Theorem fcoi2 6763

Description: Composition of restricted identity and a mapping. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fcoi2	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem fcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6544	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		cores 6245	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = ( I ∘ 𝐹))
3		fnrel 6648	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
4		coi2 6259	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
6	2, 5	sylan9eqr 2794	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)
7	1, 6	sylbi 216	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ⊆ wss 3947   I cid 5572  ran crn 5676   ↾ cres 5677   ∘ ccom 5679  Rel wrel 5680   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544

This theorem is referenced by:  fcof1oinvd  7287  mapen  9137  mapfien  9399  hashfacen  14409  hashfacenOLD  14410  cofulid  17836  setccatid  18030  estrccatid  18079  efmndid  18765  efmndmnd  18766  symggrp  19262  f1omvdco2  19310  symggen  19332  psgnunilem1  19355  gsumval3  19769  gsumzf1o  19774  frgpcyg  21120  f1linds  21371  qtophmeo  23312  motgrp  27783  hoico2  30997  fcoinver  31822  fcobij  31934  symgfcoeu  32230  symgcom  32231  pmtrcnel2  32238  cycpmconjs  32302  subfacp1lem5  34163  ltrncoidN  38987  trlcoat  39582  trlcone  39587  cdlemg47a  39593  cdlemg47  39595  trljco  39599  tgrpgrplem  39608  tendo1mul  39629  tendo0pl  39650  cdlemkid2  39783  cdlemk45  39806  cdlemk53b  39815  erng1r  39854  tendocnv  39880  dvalveclem  39884  dva0g  39886  dvhgrp  39966  dvhlveclem  39967  dvh0g  39970  cdlemn8  40063  dihordlem7b  40074  dihopelvalcpre  40107  mendring  41919  rngccatidALTV  46840  ringccatidALTV  46903