Theorem fimacnv 6673

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6658	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6099	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6660	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ⊆ wss 3897  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614  ran crn 5615   “ cima 5617  ⟶wf 6477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-fn 6484  df-f 6485

This theorem is referenced by:  fco  6675  f1co  6730  fimacnvinrn  7004  fmpt  7043  fsuppeq  8105  fsuppeqg  8106  fin1a2lem7  10297  cnclima  23183  iscncl  23184  cnindis  23207  cncmp  23307  ptrescn  23554  qtopuni  23617  qtopcld  23628  qtopcmap  23634  ordthmeolem  23716  rnelfmlem  23867  mbfdm  25554  ismbf  25556  mbfimaicc  25559  ismbf2d  25568  ismbf3d  25582  mbfimaopn2  25585  i1fd  25609  plyeq0  26143  elrspunidl  33393  fsumcvg4  33963  zrhunitpreima  33989  imambfm  34275  carsggect  34331  dstrvprob  34485  poimirlem30  37689  dvtan  37709  smfresal  46885  cnneiima  49016