Theorem f1oen 8999

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		f1oeng 8997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  –1-1-onto→wf1o 6537   ≈ cen 8970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-en 8974

This theorem is used by:  mapfien2  9401  infxpenlem  10092  dfac8alem  10108  dfac12lem2  10223  dfac12lem3  10224  hfom  10321  axcc2lem  10514  summolem3  15880  summolem2  15882  zsum  15884  prodmolem3  16100  prodmolem2  16102  zprod  16104  cpnnen  16397  eulerthlem2  16959  hashgcdeq  16967  4sqlem11  17133  gicen  19492  odhash  19788  odhash2  19789  sylow1lem2  19813  sylow2blem1  19834  znhash  21864  wlkswwlksen  30469  wlknwwlksnen  30478  eupthfi  30806  numclwwlk1lem2  30961  ballotlemfrc  35159  ballotlem8  35169  erdszelem10  35965  poimirlem4  38542  poimirlem26  38564  poimirlem27  38565  pwfi2en  44098  gricen  49022  grlicen  49114  thincciso2  50562  termcterm2  50621  aacllem  50938