Theorem domtrfil 9245

Description: Transitivity of dominance relation when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domtr 9072). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domtrfil	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domtrfil

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 9017	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5715	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
3	2	anim2i 629	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
4	3	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V))
5		brdomi 9024	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑔 𝑔:𝐴⟶1-1𝐵)
6		brdomi 9024	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐶 → ∃𝑓 𝑓:𝐵⟶1-1𝐶)
7		exdistrv 1990	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝑓:𝐵⟶1-1𝐶) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵⟶1-1𝐶))
8		19.42vv 1992	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑔∃𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝑓:𝐵⟶1-1𝐶)) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝑓:𝐵⟶1-1𝐶)))
9		f1co 6821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐵⟶1-1𝐶 ∧ 𝑔:𝐴⟶1-1𝐵) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴⟶1-1𝐶)
10	9	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝑓:𝐵⟶1-1𝐶) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴⟶1-1𝐶)
11		f1domfi2 9235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V ∧ (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴⟶1-1𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
12	11	3expa 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴⟶1-1𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
13	10, 12	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝑓:𝐵⟶1-1𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
14	13	exlimivv 1967	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑔∃𝑓((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑔:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝑓:𝐵⟶1-1𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
15	8, 14	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝑓:𝐵⟶1-1𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
16	7, 15	sylan2br 607	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (∃𝑔 𝑔:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵⟶1-1𝐶)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
17	16	3impb 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵⟶1-1𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
18	6, 17	syl3an3 1183	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
19	5, 18	syl3an2 1182	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
20	4, 19	syld3an1 1438	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5108   ∘ ccom 5662  ⟶1-1wf1 6563   ≼ cdom 9009  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-fin 9015

This theorem is used by:  domtrfi  9246  sdomdomtrfi  9254  domsdomtrfi  9255