Theorem uspgrex 49192

Description: The class 𝐺 of all "simple pseudographs" with a fixed set of vertices 𝑉 is a set. (Contributed by AV, 26-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrsprf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}

Assertion

Ref	Expression
uspgrex	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣, 𝑒, 𝑞)

Proof of Theorem uspgrex

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrsprf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		fvex 6890	. . . 4 ⊢ (Pairs‘𝑉) ∈ V
3	2	pwex 5342	. . 3 ⊢ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2857	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ V
5		uspgrsprf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔))
7	1, 5, 6	uspgrsprf1o 49191	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)):𝐺–1-1-onto→𝑃)
8		f1ovv 7959	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)):𝐺–1-1-onto→𝑃 → (𝐺 ∈ V ↔ 𝑃 ∈ V))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ V ↔ 𝑃 ∈ V))
10	4, 9	mpbiri 261	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  Vcvv 3451  𝒫 cpw 4557  {copab 5167   ↦ cmpt 5186  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  2^nd c2nd 7989  Vtxcvtx 29556  Edgcedg 29607  USPGraphcuspgr 29711  Pairscspr 48503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-hash 14455  df-vtx 29558  df-iedg 29559  df-edg 29608  df-upgr 29642  df-uspgr 29713  df-spr 48504

This theorem is used by:  uspgrbispr  49193  uspgrbisymrelALT  49197