.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑄)
24 mhmcoaddmpl.2 . . 3 = (+g𝑄)
256, 22, 8, 23, 1, 9mhmcompl 22400 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ 𝐶)
266, 22, 8, 23, 1, 12mhmcompl 22400 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐺) ∈ 𝐶)
2722, 23, 16, 24, 25, 26mpladd 22047 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝐹) (𝐻𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∘f (+g𝑆)(𝐻𝐺)))
2818, 21, 273eqtr4d 2785 1 (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻𝐹) (𝐻𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  ccnv 5688  cima 5692  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8865  Fincfn 8984  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   MndHom cmhm 18807   mPoly cmpl 21944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-psr 21947  df-mpl 21949
This theorem is referenced by:  rhmmpl  22403  selvadd  42575
  Copyright terms: Public domain W3C validator