MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtrfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtrfil 9230
Description: Transitivity of dominance relation when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domtr 9046). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
domtrfil ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domtrfil
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8990 . . . . 5 Rel ≼
21brrelex2i 5746 . . . 4 (𝐵𝐶𝐶 ∈ V)
32anim2i 617 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
433adant2 1130 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
5 brdomi 8998 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵)
6 brdomi 8998 . . . 4 (𝐵𝐶 → ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶)
7 exdistrv 1953 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶))
8 19.42vv 1955 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)))
9 f1co 6816 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1𝐶𝑔:𝐴1-1𝐵) → (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶)
109ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶) → (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶)
11 f1domfi2 9220 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
12113expa 1117 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
1310, 12sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
1413exlimivv 1930 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
158, 14sylbir 235 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
167, 15sylan2br 595 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
17163impb 1114 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
186, 17syl3an3 1164 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
195, 18syl3an2 1163 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
204, 19syld3an1 1409 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wex 1776  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  ccom 5693  1-1wf1 6560  cdom 8982  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  domtrfi  9231  sdomdomtrfi  9239  domsdomtrfi  9240
  Copyright terms: Public domain W3C validator