Theorem domtrfil 9156

Description: Transitivity of dominance relation when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domtr 8978). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domtrfil	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domtrfil

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8924	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5695	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
3	2	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
4	3	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
5		brdomi 8931	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵)
6		brdomi 8931	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐶 → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)
7		exdistrv 1955	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶))
8		19.42vv 1957	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑔∃𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)))
9		f1co 6767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝑔:𝐴–1-1→𝐵) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶)
10	9	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶)
11		f1domfi2 9146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V ∧ (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
12	11	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
13	10, 12	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
14	13	exlimivv 1932	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑔∃𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
15	8, 14	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
16	7, 15	sylan2br 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
17	16	3impb 1114	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
18	6, 17	syl3an3 1165	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
19	5, 18	syl3an2 1164	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
20	4, 19	syld3an1 1412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   ∘ ccom 5642  –1-1→wf1 6508   ≼ cdom 8916  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-en 8919  df-dom 8920  df-fin 8922

This theorem is referenced by:  domtrfi  9157  sdomdomtrfi  9165  domsdomtrfi  9166