Theorem limsupequzlem 45678

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzlem.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupequzlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
limsupequzlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzlem.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
limsupequzlem.7	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
limsupequzlem.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
limsupequzlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem limsupequzlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupequzlem.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
3		limsupequzlem.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		eluzelz 12886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	3	zred 12720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ∈ ℝ*)
10		zssxr 45347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
11		limsupequzlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		limsupequzlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		tpssi 4843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
14	11, 12, 3, 13	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℤ)
15		xrltso 13180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ < Or ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
17		tpfi 9363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin)
19	11	tpnzd 4785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅)
20	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ*)
21	14, 20	sstrd 4006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)
22		fisupcl 9507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ({𝑀, 𝑁, 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ≠ ∅ ∧ {𝑀, 𝑁, 𝐾} ⊆ ℝ*)) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
23	16, 18, 19, 21, 22	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
24	14, 23	sseldd 3996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℤ)
25	10, 24	sselid 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27		eluzelre 12887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → 𝑘 ∈ ℝ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
30		tpid3g 4777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
31	3, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
32		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) = sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )
33	21, 31, 32	supxrubd 45053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
35		eluzle 12889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
36	35	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ≤ 𝑘)
37	9, 26, 29, 34, 36	xrletrd 13201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝐾 ≤ 𝑘)
38	2, 4, 6, 37	eluzd 45359	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
39		limsupequzlem.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
40	38, 39	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
41	1, 40	ralrimia 3256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
42		limsupequzlem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
43		limsupequzlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
44		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
45		tpid1g 4774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
46	11, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
47	21, 46, 32	supxrubd 45053	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
48	44, 11, 24, 47	eluzd 45359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49		uzss 12899	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
51		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
52		tpid2g 4776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
53	12, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝐾})
54	21, 53, 32	supxrubd 45053	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
55	51, 12, 24, 54	eluzd 45359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
56		uzss 12899	. . . . . 6 ⊢ (sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
58		fvreseq0 7058	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁)) ∧ ((ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
59	42, 43, 50, 57, 58	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
60	41, 59	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))) = (𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))))
61	60	fveq2d 6911	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))))
62		eqid 2735	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )) = (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < ))
63		fvexd 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
64	42, 63	fnexd 7238	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
65	42	fndmd 6674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (ℤ≥‘𝑀))
66		uzssz 12897	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
67	65, 66	eqsstrdi 4050	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℤ)
68	24, 62, 64, 67	limsupresuz2 45665	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐹))
69		fvexd 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ∈ V)
70	43, 69	fnexd 7238	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
71	43	fndmd 6674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (ℤ≥‘𝑁))
72		uzssz 12897	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ ℤ
73	71, 72	eqsstrdi 4050	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ ℤ)
74	24, 62, 70, 73	limsupresuz2 45665	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐺 ↾ (ℤ≥‘sup({𝑀, 𝑁, 𝐾}, ℝ*, < )))) = (lim sup‘𝐺))
75	61, 68, 74	3eqtr3d 2783	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {ctp 4635   class class class wbr 5148   Or wor 5596  dom cdm 5689   ↾ cres 5691   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  Fincfn 8984  supcsup 9478  ℝcr 11152  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  lim supclsp 15503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ico 13390  df-limsup 15504

This theorem is referenced by:  limsupequz  45679