MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dominfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dominfac 10610
Description: A nonempty set that is a subset of its union is infinite. This version is proved from ax-ac 10496. See dominf 10482 for a version proved from ax-cc 10472. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
dominfac.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
dominfac ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 𝐴) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem dominfac
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dominfac.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 neeq1 3000 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
4 unieq 4922 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
53, 4sseq12d 4028 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 𝑥𝐴 𝐴))
62, 5anbi12d 632 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 𝐴)))
7 breq2 5151 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (ω ≼ 𝑥 ↔ ω ≼ 𝐴))
86, 7imbi12d 344 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ω ≼ 𝑥) ↔ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 𝐴) → ω ≼ 𝐴)))
9 eqid 2734 . . . 4 (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦}) = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
10 eqid 2734 . . . 4 (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω)
119, 10, 1, 1inf3lem6 9670 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω):ω–1-1→𝒫 𝑥)
12 vpwex 5382 . . . 4 𝒫 𝑥 ∈ V
1312f1dom 9012 . . 3 ((rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω):ω–1-1→𝒫 𝑥 → ω ≼ 𝒫 𝑥)
14 pwfi 9354 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
1514biimpi 216 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
16 isfinite 9689 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ≺ ω)
17 isfinite 9689 . . . . . 6 (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
1815, 16, 173imtr3i 291 . . . . 5 (𝑥 ≺ ω → 𝒫 𝑥 ≺ ω)
1918con3i 154 . . . 4 (¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω → ¬ 𝑥 ≺ ω)
20 omex 9680 . . . . 5 ω ∈ V
21 domtri 10593 . . . . 5 ((ω ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V) → (ω ≼ 𝒫 𝑥 ↔ ¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω))
2220, 12, 21mp2an 692 . . . 4 (ω ≼ 𝒫 𝑥 ↔ ¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
23 vex 3481 . . . . 5 𝑥 ∈ V
24 domtri 10593 . . . . 5 ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (ω ≼ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≺ ω))
2520, 23, 24mp2an 692 . . . 4 (ω ≼ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≺ ω)
2619, 22, 253imtr4i 292 . . 3 (ω ≼ 𝒫 𝑥 → ω ≼ 𝑥)
2711, 13, 263syl 18 . 2 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ω ≼ 𝑥)
281, 8, 27vtocl 3557 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  {crab 3432  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604   cuni 4911   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cres 5690  1-1wf1 6559  ωcom 7886  reccrdg 8447  cdom 8981  csdm 8982  Fincfn 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-reg 9629  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-ac 10153
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator