Theorem elnei 23268

Description: A point belongs to any of its neighborhoods. Property V_iii of [BourbakiTop1] p. I.3. (Contributed by FL, 28-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem elnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 23267	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
2	1	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
3		snssg 4749	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑃 ∈ 𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
4	3	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑃 ∈ 𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
5	2, 4	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃 ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  Topctop 23050  neicnei 23254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-top 23051  df-nei 23255

This theorem is referenced by:  gneispa  44876