MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtrfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtrfil 9228
Description: Transitivity of dominance relation when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domtr 9036). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
domtrfil ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domtrfil
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8978 . . . . 5 Rel ≼
21brrelex2i 5739 . . . 4 (𝐵𝐶𝐶 ∈ V)
32anim2i 615 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
433adant2 1128 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
5 brdomi 8987 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵)
6 brdomi 8987 . . . 4 (𝐵𝐶 → ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶)
7 exdistrv 1951 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶))
8 19.42vv 1953 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)))
9 f1co 6810 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1𝐶𝑔:𝐴1-1𝐵) → (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶)
109ancoms 457 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶) → (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶)
11 f1domfi2 9218 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
12113expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
1310, 12sylan2 591 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
1413exlimivv 1927 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
158, 14sylbir 234 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
167, 15sylan2br 593 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
17163impb 1112 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
186, 17syl3an3 1162 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
195, 18syl3an2 1161 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
204, 19syld3an1 1407 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wex 1773  wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152  ccom 5686  1-1wf1 6550  cdom 8970  Fincfn 8972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7879  df-1o 8495  df-en 8973  df-dom 8974  df-fin 8976
This theorem is referenced by:  domtrfi  9229  sdomdomtrfi  9237  domsdomtrfi  9238
  Copyright terms: Public domain W3C validator