MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtrfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtrfil 9233
Description: Transitivity of dominance relation when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domtr 9048). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
domtrfil ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domtrfil
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8992 . . . . 5 Rel ≼
21brrelex2i 5741 . . . 4 (𝐵𝐶𝐶 ∈ V)
32anim2i 617 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
433adant2 1131 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
5 brdomi 9000 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵)
6 brdomi 9000 . . . 4 (𝐵𝐶 → ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶)
7 exdistrv 1954 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶))
8 19.42vv 1956 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)))
9 f1co 6814 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1𝐶𝑔:𝐴1-1𝐵) → (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶)
109ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶) → (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶)
11 f1domfi2 9223 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
12113expa 1118 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑓𝑔):𝐴1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
1310, 12sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
1413exlimivv 1931 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
158, 14sylbir 235 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
167, 15sylan2br 595 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶)) → 𝐴𝐶)
17163impb 1114 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1𝐶) → 𝐴𝐶)
186, 17syl3an3 1165 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
195, 18syl3an2 1164 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
204, 19syld3an1 1411 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wex 1778  wcel 2107  Vcvv 3479   class class class wbr 5142  ccom 5688  1-1wf1 6557  cdom 8984  Fincfn 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990
This theorem is referenced by:  domtrfi  9234  sdomdomtrfi  9242  domsdomtrfi  9243
  Copyright terms: Public domain W3C validator