Theorem focdmex 8002

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 6827	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → Fun 𝐹)
2		funrnex 8000	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∈ 𝐶 → (Fun 𝐹 → ran 𝐹 ∈ V))
3	1, 2	syl5com 32	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → (dom 𝐹 ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
4		fof 6826	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	4	fdmd 6750	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
6	5	eleq1d 2849	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → (dom 𝐹 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
7		forn 6829	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
8	7	eleq1d 2849	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
9	3, 6, 8	3imtr3d 296	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ V))
10	9	com12 33	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  dom cdm 5658  ran crn 5659  Fun wfun 6560  ⟶ontowfo 6564

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574

This theorem is used by:  f1dmex  8003  f1ovv  8004  fsetprcnex  8922  f1oeng  9035  fodomnum  10175  ttukeylem1  10626  fodomb  10644  cnexALT  13154  hasheqf1oi  14536  imasbas  17734  imasds  17735  elqtop  24071  qtoprest  24091  indishmph  24172  imasf1oxmet  24749  noprc  28199  foresf1o  33199  acwer1prc  35893  sge0f1o  47665  sge0fodjrnlem  47699