Theorem fimacnv 6739

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6724	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6151	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6726	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ⊆ wss 3948  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   “ cima 5679  ⟶wf 6539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-cnv 5684  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fn 6546  df-f 6547

This theorem is referenced by:  fco  6741  f1co  6799  fimacnvinrn  7073  fmpt  7111  fsuppeq  8162  fsuppeqg  8163  fin1a2lem7  10403  cnclima  22779  iscncl  22780  cnindis  22803  cncmp  22903  ptrescn  23150  qtopuni  23213  qtopcld  23224  qtopcmap  23230  ordthmeolem  23312  rnelfmlem  23463  mbfdm  25150  ismbf  25152  mbfimaicc  25155  ismbf2d  25164  ismbf3d  25178  mbfimaopn2  25181  i1fd  25205  plyeq0  25732  elrspunidl  32591  fsumcvg4  32999  zrhunitpreima  33027  imambfm  33330  carsggect  33386  dstrvprob  33539  poimirlem30  36604  dvtan  36624  smfresal  45583  cnneiima  47627