Theorem mhmcoaddmpl 22385

Description: Show that the ring homomorphism in rhmmpl 22387 preserves addition. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcoaddmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhmcoaddmpl.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
mhmcoaddmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcoaddmpl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcoaddmpl.1	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhmcoaddmpl.2	⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
mhmcoaddmpl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcoaddmpl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mhmcoaddmpl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcoaddmpl	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem mhmcoaddmpl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmcoaddmpl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2		fvexd 6921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		ovexd 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
5	3, 4	rabexd 5340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
6		mhmcoaddmpl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		mhmcoaddmpl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		mhmcoaddmpl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10	6, 7, 8, 3, 9	mplelf 22018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
11	2, 5, 10	elmapdd 8881	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
12		mhmcoaddmpl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 3, 12	mplelf 22018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14	2, 5, 13	elmapdd 8881	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
17	7, 15, 16	mhmvlin 18814	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
18	1, 11, 14, 17	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
19		mhmcoaddmpl.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
20	6, 8, 15, 19, 9, 12	mpladd 22029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
21	20	coeq2d 5873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)))
22		mhmcoaddmpl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
23		mhmcoaddmpl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
24		mhmcoaddmpl.2	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
25	6, 22, 8, 23, 1, 9	mhmcompl 22384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
26	6, 22, 8, 23, 1, 12	mhmcompl 22384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
27	22, 23, 16, 24, 25, 26	mpladd 22029	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
28	18, 21, 27	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297   MndHom cmhm 18794   mPoly cmpl 21926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-psr 21929  df-mpl 21931

This theorem is referenced by:  rhmmpl  22387  selvadd  42598