Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdsze2lem2 32559
 Description: Lemma for erdsze2 32560. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f (𝜑𝐹:𝐴1-1→ℝ)
erdsze2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2lem.n 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
erdsze2lem.l (𝜑𝑁 < (♯‘𝐴))
erdsze2lem.g (𝜑𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
erdsze2lem.i (𝜑𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺))
Assertion
Ref Expression
erdsze2lem2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem erdsze2lem2
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2lem.n . . . . 5 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
2 erdsze2.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 11930 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℕ → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
5 erdsze2.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
6 nnm1nn0 11930 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
84, 7nn0mulcld 11952 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) ∈ ℕ0)
91, 8eqeltrid 2897 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0p1nn 11928 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12 erdsze2.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴1-1→ℝ)
13 erdsze2lem.g . . . 4 (𝜑𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
14 f1co 6564 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1→ℝ ∧ 𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴) → (𝐹𝐺):(1...(𝑁 + 1))–1-1→ℝ)
1512, 13, 14syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):(1...(𝑁 + 1))–1-1→ℝ)
169nn0red 11948 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1716ltp1d 11563 . . . 4 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
181, 17eqbrtrrid 5069 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < (𝑁 + 1))
1911, 15, 2, 5, 18erdsze 32557 . 2 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1))((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))))
20 velpw 4505 . . . 4 (𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))
21 imassrn 5911 . . . . . . . 8 (𝐺𝑡) ⊆ ran 𝐺
22 f1f 6553 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴)
2313, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴)
2423frnd 6498 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐺𝐴)
2521, 24sstrid 3929 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑡) ⊆ 𝐴)
26 erdsze2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
27 reex 10621 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
28 ssexg 5194 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2926, 27, 28sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ V)
30 elpw2g 5214 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → ((𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐺𝑡) ⊆ 𝐴))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐺𝑡) ⊆ 𝐴))
3225, 31mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴)
3332adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴)
34 vex 3447 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 ∈ V
3534f1imaen 8558 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ≈ 𝑡)
3613, 35sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ≈ 𝑡)
37 fzfid 13340 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
38 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))
39 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑡 ∈ Fin)
4037, 38, 39syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑡 ∈ Fin)
41 enfii 8723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ Fin ∧ (𝐺𝑡) ≈ 𝑡) → (𝐺𝑡) ∈ Fin)
4240, 36, 41syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) ∈ Fin)
43 hashen 13707 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑡) ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐺𝑡)) = (♯‘𝑡) ↔ (𝐺𝑡) ≈ 𝑡))
4442, 40, 43syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((♯‘(𝐺𝑡)) = (♯‘𝑡) ↔ (𝐺𝑡) ≈ 𝑡))
4536, 44mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (♯‘(𝐺𝑡)) = (♯‘𝑡))
4645breq2d 5045 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ↔ 𝑅 ≤ (♯‘𝑡)))
4746biimprd 251 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑅 ≤ (♯‘𝑡) → 𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡))))
48 erdsze2lem.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺))
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺))
5038adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))
51 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑥𝑡)
5250, 51sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
53 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑦𝑡)
5450, 53sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → 𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
55 isorel 7062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1)))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
5649, 52, 54, 55syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
5756biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) ∧ (𝑥𝑡𝑦𝑡)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
5857ralrimivva 3159 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
59 elfznn 12935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑡 ∈ ℕ)
6059nnred 11644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
6160ssriv 3922 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (1...(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ)
63 ltso 10714 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ
64 soss 5461 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (1...(𝑁 + 1))))
6562, 63, 64mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → < Or (1...(𝑁 + 1)))
6626adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
67 soss 5461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
6866, 63, 67mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → < Or 𝐴)
6923adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴)
70 soisores 7063 . . . . . . . . . . . 12 ((( < Or (1...(𝑁 + 1)) ∧ < Or 𝐴) ∧ (𝐺:(1...(𝑁 + 1))⟶𝐴𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1)))) → ((𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)) ↔ ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
7165, 68, 69, 38, 70syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)) ↔ ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
7258, 71mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)))
