Theorem f1ovv 7938

Description: The codomain/range of a 1-1 onto function is a set iff its domain is a set. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f1ovv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem f1ovv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6831	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		focdmex 7936	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
3	1, 2	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V → 𝐵 ∈ V))
4		f1of1 6823	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
5		f1dmex 7937	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6	5	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
8	3, 7	impbid 211	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  –1-1→wf1 6531  –onto→wfo 6532  –1-1-onto→wf1o 6533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542

This theorem is referenced by:  fsetsnprcnex  46311  fsetprcnexALT  46318  uspgrex  47074