Theorem f1setex 8838

Description: The set of injections between two classes exists if the codomain exists. (Contributed by AV, 14-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1setex	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem f1setex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsetex 8837	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
2		df-f1 6526	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝑓))
3	2	abbii 2829	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝑓)}
4		abanssl 4263	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝑓)} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
5	3, 4	eqsstri 3982	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
7	1, 6	ssexd 5280	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  {cab 2740  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ^◡ccnv 5646  Fun wfun 6515  ⟶wf 6517  –1-1→wf1 6518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-map 8810

This theorem is referenced by:  hashf1lem1  14468