Theorem fimacnv 6567

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6552	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6015	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6554	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ⊆ wss 3866  ^◡ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552   “ cima 5554  ⟶wf 6376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-br 5054  df-opab 5116  df-xp 5557  df-cnv 5559  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-fn 6383  df-f 6384

This theorem is referenced by:  fco  6569  f1co  6627  fimacnvinrn  6892  fmpt  6927  frnsuppeq  7917  frnsuppeqg  7918  fin1a2lem7  10020  cnclima  22165  iscncl  22166  cnindis  22189  cncmp  22289  ptrescn  22536  qtopuni  22599  qtopcld  22610  qtopcmap  22616  ordthmeolem  22698  rnelfmlem  22849  mbfdm  24523  ismbf  24525  mbfimaicc  24528  ismbf2d  24537  ismbf3d  24551  mbfimaopn2  24554  i1fd  24578  plyeq0  25105  elrspunidl  31320  fsumcvg4  31614  zrhunitpreima  31640  imambfm  31941  carsggect  31997  dstrvprob  32150  poimirlem30  35544  dvtan  35564  smfresal  43994  cnneiima  45883