Theorem limsupequzlem 46365

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzlem.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupequzlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
limsupequzlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzlem.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
limsupequzlem.7	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
limsupequzlem.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
limsupequzlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem limsupequzlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupequzlem.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
3		limsupequzlem.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		eluzelz 12874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	3	zred 12702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ*)
10		zssxr 46041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
11		limsupequzlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		limsupequzlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		tpssi 4807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
14	11, 12, 3, 13	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
15		xrltso 13168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ < Or ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
17		tpfi 9287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin)
19	11	tpnzd 4751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅)
20	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ*)
21	14, 20	sstrd 3955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)
22		fisupcl 9432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ({𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅ ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
23	16, 18, 19, 21, 22	syl13anc 1397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
24	14, 23	sseldd 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℤ)
25	10, 24	sselid 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27		eluzelre 12875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℝ)
28	27	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
30		tpid3g 4743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
31	3, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
32		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) = sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )
33	21, 31, 32	supxrubd 45760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
34	33	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
35		eluzle 12877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
36	35	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
37	9, 26, 29, 34, 36	xrletrd 13189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ 𝑘)
38	2, 4, 6, 37	eluzd 46052	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
39		limsupequzlem.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
40	38, 39	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
41	1, 40	ralrimia 3270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
42		limsupequzlem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
43		limsupequzlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
44		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
45		tpid1g 4740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
46	11, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
47	21, 46, 32	supxrubd 45760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
48	44, 11, 24, 47	eluzd 46052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49		uzss 12887	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
50	48, 49	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
51		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
52		tpid2g 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
53	12, 52	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
54	21, 53, 32	supxrubd 45760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
55	51, 12, 24, 54	eluzd 46052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
56		uzss 12887	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
57	55, 56	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
58		fvreseq0 7036	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁)) ∧ ((ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
59	42, 43, 50, 57, 58	syl22anc 851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
60	41, 59	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))))
61	60	fveq2d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))))
62		eqid 2769	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) = (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
63		fvexd 6899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
64	42, 63	fnexd 7219	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
65	42	fndmd 6643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (ℤ≥‘𝑀))
66		uzssz 12885	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
67	65, 66	eqsstrdi 3989	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℤ)
68	24, 62, 64, 67	limsupresuz2 46352	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐹))
69		fvexd 6899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ∈ V)
70	43, 69	fnexd 7219	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
71	43	fndmd 6643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (ℤ≥‘𝑁))
72		uzssz 12885	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ
73	71, 72	eqsstrdi 3989	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ ℤ)
74	24, 62, 70, 73	limsupresuz2 46352	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐺))
75	61, 68, 74	3eqtr3d 2812	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {ctp 4598   class class class wbr 5113   Or wor 5571  dom cdm 5664   ↾ cres 5666   Fn wfn 6534  ‘cfv 6539  Fincfn 8945  supcsup 9402  ℝcr 11101  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12864  lim supclsp 15523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-q 12975  df-ico 13380  df-limsup 15524

This theorem is referenced by:  limsupequz  46366