Theorem f1oen 8921

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		f1oeng 8919	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 691	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  –1-1-onto→wf1o 6499   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-en 8896

This theorem is referenced by:  mapfien2  9324  infxpenlem  9935  dfac8alem  9951  dfac12lem2  10067  dfac12lem3  10068  r1om  10165  axcc2lem  10358  summolem3  15649  summolem2  15651  zsum  15653  prodmolem3  15868  prodmolem2  15870  zprod  15872  cpnnen  16166  eulerthlem2  16721  hashgcdeq  16729  4sqlem11  16895  gicen  19219  odhash  19515  odhash2  19516  sylow1lem2  19540  sylow2blem1  19561  znhash  21525  wlkswwlksen  29965  wlknwwlksnen  29974  eupthfi  30292  numclwwlk1lem2  30447  ballotlemfrc  34705  ballotlem8  34715  erdszelem10  35416  poimirlem4  37875  poimirlem26  37897  poimirlem27  37898  pwfi2en  43454  gricen  48285  grlicen  48377  thincciso2  49814  termcterm2  49873  aacllem  50160