Theorem limsupequzlem 46179

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzlem.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupequzlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
limsupequzlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzlem.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
limsupequzlem.7	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
limsupequzlem.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
limsupequzlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem limsupequzlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupequzlem.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
3		limsupequzlem.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		eluzelz 12793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	3	zred 12628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ*)
10		zssxr 45855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
11		limsupequzlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		limsupequzlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		tpssi 4772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
14	11, 12, 3, 13	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
15		xrltso 13087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ < Or ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
17		tpfi 9230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin)
19	11	tpnzd 4715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅)
20	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ*)
21	14, 20	sstrd 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)
22		fisupcl 9377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ({𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅ ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
23	16, 18, 19, 21, 22	syl13anc 1381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
24	14, 23	sseldd 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℤ)
25	10, 24	sselid 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27		eluzelre 12794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℝ)
28	27	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
30		tpid3g 4707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
31	3, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
32		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) = sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )
33	21, 31, 32	supxrubd 45574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
34	33	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
35		eluzle 12796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
36	35	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
37	9, 26, 29, 34, 36	xrletrd 13108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ 𝑘)
38	2, 4, 6, 37	eluzd 45866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
39		limsupequzlem.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
40	38, 39	syldan 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
41	1, 40	ralrimia 3240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
42		limsupequzlem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
43		limsupequzlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
44		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
45		tpid1g 4704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
46	11, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
47	21, 46, 32	supxrubd 45574	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
48	44, 11, 24, 47	eluzd 45866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49		uzss 12806	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
51		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
52		tpid2g 4706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
53	12, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
54	21, 53, 32	supxrubd 45574	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
55	51, 12, 24, 54	eluzd 45866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
56		uzss 12806	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
58		fvreseq0 6983	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁)) ∧ ((ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
59	42, 43, 50, 57, 58	syl22anc 845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
60	41, 59	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))))
61	60	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))))
62		eqid 2741	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) = (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
63		fvexd 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
64	42, 63	fnexd 7166	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
65	42	fndmd 6594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (ℤ≥‘𝑀))
66		uzssz 12804	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
67	65, 66	eqsstrdi 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℤ)
68	24, 62, 64, 67	limsupresuz2 46166	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐹))
69		fvexd 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ∈ V)
70	43, 69	fnexd 7166	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
71	43	fndmd 6594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (ℤ≥‘𝑁))
72		uzssz 12804	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ
73	71, 72	eqsstrdi 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ ℤ)
74	24, 62, 70, 73	limsupresuz2 46166	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐺))
75	61, 68, 74	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  {ctp 4562   class class class wbr 5075   Or wor 5528  dom cdm 5621   ↾ cres 5623   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  Fincfn 8887  supcsup 9347  ℝcr 11032  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  lim supclsp 15427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-ico 13299  df-limsup 15428

This theorem is referenced by:  limsupequz  46180