Theorem mhmcoaddmpl 22487

Description: Show that the ring homomorphism in rhmmpl 22753 preserves addition. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcoaddmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhmcoaddmpl.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
mhmcoaddmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcoaddmpl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcoaddmpl.1	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhmcoaddmpl.2	⊢ + = (+g‘𝑄)
mhmcoaddmpl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcoaddmpl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mhmcoaddmpl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcoaddmpl	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) + (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem mhmcoaddmpl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmcoaddmpl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2		fvexd 6931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		ovexd 7486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
5	3, 4	rabexd 5308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
6		mhmcoaddmpl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		mhmcoaddmpl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		mhmcoaddmpl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10	6, 7, 8, 3, 9	mplelf 22360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
11	2, 5, 10	elmapdd 8899	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
12		mhmcoaddmpl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 3, 12	mplelf 22360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14	2, 5, 13	elmapdd 8899	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
17	7, 15, 16	mhmvlin 19046	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
18	1, 11, 14, 17	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
19		mhmcoaddmpl.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
20	6, 8, 15, 19, 9, 12	mpladd 22371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
21	20	coeq2d 5851	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)))
22		mhmcoaddmpl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
23		mhmcoaddmpl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
24		mhmcoaddmpl.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑄)
25	6, 22, 8, 23, 1, 9	mhmcompl 22485	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
26	6, 22, 8, 23, 1, 12	mhmcompl 22485	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
27	22, 23, 16, 24, 25, 26	mpladd 22371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) + (𝐻 ∘ 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
28	18, 21, 27	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) + (𝐻 ∘ 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472   MndHom cmhm 19026   mPoly cmpl 22269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-tset 17492  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-psr 22272  df-mpl 22274

This theorem is used by:  selvadd  22507  rhmmpl  22753