MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimacnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimacnv 6832
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 5934 . . 3 (𝐹𝐵) ⊆ ran 𝐹
2 dfdm4 5758 . . . 4 dom 𝐹 = ran 𝐹
3 fdm 6516 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4 ssid 3988 . . . . 5 𝐴𝐴
53, 4eqsstrdi 4020 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹𝐴)
62, 5eqsstrrid 4015 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐴)
71, 6sstrid 3977 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) ⊆ 𝐴)
8 fimass 6549 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
9 ffun 6511 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
104, 3sseqtrrid 4019 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ dom 𝐹)
11 funimass3 6817 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
129, 10, 11syl2anc 584 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
138, 12mpbid 233 . 2 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵))
147, 13eqssd 3983 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wss 3935  ccnv 5548  dom cdm 5549  ran crn 5550  cima 5552  Fun wfun 6343  wf 6345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357
This theorem is referenced by:  fimacnvinrn  6833  fmpt  6867  frnsuppeq  7833  fin1a2lem7  9817  cnclima  21806  iscncl  21807  cnindis  21830  cncmp  21930  ptrescn  22177  qtopuni  22240  qtopcld  22251  qtopcmap  22257  ordthmeolem  22339  rnelfmlem  22490  mbfdm  24156  ismbf  24158  mbfimaicc  24161  ismbf2d  24170  ismbf3d  24184  mbfimaopn2  24187  i1fd  24211  plyeq0  24730  fsumcvg4  31093  zrhunitpreima  31119  imambfm  31420  carsggect  31476  dstrvprob  31629  poimirlem30  34804  dvtan  34824  smfresal  42944
  Copyright terms: Public domain W3C validator