Theorem fimacnv 6606

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6591	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6044	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6593	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ⊆ wss 3883  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583  ⟶wf 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-fn 6421  df-f 6422

This theorem is referenced by:  fco  6608  f1co  6666  fimacnvinrn  6931  fmpt  6966  frnsuppeq  7962  frnsuppeqg  7963  fin1a2lem7  10093  cnclima  22327  iscncl  22328  cnindis  22351  cncmp  22451  ptrescn  22698  qtopuni  22761  qtopcld  22772  qtopcmap  22778  ordthmeolem  22860  rnelfmlem  23011  mbfdm  24695  ismbf  24697  mbfimaicc  24700  ismbf2d  24709  ismbf3d  24723  mbfimaopn2  24726  i1fd  24750  plyeq0  25277  elrspunidl  31508  fsumcvg4  31802  zrhunitpreima  31828  imambfm  32129  carsggect  32185  dstrvprob  32338  poimirlem30  35734  dvtan  35754  smfresal  44209  cnneiima  46098