Theorem uspgrex 49074

Description: The class 𝐺 of all "simple pseudographs" with a fixed set of vertices 𝑉 is a set. (Contributed by AV, 26-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrsprf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}

Assertion

Ref	Expression
uspgrex	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣, 𝑒, 𝑞)

Proof of Theorem uspgrex

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrsprf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		fvex 6895	. . . 4 ⊢ (Pairs‘𝑉) ∈ V
3	2	pwex 5349	. . 3 ⊢ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2858	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ V
5		uspgrsprf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔))
7	1, 5, 6	uspgrsprf1o 49073	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)):𝐺–1-1-onto→𝑃)
8		f1ovv 7959	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)):𝐺–1-1-onto→𝑃 → (𝐺 ∈ V ↔ 𝑃 ∈ V))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ V ↔ 𝑃 ∈ V))
10	4, 9	mpbiri 261	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4560  {copab 5171   ↦ cmpt 5190  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  2^nd c2nd 7989  Vtxcvtx 29461  Edgcedg 29512  USPGraphcuspgr 29616  Pairscspr 48385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-hash 14399  df-vtx 29463  df-iedg 29464  df-edg 29513  df-upgr 29547  df-uspgr 29618  df-spr 48386

This theorem is used by:  uspgrbispr  49075  uspgrbisymrelALT  49079