Theorem fimacnv 6692

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6677	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6113	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6679	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ⊆ wss 3911  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  ⟶wf 6495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fn 6502  df-f 6503

This theorem is referenced by:  fco  6694  f1co  6749  fimacnvinrn  7025  fmpt  7064  fsuppeq  8131  fsuppeqg  8132  fin1a2lem7  10335  cnclima  23188  iscncl  23189  cnindis  23212  cncmp  23312  ptrescn  23559  qtopuni  23622  qtopcld  23633  qtopcmap  23639  ordthmeolem  23721  rnelfmlem  23872  mbfdm  25560  ismbf  25562  mbfimaicc  25565  ismbf2d  25574  ismbf3d  25588  mbfimaopn2  25591  i1fd  25615  plyeq0  26149  elrspunidl  33392  fsumcvg4  33933  zrhunitpreima  33959  imambfm  34246  carsggect  34302  dstrvprob  34456  poimirlem30  37637  dvtan  37657  smfresal  46779  cnneiima  48898