MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nnei 23135
Description: The empty set is not a neighborhood of a nonempty set. (Contributed by FL, 18-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
0nnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem 0nnei
StepHypRef Expression
1 ssnei 23133 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ∅)
2 ss0b 4406 . . . . 5 (𝑆 ⊆ ∅ ↔ 𝑆 = ∅)
31, 2sylib 218 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 = ∅)
43ex 412 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 = ∅))
54necon3ad 2950 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
65imp 406 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wss 3962  c0 4338  cfv 6562  Topctop 22914  neicnei 23120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-top 22915  df-nei 23121
This theorem is referenced by:  neifil  23903
  Copyright terms: Public domain W3C validator