Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhphf 42584
Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function. Equivalently, an algebraic form is a homogeneous function. (An algebraic form is the function corresponding to a homogeneous polynomial, which in this case is the (𝑄𝑋) which corresponds to 𝑋). (Contributed by SN, 28-Jul-2024.) (Proof shortened by SN, 8-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mhphf.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
mhphf.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf.m · = (.r𝑆)
mhphf.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
mhphf.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf.l (𝜑𝐿𝑅)
mhphf.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
mhphf.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
mhphf (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf
Dummy variables 𝑏 𝑖 𝑘 𝑗 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhphf.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
2 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼) → 𝐴:𝐼𝐾)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:𝐼𝐾)
43ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 Fn 𝐼)
51, 4fndmexd 7927 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ V)
65adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐼 ∈ V)
7 mhphf.l . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿𝑅)
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐿𝑅)
94adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐴 Fn 𝐼)
10 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑖))
116, 8, 9, 10ofc1 7725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖) = (𝐿 · (𝐴𝑖)))
1211oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖) (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)) = ((𝑏𝑖) (𝐿 · (𝐴𝑖))))
13 mhphf.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
14 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1514crngmgp 20259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
1716ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
18 elrabi 3690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
19 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
2019psrbagf 21956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
2322ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑏𝑖) ∈ ℕ0)
24 mhphf.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
25 mhphf.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐾 = (Base‘𝑆)
2625subrgss 20589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐾)
2724, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅𝐾)
2827, 7sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿𝐾)
2928ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → 𝐿𝐾)
303adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝐴:𝐼𝐾)
3130ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → (𝐴𝑖) ∈ 𝐾)
3214, 25mgpbas 20158 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
33 mhphf.e . . . . . . . . . . . . 13 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
34 mhphf.m . . . . . . . . . . . . . 14 · = (.r𝑆)
3514, 34mgpplusg 20156 . . . . . . . . . . . . 13 · = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
3632, 33, 35mulgnn0di 19858 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd ∧ ((𝑏𝑖) ∈ ℕ0𝐿𝐾 ∧ (𝐴𝑖) ∈ 𝐾)) → ((𝑏𝑖) (𝐿 · (𝐴𝑖))) = (((𝑏𝑖) 𝐿) · ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))
3717, 23, 29, 31, 36syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖) (𝐿 · (𝐴𝑖))) = (((𝑏𝑖) 𝐿) · ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))
3812, 37eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖) (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)) = (((𝑏𝑖) 𝐿) · ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))
3938mpteq2dva 5248 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))) = (𝑖𝐼 ↦ (((𝑏𝑖) 𝐿) · ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))
4039oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))) = ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ (((𝑏𝑖) 𝐿) · ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))
41 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (1r𝑆) = (1r𝑆)
4214, 41ringidval 20201 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
4313adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑆 ∈ CRing)
4443, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
4513crngringd 20264 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
4614ringmgp 20257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
4847ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
4932, 33, 48, 23, 29mulgnn0cld 19126 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖) 𝐿) ∈ 𝐾)
5032, 33, 48, 23, 31mulgnn0cld 19126 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)) ∈ 𝐾)
51 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) 𝐿)) = (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) 𝐿)))
52 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))) = (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))
535mptexd 7244 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) 𝐿)) ∈ V)
5453adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) 𝐿)) ∈ V)
55 fvexd 6922 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (1r𝑆) ∈ V)
56 funmpt 6606 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) 𝐿))
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → Fun (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) 𝐿)))
5819psrbagfsupp 21957 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑏 finSupp 0)
5918, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑏 finSupp 0)
6059adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏 finSupp 0)
6122feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 𝑏 = (𝑖𝐼 ↦ (𝑏𝑖)))
6261oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑏 supp 0) = ((𝑖𝐼 ↦ (𝑏𝑖)) supp 0))
6362eqimsscd 4053 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖𝐼 ↦ (𝑏𝑖)) supp 0) ⊆ (𝑏 supp 0))
6432, 42, 33mulg0 19105 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐾 → (0 𝑘) = (1r𝑆))
6564adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ∧ 𝑘𝐾) → (0 𝑘) = (1r𝑆))
66 0zd 12623 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → 0 ∈ ℤ)
6763, 65, 23, 29, 66suppssov1 8221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) 𝐿)) supp (1r𝑆)) ⊆ (𝑏 supp 0))
6854, 55, 57, 60, 67fsuppsssuppgd 9420 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) 𝐿)) finSupp (1r𝑆))
695mptexd 7244 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))) ∈ V)
7069adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))) ∈ V)
71 funmpt 6606 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))
7271a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → Fun (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))
7363, 65, 23, 31, 66suppssov1 8221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))) supp (1r𝑆)) ⊆ (𝑏 supp 0))
