Theorem f1oen 9037

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		f1oeng 9035	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ⟶1-1ontowf1o 6565   ≈ cen 9008

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-en 9012

This theorem is used by:  mapfien2  9438  infxpenlem  10131  dfac8alem  10147  dfac12lem2  10262  dfac12lem3  10263  hfom  10360  axcc2lem  10553  summolem3  15924  summolem2  15926  zsum  15928  prodmolem3  16144  prodmolem2  16146  zprod  16148  cpnnen  16441  eulerthlem2  17003  hashgcdeq  17011  4sqlem11  17177  gicen  19543  odhash  19839  odhash2  19840  sylow1lem2  19864  sylow2blem1  19885  znhash  21919  wlkswwlksen  30526  wlknwwlksnen  30535  eupthfi  30863  numclwwlk1lem2  31018  ballotlemfrc  35270  ballotlem8  35280  erdszelem10  36173  poimirlem4  38810  poimirlem26  38832  poimirlem27  38833  pwfi2en  44365  gricen  49296  grlicen  49388  thincciso2  50921  termcterm2  50980  aacllem  51367