Theorem f1ococnv1 6891

Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv1	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem f1ococnv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1orel 6865	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 6220	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
4	3	coeq2d 5887	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ ◡◡𝐹) = (◡𝐹 ∘ 𝐹))
5		f1ocnv 6874	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
6		f1ococnv2 6889	. . 3 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → (◡𝐹 ∘ ◡◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ ◡◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
8	4, 7	eqtr3d 2782	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   I cid 5592  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  Rel wrel 5705  –1-1-onto→wf1o 6572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580

This theorem is referenced by:  f1cocnv1  6892  f1ocnvfv1  7312  fcof1oinvd  7329  mapen  9207  mapfien  9477  hashfacen  14503  setcinv  18157  catcisolem  18177  symggrp  19442  f1omvdco2  19490  rngcinv  20659  ringcinv  20693  pf1mpf  22377  ufldom  23991  motgrp  28569  fmptco1f1o  32652  fcobij  32736  symgfcoeu  33075  pmtrcnel2  33083  cycpmconjslem1  33147  cycpmconjslem2  33148  reprpmtf1o  34603  subfacp1lem5  35152  ltrncoidN  40085  trlcoabs2N  40679  trlcoat  40680  trlcone  40685  cdlemg47  40693  tgrpgrplem  40706  tendoipl  40754  cdlemi2  40776  cdlemk2  40789  cdlemk4  40791  cdlemk8  40795  tendocnv  40978  dvhgrp  41064  cdlemn8  41161  dihopelvalcpre  41205  aks6d1c6lem5  42134  dssmap2d  43984  rngcinvALTV  47999  ringcinvALTV  48033