Theorem fimacnv 6682

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6667	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6108	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6669	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622  ran crn 5623   “ cima 5625  ⟶wf 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-xp 5628  df-cnv 5630  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-fn 6493  df-f 6494

This theorem is referenced by:  fco  6684  f1co  6739  fimacnvinrn  7014  fmpt  7053  fsuppeq  8115  fsuppeqg  8116  fin1a2lem7  10314  cnclima  23210  iscncl  23211  cnindis  23234  cncmp  23334  ptrescn  23581  qtopuni  23644  qtopcld  23655  qtopcmap  23661  ordthmeolem  23743  rnelfmlem  23894  mbfdm  25581  ismbf  25583  mbfimaicc  25586  ismbf2d  25595  ismbf3d  25609  mbfimaopn2  25612  i1fd  25636  plyeq0  26170  elrspunidl  33458  fsumcvg4  34056  zrhunitpreima  34082  imambfm  34368  carsggect  34424  dstrvprob  34578  poimirlem30  37790  dvtan  37810  smfresal  46974  cnneiima  49104