Theorem limsupequzlem 45742

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzlem.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupequzlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
limsupequzlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzlem.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
limsupequzlem.7	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
limsupequzlem.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
limsupequzlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem limsupequzlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupequzlem.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
3		limsupequzlem.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		eluzelz 12889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	3	zred 12724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ*)
10		zssxr 45413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
11		limsupequzlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		limsupequzlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		tpssi 4837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
14	11, 12, 3, 13	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
15		xrltso 13184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ < Or ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
17		tpfi 9366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin)
19	11	tpnzd 4779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅)
20	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ*)
21	14, 20	sstrd 3993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)
22		fisupcl 9510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ({𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅ ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
23	16, 18, 19, 21, 22	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
24	14, 23	sseldd 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℤ)
25	10, 24	sselid 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27		eluzelre 12890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℝ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
30		tpid3g 4771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
31	3, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
32		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) = sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )
33	21, 31, 32	supxrubd 45123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
35		eluzle 12892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
36	35	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
37	9, 26, 29, 34, 36	xrletrd 13205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ 𝑘)
38	2, 4, 6, 37	eluzd 45425	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
39		limsupequzlem.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
40	38, 39	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
41	1, 40	ralrimia 3257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
42		limsupequzlem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
43		limsupequzlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
44		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
45		tpid1g 4768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
46	11, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
47	21, 46, 32	supxrubd 45123	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
48	44, 11, 24, 47	eluzd 45425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49		uzss 12902	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
51		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
52		tpid2g 4770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
53	12, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
54	21, 53, 32	supxrubd 45123	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
55	51, 12, 24, 54	eluzd 45425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
56		uzss 12902	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
58		fvreseq0 7057	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁)) ∧ ((ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
59	42, 43, 50, 57, 58	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
60	41, 59	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))))
61	60	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))))
62		eqid 2736	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) = (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
63		fvexd 6920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
64	42, 63	fnexd 7239	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
65	42	fndmd 6672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (ℤ≥‘𝑀))
66		uzssz 12900	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
67	65, 66	eqsstrdi 4027	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℤ)
68	24, 62, 64, 67	limsupresuz2 45729	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐹))
69		fvexd 6920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ∈ V)
70	43, 69	fnexd 7239	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
71	43	fndmd 6672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (ℤ≥‘𝑁))
72		uzssz 12900	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ
73	71, 72	eqsstrdi 4027	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ ℤ)
74	24, 62, 70, 73	limsupresuz2 45729	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐺))
75	61, 68, 74	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  {ctp 4629   class class class wbr 5142   Or wor 5590  dom cdm 5684   ↾ cres 5686   Fn wfn 6555  ‘cfv 6560  Fincfn 8986  supcsup 9481  ℝcr 11155  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  lim supclsp 15507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-ico 13394  df-limsup 15508

This theorem is referenced by:  limsupequz  45743