Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdsze2lem2 33798
Description: Lemma for erdsze2 33799. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f (𝜑𝐹:𝐴1-1→ℝ)
erdsze2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2lem.n 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
erdsze2lem.l (𝜑𝑁 < (♯‘𝐴))
erdsze2lem.g (𝜑𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
erdsze2lem.i (𝜑𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺))
Assertion
Ref Expression
erdsze2lem2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem erdsze2lem2
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2lem.n . . . . 5 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
2 erdsze2.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 12454 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℕ → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
5 erdsze2.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
6 nnm1nn0 12454 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
84, 7nn0mulcld 12478 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) ∈ ℕ0)
91, 8eqeltrid 2842 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0p1nn 12452 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12 erdsze2.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴1-1→ℝ)
13 erdsze2lem.g . . . 4 (𝜑𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
14 f1co 6750 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1→ℝ ∧ 𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴) → (𝐹𝐺):(1...(𝑁 + 1))–1-1→ℝ)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):(1...(𝑁 + 1))–1-1→ℝ)
169nn0red 12474 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1716ltp1d 12085 . . . 4 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
181, 17eqbrtrrid 5141 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (𝑁 + 1))
1911, 15, 2, 5, 18erdsze 33796 . 2 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1))((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))))
20 velpw 4565 . . . 4 (𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))
21 imassrn 6024 . . . . . . . 8 (𝐺𝑡) ⊆ ran 𝐺
22 f1f 6738 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴)
2313, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴)
2423frnd 6676 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐺𝐴)
2521, 24sstrid 3955 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑡) ⊆ 𝐴)
26 erdsze2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
27 reex 11142 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
28 ssexg 5280 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2926, 27, 28sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ V)
30 elpw2g 5301 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → ((𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐺𝑡) ⊆ 𝐴))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐺𝑡) ⊆ 𝐴))
3225, 31mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴)
3332adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴)
34 vex 3449 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 ∈ V
3534f1imaen 8956 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ≈ 𝑡)
3613, 35sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ≈ 𝑡)
37 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))
39 ssfi 9117 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑡 ∈ Fin)
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑡 ∈ Fin)
41 enfii 9133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ Fin ∧ (𝐺𝑡) ≈ 𝑡) → (𝐺𝑡) ∈ Fin)
4240, 36, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ∈ Fin)
43 hashen 14247 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑡) ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐺𝑡)) = (♯‘𝑡) ↔ (𝐺𝑡) ≈ 𝑡))
4442, 40, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((♯‘(𝐺𝑡)) = (♯‘𝑡) ↔ (𝐺𝑡) ≈ 𝑡))
4536, 44mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (♯‘(𝐺𝑡)) = (♯‘𝑡))
4645breq2d 5117 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ↔ 𝑅 ≤ (♯‘𝑡)))
4746biimprd 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑅 ≤ (♯‘𝑡) → 𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡))))
48 erdsze2lem.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺))
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺))
5038adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))
51 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑥𝑡)
5250, 51sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
53 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑦𝑡)
5450, 53sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
55 isorel 7271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1)))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
5649, 52, 54, 55syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
5756biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
5857ralrimivva 3197 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
59 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑡 ∈ ℕ)
6059nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
6160ssriv 3948 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (1...(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ)
63 ltso 11235 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ
64 soss 5565 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (1...(𝑁 + 1))))
6562, 63, 64mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → < Or (1...(𝑁 + 1)))
6626adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
67 soss 5565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
6866, 63, 67mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → < Or 𝐴)
6923adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴)
70 soisores 7272 . . . . . . . . . . . 12 ((( < Or (1...(𝑁 + 1)) ∧ < Or 𝐴) ∧ (𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))) → ((𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)) ↔ ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
7165, 68, 69, 38, 70syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)) ↔ ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
7258, 71mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)))
73 isocnv 7275 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)) → (𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡))
75 isotr 7281 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))
7675ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
7774, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
78 resco 6202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) = (𝐹 ∘ (𝐺𝑡))
7978coeq1i 5815 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = ((𝐹 ∘ (𝐺𝑡)) ∘ (𝐺𝑡))
80 coass 6217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∘ (𝐺𝑡)) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)))
8179, 80eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)))
82 f1ores 6798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡):𝑡1-1-onto→(𝐺𝑡))
8313, 82sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡):𝑡1-1-onto→(𝐺𝑡))
84 f1ococnv2 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑡):𝑡1-1-onto→(𝐺𝑡) → ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = ( I ↾ (𝐺𝑡)))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = ( I ↾ (𝐺𝑡)))
8685coeq2d 5818 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡))) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (𝐺𝑡))))
87 coires1 6216 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∘ ( I ↾ (𝐺𝑡))) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡))
8886, 87eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡))) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)))
8981, 88eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)))
90 isoeq1 7262 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
92 imaco 6203 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐺) “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝐺𝑡))
93 isoeq5 7266 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐺) “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))
9591, 94bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
9677, 95sylibd 238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
9747, 96anim12d 609 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
9845breq2d 5117 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ↔ 𝑆 ≤ (♯‘𝑡)))
9998biimprd 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) → 𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡))))
100 isotr 7281 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))
101100ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
10274, 101syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
103 isoeq1 7262 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
10489, 103syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
105 isoeq5 7266 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐺) “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
10692, 105ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))
107104, 106bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
108102, 107sylibd 238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
10999, 108anim12d 609 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
11097, 109orim12d 963 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ((𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))))
111 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (♯‘𝑠) = (♯‘(𝐺𝑡)))
112111breq2d 5117 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡))))
113 reseq2 5932 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)))
114 isoeq1 7262 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
116 isoeq4 7265 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠))))
117 imaeq2 6009 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)))
118 isoeq5 7266 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
120115, 116, 1193bitrd 304 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
121112, 120anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ↔ (𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
122111breq2d 5117 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡))))
123 isoeq1 7262 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
124113, 123syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
125 isoeq4 7265 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠))))
126 isoeq5 7266 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
127117, 126syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
128124, 125, 1273bitrd 304 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
129122, 128anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ↔ (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
130121, 129orbi12d 917 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))) ↔ ((𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))))
131130rspcev 3581 . . . . 5 (((𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
13233, 110, 131syl6an 682 . . . 4 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
13320, 132sylan2b 594 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
134133rexlimdva 3152 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1))((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
13519, 134mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105   I cid 5530   Or wor 5544  ccnv 5632  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  ccom 5637  wf 6492  1-1wf1 6493  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  cen 8880  Fincfn 8883  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  ...cfz 13424  chash 14230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231
This theorem is referenced by:  erdsze2  33799
  Copyright terms: Public domain W3C validator