MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  injsubmefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem injsubmefmnd 18911
Description: The set of injective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sursubmefmnd.m 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
injsubmefmnd (𝐴𝑉 → {:𝐴1-1𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
Distinct variable group:   𝐴,
Allowed substitution hints:   𝑀()   𝑉()

Proof of Theorem injsubmefmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3483 . . . . 5 𝑥 ∈ V
2 f1eq1 6798 . . . . 5 ( = 𝑥 → (:𝐴1-1𝐴𝑥:𝐴1-1𝐴))
31, 2elab 3678 . . . 4 (𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴} ↔ 𝑥:𝐴1-1𝐴)
4 f1f 6803 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑥:𝐴𝐴)
5 sursubmefmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
75, 6elefmndbas 18887 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑥:𝐴𝐴))
84, 7imbitrrid 246 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
93, 8biimtrid 242 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴} → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
109ssrdv 3988 . 2 (𝐴𝑉 → {:𝐴1-1𝐴} ⊆ (Base‘𝑀))
115efmndid 18902 . . 3 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝑀))
12 resiexg 7935 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
13 f1oi 6885 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
14 f1of1 6846 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴)
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴)
16 f1eq1 6798 . . . 4 ( = ( I ↾ 𝐴) → (:𝐴1-1𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴))
1712, 15, 16elabd 3680 . . 3 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ {:𝐴1-1𝐴})
1811, 17eqeltrrd 2841 . 2 (𝐴𝑉 → (0g𝑀) ∈ {:𝐴1-1𝐴})
19 vex 3483 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
20 f1eq1 6798 . . . . . 6 ( = 𝑦 → (:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴))
2119, 20elab 3678 . . . . 5 (𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴} ↔ 𝑦:𝐴1-1𝐴)
223, 21anbi12i 628 . . . 4 ((𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴}) ↔ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴))
23 f1co 6814 . . . . . . 7 ((𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴) → (𝑥𝑦):𝐴1-1𝐴)
2423adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → (𝑥𝑦):𝐴1-1𝐴)
25 f1f 6803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴𝐴)
264, 25anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴) → (𝑥:𝐴𝐴𝑦:𝐴𝐴))
275, 6elefmndbas 18887 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑦:𝐴𝐴))
287, 27anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) ↔ (𝑥:𝐴𝐴𝑦:𝐴𝐴)))
2926, 28imbitrrid 246 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ((𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
3029imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
31 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g𝑀) = (+g𝑀)
325, 6, 31efmndov 18895 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3330, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3433eleq1d 2825 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴} ↔ (𝑥𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴}))
351, 19coex 7953 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦) ∈ V
36 f1eq1 6798 . . . . . . . 8 ( = (𝑥𝑦) → (:𝐴1-1𝐴 ↔ (𝑥𝑦):𝐴1-1𝐴))
3735, 36elab 3678 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴} ↔ (𝑥𝑦):𝐴1-1𝐴)
3834, 37bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴} ↔ (𝑥𝑦):𝐴1-1𝐴))
3924, 38mpbird 257 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴})
4039ex 412 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴}))
4122, 40biimtrid 242 . . 3 (𝐴𝑉 → ((𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴}) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴}))
4241ralrimivv 3199 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴}∀𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴})
435efmndmnd 18903 . . 3 (𝐴𝑉𝑀 ∈ Mnd)
44 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑀) = (0g𝑀)
456, 44, 31issubm 18817 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ({:𝐴1-1𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({:𝐴1-1𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ {:𝐴1-1𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴}∀𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴})))
4643, 45syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ({:𝐴1-1𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({:𝐴1-1𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ {:𝐴1-1𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴}∀𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴})))
4710, 18, 42, 46mpbir3and 1342 1 (𝐴𝑉 → {:𝐴1-1𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  {cab 2713  wral 3060  Vcvv 3479  wss 3950   I cid 5576  cres 5686  ccom 5688  wf 6556  1-1wf1 6557  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485  Mndcmnd 18748  SubMndcsubmnd 18796  EndoFMndcefmnd 18882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-efmnd 18883
This theorem is referenced by:  symgsubmefmnd  19417
  Copyright terms: Public domain W3C validator