Theorem uspgrex 48135

Description: The class 𝐺 of all "simple pseudographs" with a fixed set of vertices 𝑉 is a set. (Contributed by AV, 26-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrsprf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}

Assertion

Ref	Expression
uspgrex	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,𝑒,𝑞)

Proof of Theorem uspgrex

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrsprf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		fvex 6839	. . . 4 ⊢ (Pairs‘𝑉) ∈ V
3	2	pwex 5322	. . 3 ⊢ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2824	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ V
5		uspgrsprf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔))
7	1, 5, 6	uspgrsprf1o 48134	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)):𝐺–1-1-onto→𝑃)
8		f1ovv 7900	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐺 ↦ (2nd ‘𝑔)):𝐺–1-1-onto→𝑃 → (𝐺 ∈ V ↔ 𝑃 ∈ V))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ V ↔ 𝑃 ∈ V))
10	4, 9	mpbiri 258	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3438  𝒫 cpw 4553  {copab 5157   ↦ cmpt 5176  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  2^nd c2nd 7930  Vtxcvtx 28959  Edgcedg 29010  USPGraphcuspgr 29111  Pairscspr 47462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256  df-vtx 28961  df-iedg 28962  df-edg 29011  df-upgr 29045  df-uspgr 29113  df-spr 47463

This theorem is referenced by:  uspgrbispr  48136  uspgrbisymrelALT  48140