Theorem uspgrex 47263

Description: The class 𝐺 of all "simple pseudographs" with a fixed set of vertices 𝑉 is a set. (Contributed by AV, 26-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrsprf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}

Assertion

Ref	Expression
uspgrex	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,𝑒,𝑞)

Proof of Theorem uspgrex

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrsprf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		fvex 6913	. . . 4 ⊢ (Pairs‘𝑉) ∈ V
3	2	pwex 5382	. . 3 ⊢ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2824	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ V
5		uspgrsprf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
6		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔))
7	1, 5, 6	uspgrsprf1o 47262	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)):𝐺–1-1-onto→𝑃)
8		f1ovv 7965	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)):𝐺–1-1-onto→𝑃 → (𝐺 ∈ V ↔ 𝑃 ∈ V))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ V ↔ 𝑃 ∈ V))
10	4, 9	mpbiri 257	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3066  Vcvv 3471  𝒫 cpw 4604  {copab 5212   ↦ cmpt 5233  –1-1-onto→wf1o 6550  ‘cfv 6551  2^nd c2nd 7996  Vtxcvtx 28827  Edgcedg 28878  USPGraphcuspgr 28979  Pairscspr 46819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-dju 9930  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-hash 14328  df-vtx 28829  df-iedg 28830  df-edg 28879  df-upgr 28913  df-uspgr 28981  df-spr 46820

This theorem is referenced by:  uspgrbispr  47264  uspgrbisymrelALT  47268