Theorem fnexd 7234

Description: If the domain of a function is a set, the function is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fnexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fnexd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fnexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		fnex 7233	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   Fn wfn 6542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555

This theorem is used by:  ofrfval  7713  ordtypelem10  9534  axdclem2  10611  rescabs  18023  elptr  23907  sticksstones3  43341  limsupequzlem  46874