Theorem fimacnv 6758

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6743	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6173	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6745	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ⊆ wss 3962  ^◡ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689   “ cima 5691  ⟶wf 6558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5694  df-cnv 5696  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-fn 6565  df-f 6566

This theorem is referenced by:  fco  6760  f1co  6815  fimacnvinrn  7090  fmpt  7129  fsuppeq  8198  fsuppeqg  8199  fin1a2lem7  10443  cnclima  23291  iscncl  23292  cnindis  23315  cncmp  23415  ptrescn  23662  qtopuni  23725  qtopcld  23736  qtopcmap  23742  ordthmeolem  23824  rnelfmlem  23975  mbfdm  25674  ismbf  25676  mbfimaicc  25679  ismbf2d  25688  ismbf3d  25702  mbfimaopn2  25705  i1fd  25729  plyeq0  26264  elrspunidl  33435  fsumcvg4  33910  zrhunitpreima  33938  imambfm  34243  carsggect  34299  dstrvprob  34452  poimirlem30  37636  dvtan  37656  smfresal  46743  cnneiima  48712