Theorem f1ovv 7911

Description: The codomain/range of a 1-1 onto function is a set iff its domain is a set. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f1ovv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem f1ovv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6787	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		focdmex 7909	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
3	1, 2	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V → 𝐵 ∈ V))
4		f1of1 6779	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
5		f1dmex 7910	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6	5	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐵 ∈ V → 𝐴 ∈ V))
8	3, 7	impbid 212	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  –1-1→wf1 6495  –onto→wfo 6496  –1-1-onto→wf1o 6497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  fsetsnprcnex  47503  fsetprcnexALT  47510  uspgrex  48626