Theorem f1ovv 7939

Description: The codomain/range of a 1-1 onto function is a set iff its domain is a set. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f1ovv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem f1ovv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6814	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		focdmex 7937	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
3	1, 2	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V → 𝐵 ∈ V))
4		f1of1 6805	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
5		f1dmex 7938	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6	5	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
8	3, 7	impbid 214	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  –1-1→wf1 6518  –onto→wfo 6519  –1-1-onto→wf1o 6520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529

This theorem is referenced by:  ordtypeon  35386  fsetsnprcnex  47649  fsetprcnexALT  47656  uspgrex  48772