Theorem mhphf 42840

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function. Equivalently, an algebraic form is a homogeneous function. (An algebraic form is the function corresponding to a homogeneous polynomial, which in this case is the (𝑄‘𝑋) which corresponds to 𝑋). (Contributed by SN, 28-Jul-2024.) (Proof shortened by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
mhphf	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf

Dummy variables 𝑏 𝑖 𝑘 𝑗 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
2		elmapi 8786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
4	3	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
5	1, 4	fndmexd 7846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐼 ∈ V)
7		mhphf.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐿 ∈ 𝑅)
9	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐴 Fn 𝐼)
10		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
11	6, 8, 9, 10	ofc1 7650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖) = (𝐿 · (𝐴‘𝑖)))
12	11	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐿 · (𝐴‘𝑖))))
13		mhphf.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
14		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
15	14	crngmgp 20176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
18		elrabi 3642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
20	19	psrbagf 21874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
23	22	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0)
24		mhphf.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
25		mhphf.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
26	25	subrgss 20505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
27	24, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
28	27, 7	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐿 ∈ 𝐾)
30	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
31	30	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑖) ∈ 𝐾)
32	14, 25	mgpbas 20080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
33		mhphf.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
34		mhphf.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘𝑆)
35	14, 34	mgpplusg 20079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
36	32, 33, 35	mulgnn0di 19754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd ∧ ((𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ 𝐾)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐿 · (𝐴‘𝑖))) = (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
37	17, 23, 29, 31, 36	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐿 · (𝐴‘𝑖))) = (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
38	12, 37	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)) = (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
39	38	mpteq2dva 5191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))
40	39	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))) = ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
41		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
42	14, 41	ringidval 20118	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
43	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑆 ∈ CRing)
44	43, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
45	13	crngringd 20181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46	14	ringmgp 20174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
49	32, 33, 48, 23, 29	mulgnn0cld 19025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) ∈ 𝐾)
50	32, 33, 48, 23, 31	mulgnn0cld 19025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)) ∈ 𝐾)
51		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)))
52		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
53	5	mptexd 7170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) ∈ V)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) ∈ V)
55		fvexd 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (1r‘𝑆) ∈ V)
56		funmpt 6530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)))
58	19	psrbagfsupp 21875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑏 finSupp 0)
59	18, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏 finSupp 0)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏 finSupp 0)
61	22	feqmptd 6902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑖)))
62	61	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑏 supp 0) = ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑖)) supp 0))
63	62	eqimsscd 3991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑖)) supp 0) ⊆ (𝑏 supp 0))
64	32, 42, 33	mulg0 19004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → (0 ↑ 𝑘) = (1r‘𝑆))
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (0 ↑ 𝑘) = (1r‘𝑆))
66		0zd 12500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 0 ∈ ℤ)
67	63, 65, 23, 29, 66	suppssov1 8139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) supp (1r‘𝑆)) ⊆ (𝑏 supp 0))
68	54, 55, 57, 60, 67	fsuppsssuppgd 9285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) finSupp (1r‘𝑆))
69	5	mptexd 7170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) ∈ V)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) ∈ V)
71		funmpt 6530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
73	63, 65, 23, 31, 66	suppssov1 8139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) supp (1r‘𝑆)) ⊆ (𝑏 supp 0))
74	70, 55, 72, 60, 73	fsuppsssuppgd 9285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) finSupp (1r‘𝑆))
75	32, 42, 35, 44, 6, 49, 50, 51, 52, 68, 74	gsummptfsadd 19853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = (((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
76		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} = {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
77		mhphf.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
78		mhphf.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
79	77, 78	mhprcl 22086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
80	19, 76, 32, 33, 5, 47, 28, 79	mhphflem 42839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))) = (𝑁 ↑ 𝐿))
81	80	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
82	40, 75, 81	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
83	82	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))) = ((𝑋‘𝑏) · ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
84		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
85		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
86		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
87	77, 84, 86, 78	mhpmpl 22087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
88	84, 85, 86, 19, 87	mplelf 21953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
89		mhphf.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
90	89	subrgbas 20514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
91	90, 26	eqsstrrd 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
92	24, 91	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
93	88, 92	fssd 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
94	93	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑋‘𝑏) ∈ 𝐾)
95	18, 94	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑋‘𝑏) ∈ 𝐾)
96	32, 33, 47, 79, 28	mulgnn0cld 19025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐿) ∈ 𝐾)
97	96	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑁 ↑ 𝐿) ∈ 𝐾)
98	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ V)
99	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ CRing)
100	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
101		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
102	19, 25, 14, 33, 98, 99, 100, 101	evlsvvvallem 22046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
103	18, 102	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
104	25, 34, 43, 95, 97, 103	crng12d 20193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
105	83, 104	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
106	105	mpteq2dva 5191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))))) = (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
107	106	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
108		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
109		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
110	109	rabex 5284	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
111	110	rabex 5284	. . . . 5 ⊢ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∈ V
112	111	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∈ V)
113	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ Ring)
114	25, 34, 113, 94, 102	ringcld 20195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
115	18, 114	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
116		ssrab2 4032	. . . . . 6 ⊢ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
117		mptss 6001	. . . . . 6 ⊢ ({𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ⊆ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
118	116, 117	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ⊆ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
119	19, 84, 89, 86, 25, 14, 33, 34, 5, 13, 24, 87, 1	evlsvvvallem2 22047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) finSupp (0g‘𝑆))
120	118, 119	fsuppss 9286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) finSupp (0g‘𝑆))
121	25, 108, 34, 45, 112, 96, 115, 120	gsummulc2 20252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
122	107, 121	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
123		mhphf.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
124	25	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
125	124	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
126	25, 34	ringcl 20185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
127	45, 126	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
128	127	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
129		fconst6g 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝐾 → (𝐼 × {𝐿}):𝐼⟶𝐾)
130	28, 129	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐿}):𝐼⟶𝐾)
131		inidm 4179	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
132	128, 130, 3, 5, 5, 131	off 7640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐾)
133	125, 5, 132	elmapdd 8778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
134	123, 77, 89, 19, 76, 25, 14, 33, 34, 13, 24, 78, 133	evlsmhpvvval 42838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))))
135	123, 77, 89, 19, 76, 25, 14, 33, 34, 13, 24, 78, 1	evlsmhpvvval 42838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
136	135	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
137	122, 134, 136	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11026  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  Mndcmnd 18659  ._gcmg 18997  CMndccmn 19709  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  CRingccrg 20169  SubRingcsubrg 20502  ℂ_fldccnfld 21309   mPoly cmpl 21862   evalSub ces 22027   mHomP cmhp 22072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-cnfld 21310  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-evls 22029  df-mhp 22079

This theorem is referenced by:  mhphf2  42841  mhphf3  42842