MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  injsubmefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem injsubmefmnd 18814
Description: The set of injective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sursubmefmnd.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
injsubmefmnd (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Distinct variable group:   𝐴,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝑀(β„Ž)   𝑉(β„Ž)

Proof of Theorem injsubmefmnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3476 . . . . 5 π‘₯ ∈ V
2 f1eq1 6781 . . . . 5 (β„Ž = π‘₯ β†’ (β„Ž:𝐴–1-1→𝐴 ↔ π‘₯:𝐴–1-1→𝐴))
31, 2elab 3667 . . . 4 (π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ↔ π‘₯:𝐴–1-1→𝐴)
4 f1f 6786 . . . . 5 (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 β†’ π‘₯:𝐴⟢𝐴)
5 sursubmefmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
6 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
75, 6elefmndbas 18790 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ π‘₯:𝐴⟢𝐴))
84, 7imbitrrid 245 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
93, 8biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
109ssrdv 3987 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
115efmndid 18805 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) = (0gβ€˜π‘€))
12 resiexg 7907 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ V)
13 f1oi 6870 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
14 f1of1 6831 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴)
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴)
16 f1eq1 6781 . . . 4 (β„Ž = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (β„Ž:𝐴–1-1→𝐴 ↔ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴))
1712, 15, 16elabd 3670 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})
1811, 17eqeltrrd 2832 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})
19 vex 3476 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
20 f1eq1 6781 . . . . . 6 (β„Ž = 𝑦 β†’ (β„Ž:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴))
2119, 20elab 3667 . . . . 5 (𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ↔ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)
223, 21anbi12i 625 . . . 4 ((π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}) ↔ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴))
23 f1co 6798 . . . . . . 7 ((π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–1-1→𝐴)
2423adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–1-1→𝐴)
25 f1f 6786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦:𝐴–1-1→𝐴 β†’ 𝑦:𝐴⟢𝐴)
264, 25anim12i 611 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴) β†’ (π‘₯:𝐴⟢𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟢𝐴))
275, 6elefmndbas 18790 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑦:𝐴⟢𝐴))
287, 27anbi12d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) ↔ (π‘₯:𝐴⟢𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟢𝐴)))
2926, 28imbitrrid 245 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€))))
3029imp 405 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
31 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
325, 6, 31efmndov 18798 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ∘ 𝑦))
3330, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ∘ 𝑦))
3433eleq1d 2816 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}))
351, 19coex 7923 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ V
36 f1eq1 6781 . . . . . . . 8 (β„Ž = (π‘₯ ∘ 𝑦) β†’ (β„Ž:𝐴–1-1→𝐴 ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–1-1→𝐴))
3735, 36elab 3667 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–1-1→𝐴)
3834, 37bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–1-1→𝐴))
3924, 38mpbird 256 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})
4039ex 411 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}))
4122, 40biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}))
4241ralrimivv 3196 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})
435efmndmnd 18806 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
44 eqid 2730 . . . 4 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
456, 44, 31issubm 18720 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})))
4643, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})))
4710, 18, 42, 46mpbir3and 1340 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   I cid 5572   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18704  EndoFMndcefmnd 18785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-efmnd 18786
This theorem is referenced by:  symgsubmefmnd  19307
  Copyright terms: Public domain W3C validator