Theorem fimacnv 6685

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6670	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6111	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6672	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ⊆ wss 3902  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  ⟶wf 6489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5631  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fn 6496  df-f 6497

This theorem is referenced by:  fco  6687  f1co  6742  fimacnvinrn  7018  fmpt  7057  fsuppeq  8119  fsuppeqg  8120  fin1a2lem7  10320  cnclima  23216  iscncl  23217  cnindis  23240  cncmp  23340  ptrescn  23587  qtopuni  23650  qtopcld  23661  qtopcmap  23667  ordthmeolem  23749  rnelfmlem  23900  mbfdm  25587  ismbf  25589  mbfimaicc  25592  ismbf2d  25601  ismbf3d  25615  mbfimaopn2  25618  i1fd  25642  plyeq0  26176  elrspunidl  33511  fsumcvg4  34109  zrhunitpreima  34135  imambfm  34421  carsggect  34477  dstrvprob  34631  poimirlem30  37853  dvtan  37873  smfresal  47099  cnneiima  49229