Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhmcoaddmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmcoaddmpl 41696
Description: Show that the ring homomorphism in rhmmpl 41698 preserves addition. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmcoaddmpl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhmcoaddmpl.q 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
mhmcoaddmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcoaddmpl.c 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcoaddmpl.1 + = (+g𝑃)
mhmcoaddmpl.2 = (+g𝑄)
mhmcoaddmpl.i (𝜑𝐼𝑉)
mhmcoaddmpl.h (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcoaddmpl.f (𝜑𝐹𝐵)
mhmcoaddmpl.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
mhmcoaddmpl (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻𝐹) (𝐻𝐺)))

Proof of Theorem mhmcoaddmpl
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmcoaddmpl.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2 fvexd 6906 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
3 ovex 7447 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
43rabex 5328 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
6 mhmcoaddmpl.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7 eqid 2727 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 mhmcoaddmpl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
9 eqid 2727 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
10 mhmcoaddmpl.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
116, 7, 8, 9, 10mplelf 21918 . . . 4 (𝜑𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
122, 5, 11elmapdd 8849 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
13 mhmcoaddmpl.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐵)
146, 7, 8, 9, 13mplelf 21918 . . . 4 (𝜑𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
152, 5, 14elmapdd 8849 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16 eqid 2727 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
17 eqid 2727 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
187, 16, 17mhmvlin 22273 . . 3 ((𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → (𝐻 ∘ (𝐹f (+g𝑅)𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∘f (+g𝑆)(𝐻𝐺)))
191, 12, 15, 18syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹f (+g𝑅)𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∘f (+g𝑆)(𝐻𝐺)))
20 mhmcoaddmpl.1 . . . 4 + = (+g𝑃)
216, 8, 16, 20, 10, 13mpladd 21929 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹f (+g𝑅)𝐺))
2221coeq2d 5859 . 2 (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝐹f (+g𝑅)𝐺)))
23 mhmcoaddmpl.q . . 3 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
24 mhmcoaddmpl.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑄)
25 mhmcoaddmpl.2 . . 3 = (+g𝑄)
26 mhmcoaddmpl.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
276, 23, 8, 24, 26, 1, 10mhmcompl 41693 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ 𝐶)
286, 23, 8, 24, 26, 1, 13mhmcompl 41693 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐺) ∈ 𝐶)
2923, 24, 17, 25, 27, 28mpladd 21929 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝐹) (𝐻𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∘f (+g𝑆)(𝐻𝐺)))
3019, 22, 293eqtr4d 2777 1 (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻𝐹) (𝐻𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469  ccnv 5671  cima 5675  ccom 5676  cfv 6542  (class class class)co 7414  f cof 7675  m cmap 8834  Fincfn 8953  cn 12228  0cn0 12488  Basecbs 17165  +gcplusg 17218   MndHom cmhm 18723   mPoly cmpl 21819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-tset 17237  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-psr 21822  df-mpl 21824
This theorem is referenced by:  rhmmpl  41698  selvadd  41733
  Copyright terms: Public domain W3C validator