Theorem fimacnv 6733

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6718	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6151	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6720	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ⊆ wss 3906  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666  ⟶wf 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-fn 6544  df-f 6545

This theorem is used by:  fco  6735  f1co  6792  fimacnvinrn  7071  fmpt  7110  fsuppeq  8178  fsuppeqg  8179  fin1a2lem7  10406  cnclima  23480  iscncl  23481  cnindis  23504  cncmp  23604  ptrescn  23852  qtopuni  23915  qtopcld  23926  qtopcmap  23932  ordthmeolem  24014  rnelfmlem  24165  mbfdm  25841  ismbf  25843  mbfimaicc  25846  ismbf2d  25855  ismbf3d  25869  mbfimaopn2  25872  i1fd  25896  plyeq0  26424  elrspunidl  33805  fsumcvg4  34409  zrhunitpreima  34435  imambfm  34722  carsggect  34778  dstrvprob  34932  poimirlem30  38363  dvtan  38383  smfresal  47580  cnneiima  49772