Theorem fimacnv 6728

Description: The preimage of the codomain of a function is the function's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6713	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2		cnvimassrndm 6141	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
4		fdm 6715	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ⊆ wss 3926  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ran crn 5655   “ cima 5657  ⟶wf 6527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-cnv 5662  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fn 6534  df-f 6535

This theorem is referenced by:  fco  6730  f1co  6785  fimacnvinrn  7061  fmpt  7100  fsuppeq  8174  fsuppeqg  8175  fin1a2lem7  10420  cnclima  23206  iscncl  23207  cnindis  23230  cncmp  23330  ptrescn  23577  qtopuni  23640  qtopcld  23651  qtopcmap  23657  ordthmeolem  23739  rnelfmlem  23890  mbfdm  25579  ismbf  25581  mbfimaicc  25584  ismbf2d  25593  ismbf3d  25607  mbfimaopn2  25610  i1fd  25634  plyeq0  26168  elrspunidl  33443  fsumcvg4  33981  zrhunitpreima  34007  imambfm  34294  carsggect  34350  dstrvprob  34504  poimirlem30  37674  dvtan  37694  smfresal  46817  cnneiima  48891