Theorem f1oen 8513

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		f1oeng 8511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 689	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030  –1-1-onto→wf1o 6323   ≈ cen 8489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-en 8493

This theorem is referenced by:  mapfien2  8856  infxpenlem  9424  dfac8alem  9440  dfac12lem2  9555  dfac12lem3  9556  r1om  9655  axcc2lem  9847  summolem3  15063  summolem2  15065  zsum  15067  prodmolem3  15279  prodmolem2  15281  zprod  15283  cpnnen  15574  eulerthlem2  16109  hashgcdeq  16116  4sqlem11  16281  gicen  18409  odhash  18691  odhash2  18692  sylow1lem2  18716  sylow2blem1  18737  znhash  20250  wlkswwlksen  27666  wlknwwlksnen  27675  eupthfi  27990  numclwwlk1lem2  28145  ballotlemfrc  31894  ballotlem8  31904  erdszelem10  32560  poimirlem4  35061  poimirlem26  35083  poimirlem27  35084  pwfi2en  40041  aacllem  45329