MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oen 8517
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oen.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
f1oen (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oen
StepHypRef Expression
1 f1oen.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 f1oeng 8515 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
31, 2mpan 689 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114  Vcvv 3469   class class class wbr 5042  1-1-ontowf1o 6333  cen 8493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-en 8497
This theorem is referenced by:  mapfien2  8860  infxpenlem  9428  dfac8alem  9444  dfac12lem2  9559  dfac12lem3  9560  r1om  9655  axcc2lem  9847  summolem3  15062  summolem2  15064  zsum  15066  prodmolem3  15278  prodmolem2  15280  zprod  15282  cpnnen  15573  eulerthlem2  16108  hashgcdeq  16115  4sqlem11  16280  gicen  18408  odhash  18690  odhash2  18691  sylow1lem2  18715  sylow2blem1  18736  znhash  20248  wlkswwlksen  27664  wlknwwlksnen  27673  eupthfi  27988  numclwwlk1lem2  28143  ballotlemfrc  31858  ballotlem8  31868  erdszelem10  32521  poimirlem4  35020  poimirlem26  35042  poimirlem27  35043  pwfi2en  39972  aacllem  45269
  Copyright terms: Public domain W3C validator