Theorem dominfac 10464

Description: A nonempty set that is a subset of its union is infinite. This version is proved from ax-ac 10350. See dominf 10336 for a version proved from ax-cc 10326. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
dominfac.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
dominfac	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem dominfac

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dominfac.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		neeq1 2990	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4		unieq 4867	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝐴)
5	3, 4	sseq12d 3963	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ ∪ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴))
6	2, 5	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)))
7		breq2 5093	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ω ≼ 𝑥 ↔ ω ≼ 𝐴))
8	6, 7	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → ω ≼ 𝑥) ↔ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)))
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦}) = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω)
11	9, 10, 1, 1	inf3lem6 9523	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω):ω–1-1→𝒫 𝑥)
12		vpwex 5313	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
13	12	f1dom 8896	. . 3 ⊢ ((rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω):ω–1-1→𝒫 𝑥 → ω ≼ 𝒫 𝑥)
14		pwfi 9203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
15	14	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
16		isfinite 9542	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ≺ ω)
17		isfinite 9542	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
18	15, 16, 17	3imtr3i 291	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≺ ω → 𝒫 𝑥 ≺ ω)
19	18	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω → ¬ 𝑥 ≺ ω)
20		omex 9533	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
21		domtri 10447	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V) → (ω ≼ 𝒫 𝑥 ↔ ¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω))
22	20, 12, 21	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝑥 ↔ ¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
23		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
24		domtri 10447	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (ω ≼ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≺ ω))
25	20, 23, 24	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≺ ω)
26	19, 22, 25	3imtr4i 292	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝑥 → ω ≼ 𝑥)
27	11, 13, 26	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → ω ≼ 𝑥)
28	1, 8, 27	vtocl 3511	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   ↾ cres 5616  –1-1→wf1 6478  ωcom 7796  reccrdg 8328   ≼ cdom 8867   ≺ csdm 8868  Fincfn 8869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-reg 9478  ax-inf2 9531  ax-ac2 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-ac 10007

This theorem is referenced by: (None)