Theorem f1ovv 7916

Description: The codomain/range of a 1-1 onto function is a set iff its domain is a set. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f1ovv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem f1ovv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6789	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		focdmex 7914	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
3	1, 2	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V → 𝐵 ∈ V))
4		f1of1 6781	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
5		f1dmex 7915	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6	5	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
8	3, 7	impbid 212	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  –1-1→wf1 6496  –onto→wfo 6497  –1-1-onto→wf1o 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  fsetsnprcnex  47029  fsetprcnexALT  47036  uspgrex  48111