Theorem fimacnv 6686

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6671	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6112	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6673	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ⊆ wss 3890  ^◡ccnv 5625  dom cdm 5626  ran crn 5627   “ cima 5629  ⟶wf 6490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5632  df-cnv 5634  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-fn 6497  df-f 6498

This theorem is referenced by:  fco  6688  f1co  6743  fimacnvinrn  7019  fmpt  7058  fsuppeq  8120  fsuppeqg  8121  fin1a2lem7  10323  cnclima  23247  iscncl  23248  cnindis  23271  cncmp  23371  ptrescn  23618  qtopuni  23681  qtopcld  23692  qtopcmap  23698  ordthmeolem  23780  rnelfmlem  23931  mbfdm  25607  ismbf  25609  mbfimaicc  25612  ismbf2d  25621  ismbf3d  25635  mbfimaopn2  25638  i1fd  25662  plyeq0  26190  elrspunidl  33507  fsumcvg4  34114  zrhunitpreima  34140  imambfm  34426  carsggect  34482  dstrvprob  34636  poimirlem30  37989  dvtan  38009  smfresal  47238  cnneiima  49408