Theorem fimacnv 6674

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6659	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6101	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6661	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ⊆ wss 3903  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  ran crn 5620   “ cima 5622  ⟶wf 6478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093  df-opab 5155  df-xp 5625  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-fn 6485  df-f 6486

This theorem is referenced by:  fco  6676  f1co  6731  fimacnvinrn  7005  fmpt  7044  fsuppeq  8108  fsuppeqg  8109  fin1a2lem7  10300  cnclima  23153  iscncl  23154  cnindis  23177  cncmp  23277  ptrescn  23524  qtopuni  23587  qtopcld  23598  qtopcmap  23604  ordthmeolem  23686  rnelfmlem  23837  mbfdm  25525  ismbf  25527  mbfimaicc  25530  ismbf2d  25539  ismbf3d  25553  mbfimaopn2  25556  i1fd  25580  plyeq0  26114  elrspunidl  33366  fsumcvg4  33923  zrhunitpreima  33949  imambfm  34236  carsggect  34292  dstrvprob  34446  poimirlem30  37640  dvtan  37660  smfresal  46779  cnneiima  48911