MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcoi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcoi2 6718
Description: Composition of restricted identity and a mapping. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fcoi2 (𝐹:𝐴𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem fcoi2
StepHypRef Expression
1 df-f 6501 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹𝐵))
2 cores 6202 . . 3 (ran 𝐹𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = ( I ∘ 𝐹))
3 fnrel 6605 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
4 coi2 6216 . . . 4 (Rel 𝐹 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
53, 4syl 17 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
62, 5sylan9eqr 2799 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)
71, 6sylbi 216 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wss 3911   I cid 5531  ran crn 5635  cres 5636  ccom 5638  Rel wrel 5639   Fn wfn 6492  wf 6493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501
This theorem is referenced by:  fcof1oinvd  7240  mapen  9086  mapfien  9345  hashfacen  14352  hashfacenOLD  14353  cofulid  17777  setccatid  17971  estrccatid  18020  efmndid  18699  efmndmnd  18700  symggrp  19183  f1omvdco2  19231  symggen  19253  psgnunilem1  19276  gsumval3  19685  gsumzf1o  19690  frgpcyg  20983  f1linds  21234  qtophmeo  23171  motgrp  27488  hoico2  30702  fcoinver  31528  fcobij  31642  symgfcoeu  31936  symgcom  31937  pmtrcnel2  31944  cycpmconjs  32008  subfacp1lem5  33781  ltrncoidN  38594  trlcoat  39189  trlcone  39194  cdlemg47a  39200  cdlemg47  39202  trljco  39206  tgrpgrplem  39215  tendo1mul  39236  tendo0pl  39257  cdlemkid2  39390  cdlemk45  39413  cdlemk53b  39422  erng1r  39461  tendocnv  39487  dvalveclem  39491  dva0g  39493  dvhgrp  39573  dvhlveclem  39574  dvh0g  39577  cdlemn8  39670  dihordlem7b  39681  dihopelvalcpre  39714  mendring  41522  rngccatidALTV  46294  ringccatidALTV  46357
  Copyright terms: Public domain W3C validator