Theorem f1oen 8999

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		f1oeng 8997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  –1-1-onto→wf1o 6537   ≈ cen 8970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-en 8974

This theorem is used by:  mapfien2  9401  infxpenlem  10092  dfac8alem  10108  dfac12lem2  10223  dfac12lem3  10224  hfom  10321  axcc2lem  10514  summolem3  15880  summolem2  15882  zsum  15884  prodmolem3  16100  prodmolem2  16102  zprod  16104  cpnnen  16397  eulerthlem2  16959  hashgcdeq  16967  4sqlem11  17133  gicen  19492  odhash  19788  odhash2  19789  sylow1lem2  19813  sylow2blem1  19834  znhash  21864  wlkswwlksen  30469  wlknwwlksnen  30478  eupthfi  30806  numclwwlk1lem2  30961  ballotlemfrc  35159  ballotlem8  35169  erdszelem10  35965  poimirlem4  38543  poimirlem26  38565  poimirlem27  38566  pwfi2en  44099  gricen  49023  grlicen  49115  thincciso2  50563  termcterm2  50622  aacllem  50939