Theorem limsupequzlem 45713

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzlem.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupequzlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
limsupequzlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzlem.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
limsupequzlem.7	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
limsupequzlem.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
limsupequzlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem limsupequzlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupequzlem.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
3		limsupequzlem.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		eluzelz 12779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	3	zred 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ*)
10		zssxr 45386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
11		limsupequzlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		limsupequzlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		tpssi 4798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
14	11, 12, 3, 13	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
15		xrltso 13077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ < Or ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
17		tpfi 9252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin)
19	11	tpnzd 4740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅)
20	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ*)
21	14, 20	sstrd 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)
22		fisupcl 9397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ({𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅ ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
23	16, 18, 19, 21, 22	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
24	14, 23	sseldd 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℤ)
25	10, 24	sselid 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27		eluzelre 12780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℝ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
30		tpid3g 4732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
31	3, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
32		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) = sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )
33	21, 31, 32	supxrubd 45100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
35		eluzle 12782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
36	35	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
37	9, 26, 29, 34, 36	xrletrd 13098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ 𝑘)
38	2, 4, 6, 37	eluzd 45398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
39		limsupequzlem.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
40	38, 39	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
41	1, 40	ralrimia 3234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
42		limsupequzlem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
43		limsupequzlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
44		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
45		tpid1g 4729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
46	11, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
47	21, 46, 32	supxrubd 45100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
48	44, 11, 24, 47	eluzd 45398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49		uzss 12792	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
51		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
52		tpid2g 4731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
53	12, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
54	21, 53, 32	supxrubd 45100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
55	51, 12, 24, 54	eluzd 45398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
56		uzss 12792	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
58		fvreseq0 6992	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁)) ∧ ((ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
59	42, 43, 50, 57, 58	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
60	41, 59	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))))
61	60	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))))
62		eqid 2729	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) = (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
63		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
64	42, 63	fnexd 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
65	42	fndmd 6605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (ℤ≥‘𝑀))
66		uzssz 12790	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
67	65, 66	eqsstrdi 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℤ)
68	24, 62, 64, 67	limsupresuz2 45700	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐹))
69		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ∈ V)
70	43, 69	fnexd 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
71	43	fndmd 6605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (ℤ≥‘𝑁))
72		uzssz 12790	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ
73	71, 72	eqsstrdi 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ ℤ)
74	24, 62, 70, 73	limsupresuz2 45700	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐺))
75	61, 68, 74	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {ctp 4589   class class class wbr 5102   Or wor 5538  dom cdm 5631   ↾ cres 5633   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  Fincfn 8895  supcsup 9367  ℝcr 11043  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  lim supclsp 15412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-ico 13288  df-limsup 15413

This theorem is referenced by:  limsupequz  45714