Theorem focdmex 7959

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 6797	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → Fun 𝐹)
2		funrnex 7957	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∈ 𝐶 → (Fun 𝐹 → ran 𝐹 ∈ V))
3	1, 2	syl5com 32	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝐹 ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
4		fof 6796	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	4	fdmd 6720	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
6	5	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝐹 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
7		forn 6799	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
8	7	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
9	3, 6, 8	3imtr3d 296	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ V))
10	9	com12 33	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  dom cdm 5663  ran crn 5664  Fun wfun 6534  –onto→wfo 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548

This theorem is used by:  f1dmex  7960  f1ovv  7961  fsetprcnex  8865  f1oeng  8973  fodomnum  10057  ttukeylem1  10508  fodomb  10525  cnexALT  13026  hasheqf1oi  14405  imasbas  17588  imasds  17589  elqtop  23905  qtoprest  23925  indishmph  24006  imasf1oxmet  24583  noprc  28000  foresf1o  32921  sge0f1o  47154  sge0fodjrnlem  47188