MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ovv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ovv 7645
Description: The range of a 1-1 onto function is a set iff its domain is a set. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
f1ovv (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem f1ovv
StepHypRef Expression
1 f1ofo 6601 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
2 fornex 7643 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
31, 2syl5com 31 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V → 𝐵 ∈ V))
4 f1of1 6593 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
5 f1dmex 7644 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
65ex 416 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
74, 6syl 17 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
83, 7impbid 215 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2112  Vcvv 3444  1-1wf1 6325  ontowfo 6326  1-1-ontowf1o 6327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336
This theorem is referenced by:  uspgrex  44375
  Copyright terms: Public domain W3C validator