Theorem domtrfil 9207

Description: Transitivity of dominance relation when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domtr 9034). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domtrfil	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domtrfil

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8979	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5708	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
3	2	anim2i 629	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
4	3	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
5		brdomi 8986	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵)
6		brdomi 8986	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐶 → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)
7		exdistrv 1988	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶))
8		19.42vv 1990	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑔∃𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)))
9		f1co 6791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝑔:𝐴–1-1→𝐵) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶)
10	9	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶)
11		f1domfi2 9197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V ∧ (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
12	11	3expa 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
13	10, 12	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
14	13	exlimivv 1965	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑔∃𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
15	8, 14	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
16	7, 15	sylan2br 607	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
17	16	3impb 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
18	6, 17	syl3an3 1183	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
19	5, 18	syl3an2 1182	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
20	4, 19	syld3an1 1437	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   ∘ ccom 5655  –1-1→wf1 6535   ≼ cdom 8971  Fincfn 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8476  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977

This theorem is used by:  domtrfi  9208  sdomdomtrfi  9216  domsdomtrfi  9217