Theorem f1oen 8981

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		f1oeng 8979	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  –1-1-onto→wf1o 6532   ≈ cen 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-en 8956

This theorem is used by:  mapfien2  9382  infxpenlem  10019  dfac8alem  10035  dfac12lem2  10150  dfac12lem3  10151  r1om  10248  axcc2lem  10441  summolem3  15803  summolem2  15805  zsum  15807  prodmolem3  16023  prodmolem2  16025  zprod  16027  cpnnen  16320  eulerthlem2  16876  hashgcdeq  16884  4sqlem11  17050  gicen  19408  odhash  19704  odhash2  19705  sylow1lem2  19729  sylow2blem1  19750  znhash  21774  wlkswwlksen  30351  wlknwwlksnen  30360  eupthfi  30688  numclwwlk1lem2  30843  ballotlemfrc  35041  ballotlem8  35051  erdszelem10  35782  poimirlem4  38376  poimirlem26  38398  poimirlem27  38399  pwfi2en  43941  gricen  48844  grlicen  48936  thincciso2  50384  termcterm2  50443  aacllem  50775