Theorem f1oen 9010

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		f1oeng 9008	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   class class class wbr 5105  –1-1-onto→wf1o 6545   ≈ cen 8981

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-en 8985

This theorem is used by:  mapfien2  9411  infxpenlem  10102  dfac8alem  10118  dfac12lem2  10233  dfac12lem3  10234  hfom  10331  axcc2lem  10524  summolem3  15892  summolem2  15894  zsum  15896  prodmolem3  16112  prodmolem2  16114  zprod  16116  cpnnen  16409  eulerthlem2  16971  hashgcdeq  16979  4sqlem11  17145  gicen  19504  odhash  19800  odhash2  19801  sylow1lem2  19825  sylow2blem1  19846  znhash  21876  wlkswwlksen  30481  wlknwwlksnen  30490  eupthfi  30818  numclwwlk1lem2  30973  ballotlemfrc  35212  ballotlem8  35222  erdszelem10  36086  poimirlem4  38682  poimirlem26  38704  poimirlem27  38705  pwfi2en  44239  gricen  49162  grlicen  49254  thincciso2  50729  termcterm2  50788  aacllem  51153