MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ovv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ovv 7983
Description: The codomain/range of a 1-1 onto function is a set iff its domain is a set. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
f1ovv (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem f1ovv
StepHypRef Expression
1 f1ofo 6854 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
2 focdmex 7981 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
31, 2syl5com 31 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V → 𝐵 ∈ V))
4 f1of1 6846 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
5 f1dmex 7982 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
65ex 412 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
74, 6syl 17 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
83, 7impbid 212 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2107  Vcvv 3479  1-1wf1 6557  ontowfo 6558  1-1-ontowf1o 6559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568
This theorem is referenced by:  fsetsnprcnex  47072  fsetprcnexALT  47079  uspgrex  48071
  Copyright terms: Public domain W3C validator