Theorem f1oen 8975

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		f1oeng 8973	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  –1-1-onto→wf1o 6539   ≈ cen 8946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-en 8950

This theorem is used by:  mapfien2  9376  infxpenlem  10013  dfac8alem  10029  dfac12lem2  10144  dfac12lem3  10145  r1om  10242  axcc2lem  10435  summolem3  15790  summolem2  15792  zsum  15794  prodmolem3  16012  prodmolem2  16014  zprod  16016  cpnnen  16309  eulerthlem2  16865  hashgcdeq  16873  4sqlem11  17039  gicen  19394  odhash  19690  odhash2  19691  sylow1lem2  19715  sylow2blem1  19736  znhash  21760  wlkswwlksen  30298  wlknwwlksnen  30307  eupthfi  30629  numclwwlk1lem2  30784  ballotlemfrc  34984  ballotlem8  34994  erdszelem10  35731  poimirlem4  38334  poimirlem26  38356  poimirlem27  38357  pwfi2en  43884  gricen  48750  grlicen  48842  thincciso2  50292  termcterm2  50351  aacllem  50680