Theorem mhphf 43054

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function. Equivalently, an algebraic form is a homogeneous function. (An algebraic form is the function corresponding to a homogeneous polynomial, which in this case is the (𝑄‘𝑋) which corresponds to 𝑋). (Contributed by SN, 28-Jul-2024.) (Proof shortened by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
mhphf	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf

Dummy variables 𝑏 𝑖 𝑘 𝑗 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
2		elmapi 8793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
4	3	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
5	1, 4	fndmexd 7851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐼 ∈ V)
7		mhphf.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐿 ∈ 𝑅)
9	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐴 Fn 𝐼)
10		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
11	6, 8, 9, 10	ofc1 7655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖) = (𝐿 · (𝐴‘𝑖)))
12	11	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐿 · (𝐴‘𝑖))))
13		mhphf.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
14		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
15	14	crngmgp 20220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
17	16	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
18		elrabi 3632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
19		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
20	19	psrbagf 21900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
23	22	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0)
24		mhphf.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
25		mhphf.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
26	25	subrgss 20551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
27	24, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
28	27, 7	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
29	28	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐿 ∈ 𝐾)
30	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
31	30	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑖) ∈ 𝐾)
32	14, 25	mgpbas 20124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
33		mhphf.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
34		mhphf.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘𝑆)
35	14, 34	mgpplusg 20123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
36	32, 33, 35	mulgnn0di 19798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd ∧ ((𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ 𝐾)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐿 · (𝐴‘𝑖))) = (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
37	17, 23, 29, 31, 36	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐿 · (𝐴‘𝑖))) = (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
38	12, 37	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)) = (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
39	38	mpteq2dva 5172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))
40	39	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))) = ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
41		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
42	14, 41	ringidval 20162	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
43	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑆 ∈ CRing)
44	43, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
45	13	crngringd 20225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46	14	ringmgp 20218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
48	47	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
49	32, 33, 48, 23, 29	mulgnn0cld 19069	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) ∈ 𝐾)
50	32, 33, 48, 23, 31	mulgnn0cld 19069	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)) ∈ 𝐾)
51		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)))
52		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
53	5	mptexd 7175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) ∈ V)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) ∈ V)
55		fvexd 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (1r‘𝑆) ∈ V)
56		funmpt 6530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)))
58	19	psrbagfsupp 21901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑏 finSupp 0)
59	18, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏 finSupp 0)
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏 finSupp 0)
61	22	feqmptd 6902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑖)))
62	61	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑏 supp 0) = ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑖)) supp 0))
63	62	eqimsscd 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑖)) supp 0) ⊆ (𝑏 supp 0))
64	32, 42, 33	mulg0 19048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → (0 ↑ 𝑘) = (1r‘𝑆))
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (0 ↑ 𝑘) = (1r‘𝑆))
66		0zd 12534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 0 ∈ ℤ)
67	63, 65, 23, 29, 66	suppssov1 8144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) supp (1r‘𝑆)) ⊆ (𝑏 supp 0))
68	54, 55, 57, 60, 67	fsuppsssuppgd 9292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿)) finSupp (1r‘𝑆))
69	5	mptexd 7175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) ∈ V)
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) ∈ V)
71		funmpt 6530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
73	63, 65, 23, 31, 66	suppssov1 8144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) supp (1r‘𝑆)) ⊆ (𝑏 supp 0))
74	70, 55, 72, 60, 73	fsuppsssuppgd 9292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))) finSupp (1r‘𝑆))
75	32, 42, 35, 44, 6, 49, 50, 51, 52, 68, 74	gsummptfsadd 19897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿) · ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = (((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
76		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} = {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
77		mhphf.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
78		mhphf.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
79	77, 78	mhprcl 22138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
80	19, 76, 32, 33, 5, 47, 28, 79	mhphflem 43053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))) = (𝑁 ↑ 𝐿))
81	80	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ 𝐿))) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
82	40, 75, 81	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
83	82	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))) = ((𝑋‘𝑏) · ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
84		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
85		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
86		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
87	77, 84, 86, 78	mhpmpl 22139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
88	84, 85, 86, 19, 87	mplelf 21979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
89		mhphf.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
90	89	subrgbas 20560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
91	90, 26	eqsstrrd 3957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
92	24, 91	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
93	88, 92	fssd 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
94	93	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑋‘𝑏) ∈ 𝐾)
95	18, 94	sylan2 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑋‘𝑏) ∈ 𝐾)
96	32, 33, 47, 79, 28	mulgnn0cld 19069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐿) ∈ 𝐾)
97	96	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑁 ↑ 𝐿) ∈ 𝐾)
98	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ V)
99	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ CRing)
100	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
101		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
102	19, 25, 14, 33, 98, 99, 100, 101	evlsvvvallem 22074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
103	18, 102	sylan2 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
104	25, 34, 43, 95, 97, 103	crng12d 20237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
105	83, 104	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
106	105	mpteq2dva 5172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))))) = (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
107	106	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
108		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
109		ovex 7396	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
110	109	rabex 5274	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
111	110	rabex 5274	. . . . 5 ⊢ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∈ V
112	111	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∈ V)
113	45	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ Ring)
114	25, 34, 113, 94, 102	ringcld 20239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
115	18, 114	sylan2 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
116		ssrab2 4018	. . . . . 6 ⊢ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
117		mptss 6001	. . . . . 6 ⊢ ({𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ⊆ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
118	116, 117	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ⊆ (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
119	19, 84, 89, 86, 25, 14, 33, 34, 5, 13, 24, 87, 1	evlsvvvallem2 22075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) finSupp (0g‘𝑆))
120	118, 119	fsuppss 9293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) finSupp (0g‘𝑆))
121	25, 108, 34, 45, 112, 96, 115, 120	gsummulc2 20294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
122	107, 121	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
123		mhphf.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
124	25	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
125	124	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
126	25, 34	ringcl 20229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
127	45, 126	syl3an1 1169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
128	127	3expb 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
129		fconst6g 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝐾 → (𝐼 × {𝐿}):𝐼⟶𝐾)
130	28, 129	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐿}):𝐼⟶𝐾)
131		inidm 4162	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
132	128, 130, 3, 5, 5, 131	off 7645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐾)
133	125, 5, 132	elmapdd 8785	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
134	123, 77, 89, 19, 76, 25, 14, 33, 34, 13, 24, 78, 133	evlsmhpvvval 43052	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))))
135	123, 77, 89, 19, 76, 25, 14, 33, 34, 13, 24, 78, 1	evlsmhpvvval 43052	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
136	135	oveq2d 7379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋‘𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))))
137	122, 134, 136	3eqtr4d 2785	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  {csn 4562   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625   supp csupp 8107   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271  0cc0 11036  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400   Σ_g cgsu 17401  Mndcmnd 18700  ._gcmg 19041  CMndccmn 19753  mulGrpcmgp 20119  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  SubRingcsubrg 20548  ℂ_fldccnfld 21354   mPoly cmpl 21888   evalSub ces 22055   mHomP cmhp 22128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-cnfld 21355  df-assa 21835  df-asp 21836  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-evls 22057  df-mhp 22131

This theorem is referenced by:  mhphf2  43055  mhphf3  43056