Theorem f1oen 8944

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		f1oeng 8942	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   class class class wbr 5107  –1-1-onto→wf1o 6510   ≈ cen 8915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-en 8919

This theorem is referenced by:  mapfien2  9360  infxpenlem  9966  dfac8alem  9982  dfac12lem2  10098  dfac12lem3  10099  r1om  10196  axcc2lem  10389  summolem3  15680  summolem2  15682  zsum  15684  prodmolem3  15899  prodmolem2  15901  zprod  15903  cpnnen  16197  eulerthlem2  16752  hashgcdeq  16760  4sqlem11  16926  gicen  19210  odhash  19504  odhash2  19505  sylow1lem2  19529  sylow2blem1  19550  znhash  21468  wlkswwlksen  29810  wlknwwlksnen  29819  eupthfi  30134  numclwwlk1lem2  30289  ballotlemfrc  34518  ballotlem8  34528  erdszelem10  35187  poimirlem4  37618  poimirlem26  37640  poimirlem27  37641  pwfi2en  43086  gricen  47925  grlicen  48009  thincciso2  49444  termcterm2  49503  aacllem  49790