MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  injsubmefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem injsubmefmnd 18923
Description: The set of injective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sursubmefmnd.m 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
injsubmefmnd (𝐴𝑉 → {:𝐴1-1𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
Distinct variable group:   𝐴,
Allowed substitution hints:   𝑀()   𝑉()

Proof of Theorem injsubmefmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3482 . . . . 5 𝑥 ∈ V
2 f1eq1 6800 . . . . 5 ( = 𝑥 → (:𝐴1-1𝐴𝑥:𝐴1-1𝐴))
31, 2elab 3681 . . . 4 (𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴} ↔ 𝑥:𝐴1-1𝐴)
4 f1f 6805 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑥:𝐴𝐴)
5 sursubmefmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
75, 6elefmndbas 18899 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑥:𝐴𝐴))
84, 7imbitrrid 246 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
93, 8biimtrid 242 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴} → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
109ssrdv 4001 . 2 (𝐴𝑉 → {:𝐴1-1𝐴} ⊆ (Base‘𝑀))
115efmndid 18914 . . 3 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝑀))
12 resiexg 7935 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
13 f1oi 6887 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
14 f1of1 6848 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴)
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴)
16 f1eq1 6800 . . . 4 ( = ( I ↾ 𝐴) → (:𝐴1-1𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴))
1712, 15, 16elabd 3684 . . 3 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ {:𝐴1-1𝐴})
1811, 17eqeltrrd 2840 . 2 (𝐴𝑉 → (0g𝑀) ∈ {:𝐴1-1𝐴})
19 vex 3482 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
20 f1eq1 6800 . . . . . 6 ( = 𝑦 → (:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴))
2119, 20elab 3681 . . . . 5 (𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴} ↔ 𝑦:𝐴1-1𝐴)
223, 21anbi12i 628 . . . 4 ((𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴}) ↔ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴))
23 f1co 6816 . . . . . . 7 ((𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴) → (𝑥𝑦):𝐴1-1𝐴)
2423adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → (𝑥𝑦):𝐴1-1𝐴)
25 f1f 6805 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴𝐴)
264, 25anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴) → (𝑥:𝐴𝐴𝑦:𝐴𝐴))
275, 6elefmndbas 18899 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑦:𝐴𝐴))
287, 27anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) ↔ (𝑥:𝐴𝐴𝑦:𝐴𝐴)))
2926, 28imbitrrid 246 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ((𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
3029imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
31 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g𝑀) = (+g𝑀)
325, 6, 31efmndov 18907 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3330, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3433eleq1d 2824 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴} ↔ (𝑥𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴}))
351, 19coex 7953 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦) ∈ V
36 f1eq1 6800 . . . . . . . 8 ( = (𝑥𝑦) → (:𝐴1-1𝐴 ↔ (𝑥𝑦):𝐴1-1𝐴))
3735, 36elab 3681 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴} ↔ (𝑥𝑦):𝐴1-1𝐴)
3834, 37bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴} ↔ (𝑥𝑦):𝐴1-1𝐴))
3924, 38mpbird 257 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴})
4039ex 412 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑥:𝐴1-1𝐴𝑦:𝐴1-1𝐴) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴}))
4122, 40biimtrid 242 . . 3 (𝐴𝑉 → ((𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴}) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴}))
4241ralrimivv 3198 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴}∀𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴})
435efmndmnd 18915 . . 3 (𝐴𝑉𝑀 ∈ Mnd)
44 eqid 2735 . . . 4 (0g𝑀) = (0g𝑀)
456, 44, 31issubm 18829 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ({:𝐴1-1𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({:𝐴1-1𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ {:𝐴1-1𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴}∀𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴})))
4643, 45syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ({:𝐴1-1𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({:𝐴1-1𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ {:𝐴1-1𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {:𝐴1-1𝐴}∀𝑦 ∈ {:𝐴1-1𝐴} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴1-1𝐴})))
4710, 18, 42, 46mpbir3and 1341 1 (𝐴𝑉 → {:𝐴1-1𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963   I cid 5582  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  EndoFMndcefmnd 18894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-efmnd 18895
This theorem is referenced by:  symgsubmefmnd  19431
  Copyright terms: Public domain W3C validator