MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nnei 23015
Description: The empty set is not a neighborhood of a nonempty set. (Contributed by FL, 18-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
0nnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ βˆ… ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†))

Proof of Theorem 0nnei
StepHypRef Expression
1 ssnei 23013 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ… ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆ…)
2 ss0b 4398 . . . . 5 (𝑆 βŠ† βˆ… ↔ 𝑆 = βˆ…)
31, 2sylib 217 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ… ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ 𝑆 = βˆ…)
43ex 412 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆ… ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆ…))
54necon3ad 2950 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 β‰  βˆ… β†’ Β¬ βˆ… ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)))
65imp 406 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ βˆ… ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6548  Topctop 22794  neicnei 23000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-top 22795  df-nei 23001
This theorem is referenced by:  neifil  23783
  Copyright terms: Public domain W3C validator