Theorem fimacnv 6728

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6713	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6149	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6715	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ⊆ wss 3905  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  ⟶wf 6532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-fn 6539  df-f 6540

This theorem is used by:  fco  6730  f1co  6787  fimacnvinrn  7066  fmpt  7105  fsuppeq  8167  fsuppeqg  8168  fin1a2lem7  10394  cnclima  23434  iscncl  23435  cnindis  23458  cncmp  23558  ptrescn  23805  qtopuni  23868  qtopcld  23879  qtopcmap  23885  ordthmeolem  23967  rnelfmlem  24118  mbfdm  25794  ismbf  25796  mbfimaicc  25799  ismbf2d  25808  ismbf3d  25822  mbfimaopn2  25825  i1fd  25849  plyeq0  26377  elrspunidl  33745  fsumcvg4  34349  zrhunitpreima  34375  imambfm  34661  carsggect  34717  dstrvprob  34871  poimirlem30  38329  dvtan  38349  smfresal  47530  cnneiima  49723