Theorem fnexd 7133

Description: If the domain of a function is a set, the function is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fnexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fnexd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fnexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		fnex 7132	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   Fn wfn 6460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pr 5367

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473

This theorem is referenced by:  ofrfval  7583  ordtypelem10  9356  axdclem2  10349  rescabs  17617  elptr  22796  sticksstones3  40312  limsupequzlem  43500