MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimacnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimacnv 6691
Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 frn 6676 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
2 cnvimassrndm 6105 . . 3 (ran 𝐹𝐵 → (𝐹𝐵) = dom 𝐹)
31, 2syl 17 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = dom 𝐹)
4 fdm 6678 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
53, 4eqtrd 2773 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wss 3911  ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635  cima 5637  wf 6493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-cnv 5642  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-fn 6500  df-f 6501
This theorem is referenced by:  fco  6693  f1co  6751  fimacnvinrn  7023  fmpt  7059  fsuppeq  8107  fsuppeqg  8108  fin1a2lem7  10347  cnclima  22635  iscncl  22636  cnindis  22659  cncmp  22759  ptrescn  23006  qtopuni  23069  qtopcld  23080  qtopcmap  23086  ordthmeolem  23168  rnelfmlem  23319  mbfdm  25006  ismbf  25008  mbfimaicc  25011  ismbf2d  25020  ismbf3d  25034  mbfimaopn2  25037  i1fd  25061  plyeq0  25588  elrspunidl  32251  fsumcvg4  32588  zrhunitpreima  32616  imambfm  32919  carsggect  32975  dstrvprob  33128  poimirlem30  36154  dvtan  36174  smfresal  45115  cnneiima  47035
  Copyright terms: Public domain W3C validator