Theorem fimacnv 6729

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6714	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6150	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6716	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ⊆ wss 3913  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662  ran crn 5663   “ cima 5665  ⟶wf 6533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-opab 5178  df-xp 5668  df-cnv 5670  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-fn 6540  df-f 6541

This theorem is referenced by:  fco  6731  f1co  6788  fimacnvinrn  7067  fmpt  7106  fsuppeq  8171  fsuppeqg  8172  fin1a2lem7  10390  cnclima  23394  iscncl  23395  cnindis  23418  cncmp  23518  ptrescn  23765  qtopuni  23828  qtopcld  23839  qtopcmap  23845  ordthmeolem  23927  rnelfmlem  24078  mbfdm  25754  ismbf  25756  mbfimaicc  25759  ismbf2d  25768  ismbf3d  25782  mbfimaopn2  25785  i1fd  25809  plyeq0  26337  elrspunidl  33680  fsumcvg4  34285  zrhunitpreima  34311  imambfm  34597  carsggect  34653  dstrvprob  34807  poimirlem30  38223  dvtan  38243  smfresal  47428  cnneiima  49614