Theorem 0nnei 23099

Description: The empty set is not a neighborhood of a nonempty set. (Contributed by FL, 18-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0nnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem 0nnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 23097	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ∅)
2		ss0b 4332	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ∅ ↔ 𝑆 = ∅)
3	1, 2	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 = ∅)
4	3	ex 414	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 = ∅))
5	4	necon3ad 2949	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
6	5	imp 408	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  ‘cfv 6489  Topctop 22880  neicnei 23084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-top 22881  df-nei 23085

This theorem is referenced by:  neifil  23867