Theorem f1ococnv1 6861

Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv1	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem f1ococnv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1orel 6835	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 6187	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3	1, 2	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
4	3	coeq2d 5861	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ ◡◡𝐹) = (◡𝐹 ∘ 𝐹))
5		f1ocnv 6844	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
6		f1ococnv2 6859	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (◡𝐹 ∘ ◡◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ ◡◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
8	4, 7	eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   I cid 5572  ^◡ccnv 5674   ↾ cres 5677   ∘ ccom 5679  Rel wrel 5680  –1-1-onto→wf1o 6541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549

This theorem is referenced by:  f1cocnv1  6862  f1ocnvfv1  7276  fcof1oinvd  7293  mapen  9143  mapfien  9405  hashfacen  14417  hashfacenOLD  14418  setcinv  18044  catcisolem  18064  symggrp  19309  f1omvdco2  19357  pf1mpf  22091  ufldom  23686  motgrp  28061  fmptco1f1o  32124  fcobij  32214  symgfcoeu  32513  pmtrcnel2  32521  cycpmconjslem1  32583  cycpmconjslem2  32584  reprpmtf1o  33936  subfacp1lem5  34473  ltrncoidN  39302  trlcoabs2N  39896  trlcoat  39897  trlcone  39902  cdlemg47  39910  tgrpgrplem  39923  tendoipl  39971  cdlemi2  39993  cdlemk2  40006  cdlemk4  40008  cdlemk8  40012  tendocnv  40195  dvhgrp  40281  cdlemn8  40378  dihopelvalcpre  40422  dssmap2d  43075  rngcinv  46967  rngcinvALTV  46979  ringcinv  47018  ringcinvALTV  47042