Theorem mhmcoaddmpl 41123

Description: Show that the ring homomorphism in rhmmpl 41125 preserves addition. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcoaddmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhmcoaddmpl.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
mhmcoaddmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcoaddmpl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcoaddmpl.1	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhmcoaddmpl.2	⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
mhmcoaddmpl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhmcoaddmpl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcoaddmpl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mhmcoaddmpl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcoaddmpl	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem mhmcoaddmpl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmcoaddmpl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2		fvexd 6907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
3		ovex 7442	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
4	3	rabex 5333	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
6		mhmcoaddmpl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		mhmcoaddmpl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
10		mhmcoaddmpl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	6, 7, 8, 9, 10	mplelf 21557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12	2, 5, 11	elmapdd 8835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
13		mhmcoaddmpl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
14	6, 7, 8, 9, 13	mplelf 21557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	2, 5, 14	elmapdd 8835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
17		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
18	7, 16, 17	mhmvlin 21899	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
19	1, 12, 15, 18	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
20		mhmcoaddmpl.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
21	6, 8, 16, 20, 10, 13	mpladd 21568	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
22	21	coeq2d 5863	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)))
23		mhmcoaddmpl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
24		mhmcoaddmpl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
25		mhmcoaddmpl.2	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
26		mhmcoaddmpl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
27	6, 23, 8, 24, 26, 1, 10	mhmcompl 41120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
28	6, 23, 8, 24, 26, 1, 13	mhmcompl 41120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
29	23, 24, 17, 25, 27, 28	mpladd 21568	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
30	19, 22, 29	3eqtr4d 2783	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  ^◡ccnv 5676   “ cima 5680   ∘ ccom 5681  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7668   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197   MndHom cmhm 18669   mPoly cmpl 21459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-psr 21462  df-mpl 21464

This theorem is referenced by:  rhmmpl  41125  selvadd  41160