Theorem fcoi2 6572

Description: Composition of restricted identity and a mapping. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fcoi2	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem fcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6362	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		cores 6093	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = ( I ∘ 𝐹))
3		fnrel 6458	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
4		coi2 6107	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
6	2, 5	sylan9eqr 2793	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)
7	1, 6	sylbi 220	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ⊆ wss 3853   I cid 5439  ran crn 5537   ↾ cres 5538   ∘ ccom 5540  Rel wrel 5541   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362

This theorem is referenced by:  fcof1oinvd  7081  mapen  8788  mapfien  9002  hashfacen  13983  hashfacenOLD  13984  cofulid  17350  setccatid  17544  estrccatid  17593  efmndid  18269  efmndmnd  18270  symggrp  18746  f1omvdco2  18794  symggen  18816  psgnunilem1  18839  gsumval3  19246  gsumzf1o  19251  frgpcyg  20492  f1linds  20741  qtophmeo  22668  motgrp  26588  hoico2  29792  fcoinver  30619  fcobij  30731  symgfcoeu  31024  symgcom  31025  pmtrcnel2  31032  cycpmconjs  31096  subfacp1lem5  32813  ltrncoidN  37828  trlcoat  38423  trlcone  38428  cdlemg47a  38434  cdlemg47  38436  trljco  38440  tgrpgrplem  38449  tendo1mul  38470  tendo0pl  38491  cdlemkid2  38624  cdlemk45  38647  cdlemk53b  38656  erng1r  38695  tendocnv  38721  dvalveclem  38725  dva0g  38727  dvhgrp  38807  dvhlveclem  38808  dvh0g  38811  cdlemn8  38904  dihordlem7b  38915  dihopelvalcpre  38948  mendring  40661  rngccatidALTV  45163  ringccatidALTV  45226