Theorem f1setex 8850

Description: The set of injections between two classes exists if the codomain exists. (Contributed by AV, 14-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1setex	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem f1setex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsetex 8849	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
2		df-f1 6548	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝑓))
3	2	abbii 2802	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝑓)}
4		abanssl 4301	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝑓)} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
5	3, 4	eqsstri 4016	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
7	1, 6	ssexd 5324	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  {cab 2709  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ^◡ccnv 5675  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821

This theorem is referenced by:  hashf1lem1  14414