Theorem f1ovv 7774

Description: The range of a 1-1 onto function is a set iff its domain is a set. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f1ovv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem f1ovv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6707	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		fornex 7772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
3	1, 2	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V → 𝐵 ∈ V))
4		f1of1 6699	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
5		f1dmex 7773	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6	5	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
8	3, 7	impbid 211	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  –1-1→wf1 6415  –onto→wfo 6416  –1-1-onto→wf1o 6417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  fsetsnprcnex  44436  fsetprcnexALT  44443  uspgrex  45200