MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1setex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1setex 8896
Description: The set of injections between two classes exists if the codomain exists. (Contributed by AV, 14-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1setex (𝐵𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵} ∈ V)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem f1setex
StepHypRef Expression
1 fsetex 8895 . 2 (𝐵𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
2 df-f1 6568 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝑓))
32abbii 2807 . . . 4 {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝑓)}
4 abanssl 4317 . . . 4 {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝑓)} ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐵}
53, 4eqsstri 4030 . . 3 {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵} ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐵}
65a1i 11 . 2 (𝐵𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵} ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐵})
71, 6ssexd 5330 1 (𝐵𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵} ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  {cab 2712  Vcvv 3478  wss 3963  ccnv 5688  Fun wfun 6557  wf 6559  1-1wf1 6560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867
This theorem is referenced by:  hashf1lem1  14491
  Copyright terms: Public domain W3C validator