MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1setex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1setex 8850
Description: The set of injections between two classes exists if the codomain exists. (Contributed by AV, 14-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1setex (𝐵𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵} ∈ V)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem f1setex
StepHypRef Expression
1 fsetex 8849 . 2 (𝐵𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
2 df-f1 6541 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝑓))
32abbii 2796 . . . 4 {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝑓)}
4 abanssl 4296 . . . 4 {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝑓)} ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐵}
53, 4eqsstri 4011 . . 3 {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵} ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐵}
65a1i 11 . 2 (𝐵𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵} ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐵})
71, 6ssexd 5317 1 (𝐵𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵} ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  {cab 2703  Vcvv 3468  wss 3943  ccnv 5668  Fun wfun 6530  wf 6532  1-1wf1 6533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8821
This theorem is referenced by:  hashf1lem1  14418
  Copyright terms: Public domain W3C validator