Theorem elnei 23237

Description: A point belongs to any of its neighborhoods. Property V_iii of [BourbakiTop1] p. I.3. (Contributed by FL, 28-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem elnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 23236	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
2	1	3adant2 1147	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
3		snssg 4754	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑃 ∈ 𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
4	3	3ad2ant2 1150	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑃 ∈ 𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
5	2, 4	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ‘cfv 6537  Topctop 23019  neicnei 23223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-top 23020  df-nei 23224

This theorem is referenced by:  gneispa  44748