Theorem fcoi2 6749

Description: Composition of restricted identity and a mapping. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fcoi2	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem fcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6535	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		cores 6243	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = ( I ∘ 𝐹))
3		fnrel 6633	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
4		coi2 6258	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
6	2, 5	sylan9eqr 2818	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)
7	1, 6	sylbi 220	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ⊆ wss 3899   I cid 5545  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  Rel wrel 5656   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535

This theorem is used by:  fcof1oinvd  7293  mapen  9144  mapfien  9384  hashfacen  14579  cofulid  18045  setccatid  18239  estrccatid  18286  efmndid  19064  efmndmnd  19065  symggrp  19594  f1omvdco2  19642  symggen  19664  psgnunilem1  19687  gsumval3  20101  gsumzf1o  20106  frgpcyg  21859  f1linds  22111  qtophmeo  24116  motgrp  28988  hoico2  32341  fcoinver  33180  fcobij  33294  fcobijfs2  33296  symgfcoeu  33625  symgcom  33626  pmtrcnel2  33633  cycpmconjs  33699  subfacp1lem5  35918  ltrncoidN  41153  trlcoat  41748  trlcone  41753  cdlemg47a  41759  cdlemg47  41761  trljco  41765  tgrpgrplem  41774  tendo1mul  41795  tendo0pl  41816  cdlemkid2  41949  cdlemk45  41972  cdlemk53b  41981  erng1r  42020  tendocnv  42046  dvalveclem  42050  dva0g  42052  dvhgrp  42132  dvhlveclem  42133  dvh0g  42136  cdlemn8  42229  dihordlem7b  42240  dihopelvalcpre  42273  aks6d1c6lem5  43195  mendring  44148  rngccatidALTV  49313  ringccatidALTV  49347