7470, 55, 72, 60, 73fsuppsssuppgd 9420 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))) finSupp (1r𝑆))
7532, 42, 35, 44, 6, 49, 50, 51, 52, 68, 74gsummptfsadd 19957 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ (((𝑏𝑖) 𝐿) · ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))) = (((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) 𝐿))) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))
76 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} = {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
77 mhphf.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
78 mhphf.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
7977, 78mhprcl 22165 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8019, 76, 32, 33, 5, 47, 28, 79mhphflem 42583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) 𝐿))) = (𝑁 𝐿))
8180oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) 𝐿))) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))) = ((𝑁 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))
8240, 75, 813eqtrd 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))) = ((𝑁 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))
8382oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))) = ((𝑋𝑏) · ((𝑁 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))
84 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
85 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
86 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
8777, 84, 86, 78mhpmpl 22166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
8884, 85, 86, 19, 87mplelf 22036 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
89 mhphf.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
9089subrgbas 20598 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
9190, 26eqsstrrd 4035 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
9224, 91syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
9388, 92fssd 6754 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
9493ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑋𝑏) ∈ 𝐾)
9518, 94sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑋𝑏) ∈ 𝐾)
9632, 33, 47, 79, 28mulgnn0cld 19126 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 𝐿) ∈ 𝐾)
9796adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝑁 𝐿) ∈ 𝐾)
985adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ V)
9913adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ CRing)
1001adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
101 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
10219, 25, 14, 33, 98, 99, 100, 101evlsvvvallem 42548 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))) ∈ 𝐾)
10318, 102sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))) ∈ 𝐾)
10425, 34, 43, 95, 97, 103crng12d 20276 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋𝑏) · ((𝑁 𝐿) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))
10583, 104eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))
106105mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖)))))) = (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 𝐿) · ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
107106oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 𝐿) · ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))))
108 eqid 2735 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
109 ovex 7464 . . . . . . 7 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
110109rabex 5345 . . . . . 6 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
111110rabex 5345 . . . . 5 {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∈ V
112111a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∈ V)
11345adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ Ring)
11425, 34, 113, 94, 102ringcld 20277 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))) ∈ 𝐾)
11518, 114sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))) ∈ 𝐾)
116 ssrab2 4090 . . . . . 6 {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
117 mptss 6062 . . . . . 6 ({𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))) ⊆ (𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))
118116, 117mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))) ⊆ (𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))
11919, 84, 89, 86, 25, 14, 33, 34, 5, 13, 24, 87, 1evlsvvvallem2 42549 . . . . 5 (𝜑 → (𝑏 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))) finSupp (0g𝑆))
120118, 119fsuppss 9421 . . . 4 (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))) finSupp (0g𝑆))
12125, 108, 34, 45, 112, 96, 115, 120gsummulc2 20331 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑁 𝐿) · ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))) = ((𝑁 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))))
122107, 121eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))) = ((𝑁 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))))
123 mhphf.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
12425fvexi 6921 . . . . 5 𝐾 ∈ V
125124a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ V)
12625, 34ringcl 20268 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑗𝐾𝑘𝐾) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
12745, 126syl3an1 1162 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐾𝑘𝐾) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
1281273expb 1119 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → (𝑗 · 𝑘) ∈ 𝐾)
129 fconst6g 6798 . . . . . 6 (𝐿𝐾 → (𝐼 × {𝐿}):𝐼𝐾)
13028, 129syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 × {𝐿}):𝐼𝐾)
131 inidm 4235 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
132128, 130, 3, 5, 5, 131off 7715 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴):𝐼𝐾)
133125, 5, 132elmapdd 8880 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴) ∈ (𝐾m 𝐼))
134123, 77, 89, 19, 76, 25, 14, 33, 34, 13, 24, 78, 133evlsmhpvvval 42582 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)‘𝑖))))))))
135123, 77, 89, 19, 76, 25, 14, 33, 34, 13, 24, 78, 1evlsmhpvvval 42582 . . 3 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
136135oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · (𝑆 Σg (𝑏 ∈ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↦ ((𝑋𝑏) · ((mulGrp‘𝑆) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))))
137122, 134, 1363eqtr4d 2785 1 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  cima 5692  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8184  m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  Basecbs 17245  s cress 17274  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  .gcmg 19098  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586  fldccnfld 21382   mPoly cmpl 21944   evalSub ces 22114   mHomP cmhp 22151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-cnfld 21383  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-evls 22116  df-mhp 22158
This theorem is referenced by:  mhphf2  42585  mhphf3  42586
  Copyright terms: Public domain W3C validator