Theorem uspgrex 47081

Description: The class 𝐺 of all "simple pseudographs" with a fixed set of vertices 𝑉 is a set. (Contributed by AV, 26-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrsprf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}

Assertion

Ref	Expression
uspgrex	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,𝑒,𝑞)

Proof of Theorem uspgrex

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrsprf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		fvex 6897	. . . 4 ⊢ (Pairs‘𝑉) ∈ V
3	2	pwex 5371	. . 3 ⊢ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2823	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ V
5		uspgrsprf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
6		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔))
7	1, 5, 6	uspgrsprf1o 47080	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)):𝐺–1-1-onto→𝑃)
8		f1ovv 7940	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)):𝐺–1-1-onto→𝑃 → (𝐺 ∈ V ↔ 𝑃 ∈ V))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ V ↔ 𝑃 ∈ V))
10	4, 9	mpbiri 258	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  Vcvv 3468  𝒫 cpw 4597  {copab 5203   ↦ cmpt 5224  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  2^nd c2nd 7970  Vtxcvtx 28760  Edgcedg 28811  USPGraphcuspgr 28912  Pairscspr 46698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-hash 14294  df-vtx 28762  df-iedg 28763  df-edg 28812  df-upgr 28846  df-uspgr 28914  df-spr 46699

This theorem is referenced by:  uspgrbispr  47082  uspgrbisymrelALT  47086