Theorem domtrfil 9211

Description: Transitivity of dominance relation when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domtr 9026). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domtrfil	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domtrfil

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8970	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5716	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
3	2	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
4	3	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
5		brdomi 8978	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵)
6		brdomi 8978	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐶 → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)
7		exdistrv 1955	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶))
8		19.42vv 1957	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑔∃𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)))
9		f1co 6790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝑔:𝐴–1-1→𝐵) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶)
10	9	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶)
11		f1domfi2 9201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V ∧ (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
12	11	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
13	10, 12	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
14	13	exlimivv 1932	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑔∃𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
15	8, 14	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
16	7, 15	sylan2br 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
17	16	3impb 1114	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
18	6, 17	syl3an3 1165	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
19	5, 18	syl3an2 1164	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
20	4, 19	syld3an1 1412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   class class class wbr 5124   ∘ ccom 5663  –1-1→wf1 6533   ≼ cdom 8962  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-1o 8485  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  domtrfi  9212  sdomdomtrfi  9220  domsdomtrfi  9221