Theorem f1setex 8886

Description: The set of injections between two classes exists if the codomain exists. (Contributed by AV, 14-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1setex	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem f1setex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsetex 8885	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
2		df-f1 6548	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝑓))
3	2	abbii 2827	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝑓)}
4		abanssl 4255	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝑓)} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
5	3, 4	eqsstri 3955	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
7	1, 6	ssexd 5286	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  {cab 2738  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  ^◡ccnv 5650  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-map 8856

This theorem is used by:  hashf1lem1  14607