Theorem elnei 22974

Description: A point belongs to any of its neighborhoods. Property V_iii of [BourbakiTop1] p. I.3. (Contributed by FL, 28-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem elnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 22973	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
2	1	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
3		snssg 4743	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑃 ∈ 𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
4	3	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑃 ∈ 𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ‘cfv 6499  Topctop 22756  neicnei 22960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-top 22757  df-nei 22961

This theorem is referenced by:  gneispa  44092