Theorem fnexd 7223

Description: If the domain of a function is a set, the function is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fnexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fnexd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fnexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		fnex 7222	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   Fn wfn 6535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548

This theorem is used by:  ofrfval  7694  ordtypelem10  9496  axdclem2  10519  rescabs  17914  elptr  23783  sticksstones3  42975  limsupequzlem  46496