Theorem fnexd 7230

Description: If the domain of a function is a set, the function is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fnexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fnexd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fnexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		fnex 7229	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   Fn wfn 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557

This theorem is referenced by:  ofrfval  7695  ordtypelem10  9552  axdclem2  10545  rescabs  17821  elptr  23521  sticksstones3  41751  limsupequzlem  45248