73 isocnv 7066 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑡) Isom < , < (𝑡, (𝐺𝑡)) → (𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡))
75 isotr 7072 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))
7675ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
7774, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
78 resco 6074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) = (𝐹 ∘ (𝐺𝑡))
7978coeq1i 5698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = ((𝐹 ∘ (𝐺𝑡)) ∘ (𝐺𝑡))
80 coass 6089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∘ (𝐺𝑡)) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)))
8179, 80eqtri 2824 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)))
82 f1ores 6608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡):𝑡1-1-onto→(𝐺𝑡))
8313, 82sylan 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐺𝑡):𝑡1-1-onto→(𝐺𝑡))
84 f1ococnv2 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑡):𝑡1-1-onto→(𝐺𝑡) → ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = ( I ↾ (𝐺𝑡)))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = ( I ↾ (𝐺𝑡)))
8685coeq2d 5701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡))) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (𝐺𝑡))))
87 coires1 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∘ ( I ↾ (𝐺𝑡))) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡))
8886, 87eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹 ∘ ((𝐺𝑡) ∘ (𝐺𝑡))) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)))
8981, 88syl5eq 2848 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)))
90 isoeq1 7053 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
92 imaco 6075 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐺) “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝐺𝑡))
93 isoeq5 7057 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐺) “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))
9591, 94syl6bb 290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
9677, 95sylibd 242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
9747, 96anim12d 611 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
9845breq2d 5045 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ↔ 𝑆 ≤ (♯‘𝑡)))
9998biimprd 251 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) → 𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡))))
100 isotr 7072 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))
101100ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑡) Isom < , < ((𝐺𝑡), 𝑡) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
10274, 101syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
103 isoeq1 7053 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
10489, 103syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡))))
105 isoeq5 7057 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐺) “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
10692, 105ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))
107104, 106syl6bb 290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) ∘ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
108102, 107sylibd 242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)) → (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
10999, 108anim12d 611 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) → (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
11097, 109orim12d 962 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ((𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))))
111 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (♯‘𝑠) = (♯‘(𝐺𝑡)))
112111breq2d 5045 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡))))
113 reseq2 5817 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)))
114 isoeq1 7053 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
116 isoeq4 7056 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠))))
117 imaeq2 5896 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)))
118 isoeq5 7057 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
120115, 116, 1193bitrd 308 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
121112, 120anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ↔ (𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
122111breq2d 5045 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡))))
123 isoeq1 7053 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
124113, 123syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
125 isoeq4 7056 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠))))
126 isoeq5 7057 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐺𝑡)) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
127117, 126syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
128124, 125, 1273bitrd 308 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))
129122, 128anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐺𝑡) → ((𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ↔ (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡))))))
130121, 129orbi12d 916 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐺𝑡) → (((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))) ↔ ((𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))))
131130rspcev 3574 . . . . 5 (((𝐺𝑡) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑅 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘(𝐺𝑡)) ∧ (𝐹 ↾ (𝐺𝑡)) Isom < , < ((𝐺𝑡), (𝐹 “ (𝐺𝑡)))))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
13233, 110, 131syl6an 683 . . . 4 ((𝜑𝑡 ⊆ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
13320, 132sylan2b 596 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
134133rexlimdva 3246 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 + 1))((𝑅 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑡) ∧ ((𝐹𝐺) ↾ 𝑡) Isom < , < (𝑡, ((𝐹𝐺) “ 𝑡)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
13519, 134mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4500   class class class wbr 5033   I cid 5427   Or wor 5441  ◡ccnv 5522  ran crn 5524   ↾ cres 5525   “ cima 5526   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6324  –1-1→wf1 6325  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328   Isom wiso 6329  (class class class)co 7139   ≈ cen 8493  Fincfn 8496  ℝcr 10529  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ...cfz 12889  ♯chash 13690 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-hash 13691 This theorem is referenced by:  erdsze2  32560
 Copyright terms: Public domain W3C validator