Theorem mhphf 42952

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function. Equivalently, an algebraic form is a homogeneous function. (An algebraic form is the function corresponding to a homogeneous polynomial, which in this case is the (𝑄‘𝑋) which corresponds to 𝑋). (Contributed by SN, 28-Jul-2024.) (Proof shortened by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
mhphf	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf

Dummy variables 𝑏 𝑖 𝑘 𝑗 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
2		elmapi 8798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
4	3	ffnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
5	1, 4	fndmexd 7856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐼 ∈ V)
7		mhphf.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐿 ∈ 𝑅)
9	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐴 Fn 𝐼)
10		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
11	6, 8, 9, 10	ofc1 7660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖) = (𝐿 · (𝐴‘𝑖)))
12	11	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐿 · (𝐴‘𝑖))))
13		mhphf.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
15	14	crngmgp 20188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
17	16	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
18		elrabi 3644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
19		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
20	19	psrbagf 21886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
23	22	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0)
24		mhphf.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
25		mhphf.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
26	25	subrgss 20517	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
27	24, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
28	27, 7	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
29	28	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐿 ∈ 𝐾)
30	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
31	30	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑖) ∈ 𝐾)
32	14, 25	mgpbas 20092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
33		mhphf.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
34		mhphf.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘𝑆)
35	14, 34	mgpplusg 20091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
36	32, 33, 35	mulgnn0di 19766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd ∧ ((𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ 𝐾)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐿 · (𝐴‘𝑖))) = (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
37	17, 23, 29, 31, 36	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐿 · (𝐴‘𝑖))) = (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
38	12, 37	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)) = (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
39	38	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))
40	39	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))) = ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
41		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
42	14, 41	ringidval 20130	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
43	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑆 ∈ CRing)
44	43, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
45	13	crngringd 20193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46	14	ringmgp 20186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
48	47	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
49	32, 33, 48, 23, 29	mulgnn0cld 19037	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) ∈ 𝐾)
50	32, 33, 48, 23, 31	mulgnn0cld 19037	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)) ∈ 𝐾)
51		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)))
52		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
53	5	mptexd 7180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) ∈ V)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) ∈ V)
55		fvexd 6857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (1r‘𝑆) ∈ V)
56		funmpt 6538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)))
58	19	psrbagfsupp 21887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑏 finSupp 0)
59	18, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏 finSupp 0)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏 finSupp 0)
61	22	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑖)))
62	61	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑏 supp 0) = ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑖)) supp 0))
63	62	eqimsscd 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑖)) supp 0) ⊆ (𝑏 supp 0))
64	32, 42, 33	mulg0 19016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → (0 ↑ 𝑘) = (1r‘𝑆))
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (0 ↑ 𝑘) = (1r‘𝑆))
66		0zd 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 0 ∈ ℤ)
67	63, 65, 23, 29, 66	suppssov1 8149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) supp (1r‘𝑆)) ⊆ (𝑏 supp 0))
68	54, 55, 57, 60, 67	fsuppsssuppgd 9297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) finSupp (1r‘𝑆))
69	5	mptexd 7180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) ∈ V)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) ∈ V)
71		funmpt 6538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
73	63, 65, 23, 31, 66	suppssov1 8149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) supp (1r‘𝑆)) ⊆ (𝑏 supp 0))
74	70, 55, 72, 60, 73	fsuppsssuppgd 9297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) finSupp (1r‘𝑆))
75	32, 42, 35, 44, 6, 49, 50, 51, 52, 68, 74	gsummptfsadd 19865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = (((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
76		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} = {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
77		mhphf.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
78		mhphf.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
79	77, 78	mhprcl 22098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
80	19, 76, 32, 33, 5, 47, 28, 79	mhphflem 42951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))) = (𝑁 ↑ 𝐿))
81	80	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
82	40, 75, 81	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
83	82	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))) = ((𝑋‘𝑏) · ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
84		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
85		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
86		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
87	77, 84, 86, 78	mhpmpl 22099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
88	84, 85, 86, 19, 87	mplelf 21965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
89		mhphf.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
90	89	subrgbas 20526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
91	90, 26	eqsstrrd 3971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
92	24, 91	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
93	88, 92	fssd 6687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
94	93	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑋‘𝑏) ∈ 𝐾)
95	18, 94	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑋‘𝑏) ∈ 𝐾)
96	32, 33, 47, 79, 28	mulgnn0cld 19037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐿) ∈ 𝐾)
97	96	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑁 ↑ 𝐿) ∈ 𝐾)
98	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ V)
99	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ CRing)
100	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
101		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
102	19, 25, 14, 33, 98, 99, 100, 101	evlsvvvallem 22058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
103	18, 102	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
104	25, 34, 43, 95, 97, 103	crng12d 20205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
105	83, 104	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
106	105	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))))) = (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
107	106	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
108		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
109		ovex 7401	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
110	109	rabex 5286	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
111	110	rabex 5286	. . . . 5 ⊢ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∈ V
112	111	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∈ V)
113	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ Ring)
114	25, 34, 113, 94, 102	ringcld 20207	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
115	18, 114	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
116		ssrab2 4034	. . . . . 6 ⊢ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
117		mptss 6009	. . . . . 6 ⊢ ({𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ⊆ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
118	116, 117	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ⊆ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
119	19, 84, 89, 86, 25, 14, 33, 34, 5, 13, 24, 87, 1	evlsvvvallem2 22059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) finSupp (0g‘𝑆))
120	118, 119	fsuppss 9298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) finSupp (0g‘𝑆))
121	25, 108, 34, 45, 112, 96, 115, 120	gsummulc2 20264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
122	107, 121	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
123		mhphf.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
124	25	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
125	124	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
126	25, 34	ringcl 20197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
127	45, 126	syl3an1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
128	127	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
129		fconst6g 6731	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝐾 → (𝐼 × {𝐿}):𝐼⟶𝐾)
130	28, 129	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐿}):𝐼⟶𝐾)
131		inidm 4181	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
132	128, 130, 3, 5, 5, 131	off 7650	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐾)
133	125, 5, 132	elmapdd 8790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
134	123, 77, 89, 19, 76, 25, 14, 33, 34, 13, 24, 78, 133	evlsmhpvvval 42950	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))))
135	123, 77, 89, 19, 76, 25, 14, 33, 34, 13, 24, 78, 1	evlsmhpvvval 42950	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
136	135	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
137	122, 134, 136	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630   supp csupp 8112   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9276  0cc0 11038  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  Mndcmnd 18671  ._gcmg 19009  CMndccmn 19721  mulGrpcmgp 20087  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  SubRingcsubrg 20514  ℂ_fldccnfld 21321   mPoly cmpl 21874   evalSub ces 22039   mHomP cmhp 22084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-cnfld 21322  df-assa 21820  df-asp 21821  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-evls 22041  df-mhp 22091

This theorem is referenced by:  mhphf2  42953  mhphf3  42954