MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimacnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimacnv 6834
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 5937 . . 3 (𝐹𝐵) ⊆ ran 𝐹
2 dfdm4 5762 . . . 4 dom 𝐹 = ran 𝐹
3 fdm 6518 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4 ssid 3992 . . . . 5 𝐴𝐴
53, 4eqsstrdi 4024 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹𝐴)
62, 5eqsstrrid 4019 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐴)
71, 6sstrid 3981 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) ⊆ 𝐴)
8 fimass 6551 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
9 ffun 6513 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
104, 3sseqtrrid 4023 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ dom 𝐹)
11 funimass3 6819 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
129, 10, 11syl2anc 584 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
138, 12mpbid 233 . 2 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵))
147, 13eqssd 3987 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1530  wss 3939  ccnv 5552  dom cdm 5553  ran crn 5554  cima 5556  Fun wfun 6345  wf 6347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pr 5325
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-fv 6359
This theorem is referenced by:  fimacnvinrn  6835  fmpt  6869  frnsuppeq  7836  fin1a2lem7  9820  cnclima  21795  iscncl  21796  cnindis  21819  cncmp  21919  ptrescn  22166  qtopuni  22229  qtopcld  22240  qtopcmap  22246  ordthmeolem  22328  rnelfmlem  22479  mbfdm  24145  ismbf  24147  mbfimaicc  24150  ismbf2d  24159  ismbf3d  24173  mbfimaopn2  24176  i1fd  24200  plyeq0  24719  fsumcvg4  31082  zrhunitpreima  31108  imambfm  31409  carsggect  31465  dstrvprob  31618  poimirlem30  34792  dvtan  34812  smfresal  42932
  Copyright terms: Public domain W3C validator