MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  injsubmefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem injsubmefmnd 18708
Description: The set of injective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sursubmefmnd.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
injsubmefmnd (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Distinct variable group:   𝐴,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝑀(β„Ž)   𝑉(β„Ž)

Proof of Theorem injsubmefmnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3450 . . . . 5 π‘₯ ∈ V
2 f1eq1 6734 . . . . 5 (β„Ž = π‘₯ β†’ (β„Ž:𝐴–1-1→𝐴 ↔ π‘₯:𝐴–1-1→𝐴))
31, 2elab 3631 . . . 4 (π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ↔ π‘₯:𝐴–1-1→𝐴)
4 f1f 6739 . . . . 5 (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 β†’ π‘₯:𝐴⟢𝐴)
5 sursubmefmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
75, 6elefmndbas 18684 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ π‘₯:𝐴⟢𝐴))
84, 7syl5ibr 246 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
93, 8biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
109ssrdv 3951 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
115efmndid 18699 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) = (0gβ€˜π‘€))
12 resiexg 7852 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ V)
13 f1oi 6823 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
14 f1of1 6784 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴)
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴)
16 f1eq1 6734 . . . 4 (β„Ž = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (β„Ž:𝐴–1-1→𝐴 ↔ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴))
1712, 15, 16elabd 3634 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})
1811, 17eqeltrrd 2839 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})
19 vex 3450 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
20 f1eq1 6734 . . . . . 6 (β„Ž = 𝑦 β†’ (β„Ž:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴))
2119, 20elab 3631 . . . . 5 (𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ↔ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)
223, 21anbi12i 628 . . . 4 ((π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}) ↔ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴))
23 f1co 6751 . . . . . . 7 ((π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–1-1→𝐴)
2423adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–1-1→𝐴)
25 f1f 6739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦:𝐴–1-1→𝐴 β†’ 𝑦:𝐴⟢𝐴)
264, 25anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴) β†’ (π‘₯:𝐴⟢𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟢𝐴))
275, 6elefmndbas 18684 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑦:𝐴⟢𝐴))
287, 27anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) ↔ (π‘₯:𝐴⟢𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟢𝐴)))
2926, 28syl5ibr 246 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€))))
3029imp 408 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
31 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
325, 6, 31efmndov 18692 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ∘ 𝑦))
3330, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ∘ 𝑦))
3433eleq1d 2823 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}))
351, 19coex 7868 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ V
36 f1eq1 6734 . . . . . . . 8 (β„Ž = (π‘₯ ∘ 𝑦) β†’ (β„Ž:𝐴–1-1→𝐴 ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–1-1→𝐴))
3735, 36elab 3631 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–1-1→𝐴)
3834, 37bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–1-1→𝐴))
3924, 38mpbird 257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})
4039ex 414 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–1-1→𝐴) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}))
4122, 40biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}))
4241ralrimivv 3196 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})
435efmndmnd 18700 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
44 eqid 2737 . . . 4 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
456, 44, 31issubm 18615 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})))
4643, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴})))
4710, 18, 42, 46mpbir3and 1343 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911   I cid 5531   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  0gc0g 17322  Mndcmnd 18557  SubMndcsubmnd 18601  EndoFMndcefmnd 18679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-tset 17153  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-efmnd 18680
This theorem is referenced by:  symgsubmefmnd  19181
  Copyright terms: Public domain W3C validator