MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtrfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtrfil 9197
Description: Transitivity of dominance relation when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domtr 9005). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
domtrfil ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domtrfil
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8947 . . . . 5 Rel ≼
21brrelex2i 5726 . . . 4 (𝐵𝐶𝐶 ∈ V)
32anim2i 616 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
433adant2 1128 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
5 brdomi 8956 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵)
6 brdomi 8956 . . . 4 (𝐵𝐶 → ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶)
7 exdistrv 1951 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶))
8 19.42vv 1953 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)))
9 f1co 6793 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1𝐶𝑔:𝐴1-1𝐵) → (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶)
109ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶) → (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶)
11 f1domfi2 9187 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
12113expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
1310, 12sylan2 592 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
1413exlimivv 1927 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
158, 14sylbir 234 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
167, 15sylan2br 594 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
17163impb 1112 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
186, 17syl3an3 1162 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
195, 18syl3an2 1161 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
204, 19syld3an1 1407 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084  wex 1773  wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  ccom 5673  1-1wf1 6534  cdom 8939  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  domtrfi  9198  sdomdomtrfi  9206  domsdomtrfi  9207
  Copyright terms: Public domain W3C validator