Theorem mhmcoaddmpl 22432

Description: Show that the ring homomorphism in rhmmpl 22698 preserves addition. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcoaddmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhmcoaddmpl.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
mhmcoaddmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcoaddmpl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcoaddmpl.1	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhmcoaddmpl.2	⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
mhmcoaddmpl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcoaddmpl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mhmcoaddmpl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcoaddmpl	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem mhmcoaddmpl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmcoaddmpl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2		fvexd 6900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
5	3, 4	rabexd 5301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
6		mhmcoaddmpl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		mhmcoaddmpl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		mhmcoaddmpl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10	6, 7, 8, 3, 9	mplelf 22305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
11	2, 5, 10	elmapdd 8861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
12		mhmcoaddmpl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 3, 12	mplelf 22305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14	2, 5, 13	elmapdd 8861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
17	7, 15, 16	mhmvlin 18996	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
18	1, 11, 14, 17	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
19		mhmcoaddmpl.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
20	6, 8, 15, 19, 9, 12	mpladd 22316	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
21	20	coeq2d 5840	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)))
22		mhmcoaddmpl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
23		mhmcoaddmpl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
24		mhmcoaddmpl.2	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
25	6, 22, 8, 23, 1, 9	mhmcompl 22430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
26	6, 22, 8, 23, 1, 12	mhmcompl 22430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
27	22, 23, 16, 24, 25, 26	mpladd 22316	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
28	18, 21, 27	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428   MndHom cmhm 18976   mPoly cmpl 22214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-tset 17447  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-psr 22217  df-mpl 22219

This theorem is used by:  selvadd  22452  rhmmpl  22698