MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnei 21647
Description: A point belongs to any of its neighborhoods. Property Viii of [BourbakiTop1] p. I.3. (Contributed by FL, 28-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃𝑁)

Proof of Theorem elnei
StepHypRef Expression
1 ssnei 21646 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
213adant2 1123 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
3 snssg 4709 . . 3 (𝑃𝐴 → (𝑃𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
433ad2ant2 1126 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑃𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
52, 4mpbird 258 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1079  wcel 2105  wss 3933  {csn 4557  cfv 6348  Topctop 21429  neicnei 21633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-top 21430  df-nei 21634
This theorem is referenced by:  gneispa  40358
  Copyright terms: Public domain W3C validator