Theorem f1ococnv1 6846

Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv1	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem f1ococnv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1orel 6820	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 6178	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
4	3	coeq2d 5842	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ ◡◡𝐹) = (◡𝐹 ∘ 𝐹))
5		f1ocnv 6829	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
6		f1ococnv2 6844	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (◡𝐹 ∘ ◡◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ ◡◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
8	4, 7	eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   I cid 5547  ^◡ccnv 5653   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  Rel wrel 5659  –1-1-onto→wf1o 6529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537

This theorem is referenced by:  f1cocnv1  6847  f1ocnvfv1  7268  fcof1oinvd  7285  mapen  9153  mapfien  9418  hashfacen  14470  setcinv  18101  catcisolem  18121  symggrp  19379  f1omvdco2  19427  rngcinv  20595  ringcinv  20629  pf1mpf  22288  ufldom  23898  motgrp  28468  fmptco1f1o  32557  fcobij  32645  symgfcoeu  33039  pmtrcnel2  33047  cycpmconjslem1  33111  cycpmconjslem2  33112  reprpmtf1o  34604  subfacp1lem5  35152  ltrncoidN  40093  trlcoabs2N  40687  trlcoat  40688  trlcone  40693  cdlemg47  40701  tgrpgrplem  40714  tendoipl  40762  cdlemi2  40784  cdlemk2  40797  cdlemk4  40799  cdlemk8  40803  tendocnv  40986  dvhgrp  41072  cdlemn8  41169  dihopelvalcpre  41213  aks6d1c6lem5  42136  dssmap2d  43993  rngcinvALTV  48199  ringcinvALTV  48233