MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimacnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimacnv 6831
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 5933 . . 3 (𝐹𝐵) ⊆ ran 𝐹
2 dfdm4 5757 . . . 4 dom 𝐹 = ran 𝐹
3 fdm 6515 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4 ssid 3986 . . . . 5 𝐴𝐴
53, 4eqsstrdi 4018 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹𝐴)
62, 5eqsstrrid 4013 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐴)
71, 6sstrid 3975 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) ⊆ 𝐴)
8 fimass 6548 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
9 ffun 6510 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
104, 3sseqtrrid 4017 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ dom 𝐹)
11 funimass3 6816 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
129, 10, 11syl2anc 584 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
138, 12mpbid 233 . 2 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵))
147, 13eqssd 3981 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wss 3933  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cima 5551  Fun wfun 6342  wf 6344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356
This theorem is referenced by:  fimacnvinrn  6832  fmpt  6866  frnsuppeq  7831  fin1a2lem7  9816  cnclima  21804  iscncl  21805  cnindis  21828  cncmp  21928  ptrescn  22175  qtopuni  22238  qtopcld  22249  qtopcmap  22255  ordthmeolem  22337  rnelfmlem  22488  mbfdm  24154  ismbf  24156  mbfimaicc  24159  ismbf2d  24168  ismbf3d  24182  mbfimaopn2  24185  i1fd  24209  plyeq0  24728  fsumcvg4  31092  zrhunitpreima  31118  imambfm  31419  carsggect  31475  dstrvprob  31628  poimirlem30  34803  dvtan  34823  smfresal  42940
  Copyright terms: Public domain W3C validator