Theorem fimacnv 6659

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6644	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6077	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6646	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ⊆ wss 3896  ^◡ccnv 5606  dom cdm 5607  ran crn 5608   “ cima 5610  ⟶wf 6461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pr 5366

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3442  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5613  df-cnv 5615  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-fn 6468  df-f 6469

This theorem is referenced by:  fco  6661  f1co  6719  fimacnvinrn  6988  fmpt  7023  fsuppeq  8039  fsuppeqg  8040  fin1a2lem7  10241  cnclima  22499  iscncl  22500  cnindis  22523  cncmp  22623  ptrescn  22870  qtopuni  22933  qtopcld  22944  qtopcmap  22950  ordthmeolem  23032  rnelfmlem  23183  mbfdm  24870  ismbf  24872  mbfimaicc  24875  ismbf2d  24884  ismbf3d  24898  mbfimaopn2  24901  i1fd  24925  plyeq0  25452  elrspunidl  31741  fsumcvg4  32036  zrhunitpreima  32064  imambfm  32365  carsggect  32421  dstrvprob  32574  poimirlem30  35884  dvtan  35904  smfresal  44582  cnneiima  46480