MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcoi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcoi1 6593
Description: Composition of a mapping and restricted identity. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fcoi1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝐹)

Proof of Theorem fcoi1
StepHypRef Expression
1 ffn 6545 . 2 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
2 df-fn 6383 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐴))
3 eqimss 3957 . . . . 5 (dom 𝐹 = 𝐴 → dom 𝐹𝐴)
4 cnvi 6005 . . . . . . . . . 10 I = I
54reseq1i 5847 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
65cnveqi 5743 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
7 cnvresid 6459 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
86, 7eqtr2i 2766 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
98coeq2i 5729 . . . . . 6 (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (𝐹( I ↾ 𝐴))
10 cores2 6123 . . . . . 6 (dom 𝐹𝐴 → (𝐹( I ↾ 𝐴)) = (𝐹 ∘ I ))
119, 10eqtrid 2789 . . . . 5 (dom 𝐹𝐴 → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (𝐹 ∘ I ))
123, 11syl 17 . . . 4 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (𝐹 ∘ I ))
13 funrel 6397 . . . . 5 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
14 coi1 6126 . . . . 5 (Rel 𝐹 → (𝐹 ∘ I ) = 𝐹)
1513, 14syl 17 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹 ∘ I ) = 𝐹)
1612, 15sylan9eqr 2800 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐴) → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝐹)
172, 16sylbi 220 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝐹)
181, 17syl 17 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wss 3866   I cid 5454  ccnv 5550  dom cdm 5551  cres 5553  ccom 5555  Rel wrel 5556  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  wf 6376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384
This theorem is referenced by:  fcof1oinvd  7103  mapen  8810  mapfien  9024  hashfacen  14018  hashfacenOLD  14019  cofurid  17397  setccatid  17590  estrccatid  17639  curf2ndf  17755  efmndid  18315  efmndmnd  18316  f1omvdco2  18840  psgnunilem1  18885  pf1mpf  21268  pf1ind  21271  wilthlem3  25952  hoico1  29837  fmptco1f1o  30687  fcobijfs  30778  cycpmconjslem2  31141  cycpmconjs  31142  cyc3conja  31143  reprpmtf1o  32318  ltrncoidN  37879  trlcoabs2N  38473  trlcoat  38474  cdlemg47a  38485  cdlemg46  38486  trljco  38491  tendo1mulr  38522  tendo0co2  38539  cdlemi2  38570  cdlemk2  38583  cdlemk4  38585  cdlemk8  38589  cdlemk53  38708  cdlemk55a  38710  dvhopN  38867  dihopelvalcpre  38999  dihmeetlem1N  39041  dihglblem5apreN  39042  diophrw  40284  mendring  40720  rngccatidALTV  45220  ringccatidALTV  45283
  Copyright terms: Public domain W3C validator