Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupequzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupequzlem 45253
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupequzlem.1 𝑘𝜑
limsupequzlem.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzlem.4 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
limsupequzlem.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzlem.6 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
limsupequzlem.7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
limsupequzlem.8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
limsupequzlem (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem limsupequzlem
StepHypRef Expression
1 limsupequzlem.1 . . . . 5 𝑘𝜑
2 eqid 2725 . . . . . . 7 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
3 limsupequzlem.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
43adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℤ)
5 eluzelz 12870 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℤ)
65adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
73zred 12704 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
87adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ)
98rexrd 11301 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ*)
10 zssxr 44922 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ*
11 limsupequzlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 limsupequzlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
13 tpssi 4841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
1411, 12, 3, 13syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
15 xrltso 13160 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → < Or ℝ*)
17 tpfi 9353 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin)
1911tpnzd 4786 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅)
2010a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ*)
2114, 20sstrd 3987 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)
22 fisupcl 9499 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℝ* ∧ ({𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅ ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
2316, 18, 19, 21, 22syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
2414, 23sseldd 3977 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℤ)
2510, 24sselid 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2625adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27 eluzelre 12871 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℝ)
2827adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ)
2928rexrd 11301 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
30 tpid3g 4778 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
313, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
32 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) = sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )
3321, 31, 32supxrubd 44624 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
3433adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
35 eluzle 12873 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
3635adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
379, 26, 29, 34, 36xrletrd 13181 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾𝑘)
382, 4, 6, 37eluzd 44934 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
39 limsupequzlem.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
4038, 39syldan 589 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
411, 40ralrimia 3245 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
42 limsupequzlem.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
43 limsupequzlem.6 . . . . 5 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
44 eqid 2725 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
45 tpid1g 4775 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
4611, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
4721, 46, 32supxrubd 44624 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
4844, 11, 24, 47eluzd 44934 . . . . . 6 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑀))
49 uzss 12883 . . . . . 6 (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑀))
51 eqid 2725 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
52 tpid2g 4777 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
5312, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
5421, 53, 32supxrubd 44624 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
5551, 12, 24, 54eluzd 44934 . . . . . 6 (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑁))
56 uzss 12883 . . . . . 6 (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑁))
5755, 56syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑁))
58 fvreseq0 7046 . . . . 5 (((𝐹 Fn (ℤ𝑀) ∧ 𝐺 Fn (ℤ𝑁)) ∧ ((ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑀) ∧ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ𝑁))) → ((𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
5942, 43, 50, 57, 58syl22anc 837 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
6041, 59mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))))
6160fveq2d 6900 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))))
62 eqid 2725 . . 3 (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) = (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
63 fvexd 6911 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑀) ∈ V)
6442, 63fnexd 7230 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
6542fndmd 6660 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = (ℤ𝑀))
66 uzssz 12881 . . . 4 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
6765, 66eqsstrdi 4031 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℤ)
6824, 62, 64, 67limsupresuz2 45240 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐹))
69 fvexd 6911 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ∈ V)
7043, 69fnexd 7230 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
7143fndmd 6660 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 = (ℤ𝑁))
72 uzssz 12881 . . . 4 (ℤ𝑁) ⊆ ℤ
7371, 72eqsstrdi 4031 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ ℤ)
7424, 62, 70, 73limsupresuz2 45240 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐺))
7561, 68, 743eqtr3d 2773 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  Vcvv 3461  wss 3944  c0 4322  {ctp 4634   class class class wbr 5149   Or wor 5589  dom cdm 5678  cres 5680   Fn wfn 6544  cfv 6549  Fincfn 8964  supcsup 9470  cr 11144  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286  cz 12596  cuz 12860  lim supclsp 15458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-ico 13370  df-limsup 15459
This theorem is referenced by:  limsupequz  45254
  Copyright terms: Public domain W3C validator