Theorem fcoi2 6715

Description: Composition of restricted identity and a mapping. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fcoi2	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem fcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6502	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		cores 6213	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = ( I ∘ 𝐹))
3		fnrel 6600	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
4		coi2 6228	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
6	2, 5	sylan9eqr 2793	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)
7	1, 6	sylbi 217	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ⊆ wss 3889   I cid 5525  ran crn 5632   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  Rel wrel 5636   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502

This theorem is referenced by:  fcof1oinvd  7248  mapen  9079  mapfien  9321  hashfacen  14416  cofulid  17857  setccatid  18051  estrccatid  18098  efmndid  18856  efmndmnd  18857  symggrp  19375  f1omvdco2  19423  symggen  19445  psgnunilem1  19468  gsumval3  19882  gsumzf1o  19887  frgpcyg  21553  f1linds  21805  qtophmeo  23782  motgrp  28611  hoico2  31828  fcoinver  32674  fcobij  32793  fcobijfs2  32795  symgfcoeu  33143  symgcom  33144  pmtrcnel2  33151  cycpmconjs  33217  subfacp1lem5  35366  ltrncoidN  40574  trlcoat  41169  trlcone  41174  cdlemg47a  41180  cdlemg47  41182  trljco  41186  tgrpgrplem  41195  tendo1mul  41216  tendo0pl  41237  cdlemkid2  41370  cdlemk45  41393  cdlemk53b  41402  erng1r  41441  tendocnv  41467  dvalveclem  41471  dva0g  41473  dvhgrp  41553  dvhlveclem  41554  dvh0g  41557  cdlemn8  41650  dihordlem7b  41661  dihopelvalcpre  41694  aks6d1c6lem5  42616  mendring  43616  rngccatidALTV  48748  ringccatidALTV  48782