Theorem 0nnei 23022

Description: The empty set is not a neighborhood of a nonempty set. (Contributed by FL, 18-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0nnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem 0nnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 23020	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ∅)
2		ss0b 4346	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ∅ ↔ 𝑆 = ∅)
3	1, 2	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 = ∅)
4	3	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 = ∅))
5	4	necon3ad 2941	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
6	5	imp 406	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  ‘cfv 6476  Topctop 22803  neicnei 23007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-top 22804  df-nei 23008

This theorem is referenced by:  neifil  23790