Theorem fimacnv 6690

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6675	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6116	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6677	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ⊆ wss 3889  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  ⟶wf 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fn 6501  df-f 6502

This theorem is referenced by:  fco  6692  f1co  6747  fimacnvinrn  7023  fmpt  7062  fsuppeq  8125  fsuppeqg  8126  fin1a2lem7  10328  cnclima  23233  iscncl  23234  cnindis  23257  cncmp  23357  ptrescn  23604  qtopuni  23667  qtopcld  23678  qtopcmap  23684  ordthmeolem  23766  rnelfmlem  23917  mbfdm  25593  ismbf  25595  mbfimaicc  25598  ismbf2d  25607  ismbf3d  25621  mbfimaopn2  25624  i1fd  25648  plyeq0  26176  elrspunidl  33488  fsumcvg4  34094  zrhunitpreima  34120  imambfm  34406  carsggect  34462  dstrvprob  34616  poimirlem30  37971  dvtan  37991  smfresal  47216  cnneiima  49392