Theorem fcoi2 6735

Description: Composition of restricted identity and a mapping. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fcoi2	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem fcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6521	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		cores 6232	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = ( I ∘ 𝐹))
3		fnrel 6619	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
4		coi2 6247	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
6	2, 5	sylan9eqr 2818	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)
7	1, 6	sylbi 219	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ⊆ wss 3904   I cid 5539  ran crn 5646   ↾ cres 5647   ∘ ccom 5649  Rel wrel 5650   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521

This theorem is referenced by:  fcof1oinvd  7273  mapen  9109  mapfien  9351  hashfacen  14464  cofulid  17906  setccatid  18100  estrccatid  18147  efmndid  18905  efmndmnd  18906  symggrp  19423  f1omvdco2  19471  symggen  19493  psgnunilem1  19516  gsumval3  19930  gsumzf1o  19935  frgpcyg  21605  f1linds  21857  qtophmeo  23857  motgrp  28689  hoico2  31906  fcoinver  32753  fcobij  32872  fcobijfs2  32874  symgfcoeu  33223  symgcom  33224  pmtrcnel2  33231  cycpmconjs  33297  subfacp1lem5  35498  ltrncoidN  40716  trlcoat  41311  trlcone  41316  cdlemg47a  41322  cdlemg47  41324  trljco  41328  tgrpgrplem  41337  tendo1mul  41358  tendo0pl  41379  cdlemkid2  41512  cdlemk45  41535  cdlemk53b  41544  erng1r  41583  tendocnv  41609  dvalveclem  41613  dva0g  41615  dvhgrp  41695  dvhlveclem  41696  dvh0g  41699  cdlemn8  41792  dihordlem7b  41803  dihopelvalcpre  41836  aks6d1c6lem5  42758  mendring  43729  rngccatidALTV  48858  ringccatidALTV  48892