Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupequzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupequzlem 44428
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupequzlem.1 𝑘𝜑
limsupequzlem.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzlem.4 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
limsupequzlem.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzlem.6 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
limsupequzlem.7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
limsupequzlem.8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
limsupequzlem (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem limsupequzlem
StepHypRef Expression
1 limsupequzlem.1 . . . . 5 𝑘𝜑
2 eqid 2732 . . . . . . 7 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
3 limsupequzlem.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
43adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℤ)
5 eluzelz 12831 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℤ)
65adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
73zred 12665 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ)
98rexrd 11263 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ*)
10 zssxr 44097 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ*
11 limsupequzlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 limsupequzlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
13 tpssi 4839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
1411, 12, 3, 13syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
15 xrltso 13119 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → < Or ℝ*)
17 tpfi 9322 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin)
1911tpnzd 4784 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅)
2010a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ*)
2114, 20sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)
22 fisupcl 9463 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℝ* ∧ ({𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅ ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
2316, 18, 19, 21, 22syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
2414, 23sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℤ)
2510, 24sselid 3980 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27 eluzelre 12832 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℝ)
2827adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ)
2928rexrd 11263 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
30 tpid3g 4776 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
313, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
32 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) = sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )
3321, 31, 32supxrubd 43792 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
35 eluzle 12834 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
3635adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
379, 26, 29, 34, 36xrletrd 13140 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾𝑘)
382, 4, 6, 37eluzd 44109 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
39 limsupequzlem.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
4038, 39syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
411, 40ralrimia 3255 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
42 limsupequzlem.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
43 limsupequzlem.6 . . . . 5 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
44 eqid 2732 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
45 tpid1g 4773 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
4611, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
4721, 46, 32supxrubd 43792 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
4844, 11, 24, 47eluzd 44109 . . . . . 6 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑀))
49 uzss 12844 . . . . . 6 (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑀))
51 eqid 2732 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
52 tpid2g 4775 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
5312, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
5421, 53, 32supxrubd 43792 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
5551, 12, 24, 54eluzd 44109 . . . . . 6 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑁))
56 uzss 12844 . . . . . 6 (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑁))
5755, 56syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑁))
58 fvreseq0 7039 . . . . 5 (((𝐹 Fn (ℤ𝑀) ∧ 𝐺 Fn (ℤ𝑁)) ∧ ((ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑀) ∧ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑁))) → ((𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
5942, 43, 50, 57, 58syl22anc 837 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
6041, 59mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))))
6160fveq2d 6895 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))))
62 eqid 2732 . . 3 (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) = (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
63 fvexd 6906 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑀) ∈ V)
6442, 63fnexd 7219 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
6542fndmd 6654 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = (ℤ𝑀))
66 uzssz 12842 . . . 4 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
6765, 66eqsstrdi 4036 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℤ)
6824, 62, 64, 67limsupresuz2 44415 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐹))
69 fvexd 6906 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ∈ V)
7043, 69fnexd 7219 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
7143fndmd 6654 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 = (ℤ𝑁))
72 uzssz 12842 . . . 4 (ℤ𝑁) ⊆ ℤ
7371, 72eqsstrdi 4036 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ ℤ)
7424, 62, 70, 73limsupresuz2 44415 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐺))
7561, 68, 743eqtr3d 2780 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3474  wss 3948  c0 4322  {ctp 4632   class class class wbr 5148   Or wor 5587  dom cdm 5676  cres 5678   Fn wfn 6538  cfv 6543  Fincfn 8938  supcsup 9434  cr 11108  *cxr 11246   < clt 11247  cle 11248  cz 12557  cuz 12821  lim supclsp 15413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-ico 13329  df-limsup 15414
This theorem is referenced by:  limsupequz  44429
  Copyright terms: Public domain W3C validator