Theorem f1oen 8981

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		f1oeng 8979	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457   class class class wbr 5116  –1-1-onto→wf1o 6526   ≈ cen 8950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-id 5545  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-en 8954

This theorem is referenced by:  mapfien2  9415  infxpenlem  10019  dfac8alem  10035  dfac12lem2  10151  dfac12lem3  10152  r1om  10249  axcc2lem  10442  summolem3  15717  summolem2  15719  zsum  15721  prodmolem3  15936  prodmolem2  15938  zprod  15940  cpnnen  16232  eulerthlem2  16786  hashgcdeq  16794  4sqlem11  16960  gicen  19246  odhash  19540  odhash2  19541  sylow1lem2  19565  sylow2blem1  19586  znhash  21504  wlkswwlksen  29794  wlknwwlksnen  29803  eupthfi  30118  numclwwlk1lem2  30273  ballotlemfrc  34467  ballotlem8  34477  erdszelem10  35143  poimirlem4  37569  poimirlem26  37591  poimirlem27  37592  pwfi2en  43046  gricen  47839  grlicen  47922  thincciso2  49128  termcterm2  49184  aacllem  49385