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Theorem rescabs 16932
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs.c (𝜑𝐶𝑉)
rescabs.h (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescabs.j (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
rescabs.s (𝜑𝑆𝑊)
rescabs.t (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
rescabs (𝜑 → ((𝐶cat 𝐻) ↾cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽))

Proof of Theorem rescabs
StepHypRef Expression
1 eqid 2794 . . . 4 (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾cat 𝐽) = (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾cat 𝐽)
2 ovexd 7053 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
3 rescabs.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑊)
4 rescabs.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑆)
53, 4ssexd 5122 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ V)
6 rescabs.j . . . 4 (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
71, 2, 5, 6rescval2 16927 . . 3 (𝜑 → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾cat 𝐽) = ((((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
8 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇)
9 ovexd 7053 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
105adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → 𝑇 ∈ V)
11 eqid 2794 . . . . . . . 8 (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) = (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇)
12 baseid 16372 . . . . . . . . 9 Base = Slot (Base‘ndx)
13 1re 10490 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
14 1nn 11499 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
15 4nn0 11766 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
16 1nn0 11763 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
17 1lt10 12087 . . . . . . . . . . . 12 1 < 10
1814, 15, 16, 17declti 11986 . . . . . . . . . . 11 1 < 14
1913, 18ltneii 10602 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 14
20 basendx 16376 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ndx) = 1
21 homndx 16516 . . . . . . . . . . 11 (Hom ‘ndx) = 14
2220, 21neeq12i 3049 . . . . . . . . . 10 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 1 ≠ 14)
2319, 22mpbir 232 . . . . . . . . 9 (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
2412, 23setsnid 16368 . . . . . . . 8 (Base‘(𝐶s 𝑆)) = (Base‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
2511, 24ressid2 16381 . . . . . . 7 (((Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇 ∧ ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
268, 9, 10, 25syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
2726oveq1d 7034 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → ((((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
28 ovex 7051 . . . . . 6 (𝐶s 𝑆) ∈ V
295, 5xpexd 7334 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 × 𝑇) ∈ V)
30 fnex 6849 . . . . . . . 8 ((𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇) ∧ (𝑇 × 𝑇) ∈ V) → 𝐽 ∈ V)
316, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ V)
3231adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → 𝐽 ∈ V)
33 setsabs 16355 . . . . . 6 (((𝐶s 𝑆) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
3428, 32, 33sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
35 eqid 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶s 𝑆) = (𝐶s 𝑆)
36 eqid 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3735, 36ressbas 16383 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝑊 → (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) = (Base‘(𝐶s 𝑆)))
383, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) = (Base‘(𝐶s 𝑆)))
3938sseq1d 3921 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ 𝑇 ↔ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇))
4039biimpar 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ 𝑇)
41 inss2 4128 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶)
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶))
4340, 42ssind 4131 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (𝑇 ∩ (Base‘𝐶)))
444adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → 𝑇𝑆)
4544ssrind 4134 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (𝑇 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))
4643, 45eqssd 3908 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) = (𝑇 ∩ (Base‘𝐶)))
4746oveq2d 7035 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) = (𝐶s (𝑇 ∩ (Base‘𝐶))))
483adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → 𝑆𝑊)
4936ressinbas 16389 . . . . . . . 8 (𝑆𝑊 → (𝐶s 𝑆) = (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (𝐶s 𝑆) = (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
5136ressinbas 16389 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V → (𝐶s 𝑇) = (𝐶s (𝑇 ∩ (Base‘𝐶))))
5210, 51syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (𝐶s 𝑇) = (𝐶s (𝑇 ∩ (Base‘𝐶))))
5347, 50, 523eqtr4d 2840 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (𝐶s 𝑆) = (𝐶s 𝑇))
5453oveq1d 7034 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
5527, 34, 543eqtrd 2834 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → ((((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
56 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇)
57 ovexd 7053 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
585adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → 𝑇 ∈ V)
5911, 24ressval2 16382 . . . . . . . 8 ((¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇 ∧ ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) = (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆)))⟩))
6056, 57, 58, 59syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) = (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆)))⟩))
61 ovexd 7053 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (𝐶s 𝑆) ∈ V)
6223necomi 3037 . . . . . . . . 9 (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6362a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
64 rescabs.h . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
653, 3xpexd 7334 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
66 fnex 6849 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
6764, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ V)
6867adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → 𝐻 ∈ V)
69 fvex 6554 . . . . . . . . . 10 (Base‘(𝐶s 𝑆)) ∈ V
7069inex2 5116 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆))) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆))) ∈ V)
72 fvex 6554 . . . . . . . . 9 (Hom ‘ndx) ∈ V
73 fvex 6554 . . . . . . . . 9 (Base‘ndx) ∈ V
7472, 73setscom 16356 . . . . . . . 8 ((((𝐶s 𝑆) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆))) ∈ V)) → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆)))⟩) = (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
7561, 63, 68, 71, 74syl22anc 835 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆)))⟩) = (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
76 eqid 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇)
77 eqid 2794 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(𝐶s 𝑆)) = (Base‘(𝐶s 𝑆))
7876, 77ressval2 16382 . . . . . . . . . 10 ((¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇 ∧ (𝐶s 𝑆) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆)))⟩))
7956, 61, 58, 78syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆)))⟩))
803adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → 𝑆𝑊)
814adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → 𝑇𝑆)
82 ressabs 16392 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝑊𝑇𝑆) → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶s 𝑇))
8380, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶s 𝑇))
8479, 83eqtr3d 2832 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆)))⟩) = (𝐶s 𝑇))
8584oveq1d 7034 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝑇 ∩ (Base‘(𝐶s 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
8660, 75, 853eqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
8786oveq1d 7034 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → ((((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = (((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
88 ovex 7051 . . . . . 6 (𝐶s 𝑇) ∈ V
8931adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → 𝐽 ∈ V)
90 setsabs 16355 . . . . . 6 (((𝐶s 𝑇) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) → (((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
9188, 89, 90sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → (((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
9287, 91eqtrd 2830 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Base‘(𝐶s 𝑆)) ⊆ 𝑇) → ((((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
9355, 92pm2.61dan 809 . . 3 (𝜑 → ((((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
947, 93eqtrd 2830 . 2 (𝜑 → (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾cat 𝐽) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
95 eqid 2794 . . . 4 (𝐶cat 𝐻) = (𝐶cat 𝐻)
96 rescabs.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
9795, 96, 3, 64rescval2 16927 . . 3 (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
9897oveq1d 7034 . 2 (𝜑 → ((𝐶cat 𝐻) ↾cat 𝐽) = (((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) ↾cat 𝐽))
99 eqid 2794 . . 3 (𝐶cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽)
10099, 96, 5, 6rescval2 16927 . 2 (𝜑 → (𝐶cat 𝐽) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
10194, 98, 1003eqtr4d 2840 1 (𝜑 → ((𝐶cat 𝐻) ↾cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2080  wne 2983  Vcvv 3436  cin 3860  wss 3861  cop 4480   × cxp 5444   Fn wfn 6223  cfv 6228  (class class class)co 7019  1c1 10387  4c4 11544  cdc 11948  ndxcnx 16309   sSet csts 16310  Basecbs 16312  s cress 16313  Hom chom 16405  cat cresc 16907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-hom 16418  df-resc 16910
This theorem is referenced by:  subsubc  16952  fldc  43846  fldcALTV  43864
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