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Theorem rescabs 17825
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
rescabs.h (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
rescabs.j (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑇 Γ— 𝑇))
rescabs.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
rescabs.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
rescabs (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽))
Proof of Theorem rescabs
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽)
2 ovexd 7461 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
3 rescabs.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
4 rescabs.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
53, 4ssexd 5328 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
6 rescabs.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑇 Γ— 𝑇))
71, 2, 5, 6rescval2 17818 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇)
9 ovexd 7461 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
105adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ V)
11 eqid 2728 . . . . . . . 8 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇)
12 baseid 17190 . . . . . . . . 9 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
13 slotsbhcdif 17403 . . . . . . . . . 10 ((Baseβ€˜ndx) β‰  (Hom β€˜ndx) ∧ (Baseβ€˜ndx) β‰  (compβ€˜ndx) ∧ (Hom β€˜ndx) β‰  (compβ€˜ndx))
1413simp1i 1136 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜ndx) β‰  (Hom β€˜ndx)
1512, 14setsnid 17185 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
1611, 15ressid2 17220 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
178, 9, 10, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
1817oveq1d 7441 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
19 ovex 7459 . . . . . 6 (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V
205, 5xpexd 7759 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 Γ— 𝑇) ∈ V)
216, 20fnexd 7236 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ V)
23 setsabs 17155 . . . . . 6 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
2419, 22, 23sylancr 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
25 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs 𝑆)
26 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2725, 26ressbas 17222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))
283, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))
2928sseq1d 4013 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† 𝑇 ↔ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇))
3029biimpar 476 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† 𝑇)
31 inss2 4232 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (Baseβ€˜πΆ)
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
3330, 32ssind 4235 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
344adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
3534ssrind 4238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
3633, 35eqssd 3999 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
3736oveq2d 7442 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
383adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
3926ressinbas 17233 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4126ressinbas 17233 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4210, 41syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4337, 40, 423eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
4443oveq1d 7441 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
4518, 24, 443eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
46 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇)
47 ovexd 7461 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
485adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ V)
4911, 15ressval2 17221 . . . . . . . 8 ((Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
5046, 47, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
51 ovexd 7461 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V)
5214necomi 2992 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
5352a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx))
54 rescabs.h . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
553, 3xpexd 7759 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ V)
5654, 55fnexd 7236 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
5756adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐻 ∈ V)
58 fvex 6915 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) ∈ V
5958inex2 5322 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V)
61 fvex 6915 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜ndx) ∈ V
62 fvex 6915 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜ndx) ∈ V
6361, 62setscom 17156 . . . . . . . 8 ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V)) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
6451, 53, 57, 60, 63syl22anc 837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
65 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇)
66 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))
6765, 66ressval2 17221 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
6846, 51, 48, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
694adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
70 ressabs 17237 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
713, 69, 70syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
7268, 71eqtr3d 2770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
7372oveq1d 7441 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
7450, 64, 733eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
7574oveq1d 7441 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
76 ovex 7459 . . . . . 6 (𝐢 β†Ύs 𝑇) ∈ V
7721adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ V)
78 setsabs 17155 . . . . . 6 (((𝐢 β†Ύs 𝑇) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
7976, 77, 78sylancr 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8075, 79eqtrd 2768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8145, 80pm2.61dan 811 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
827, 81eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
83 eqid 2728 . . . 4 (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
84 rescabs.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
8583, 84, 3, 54rescval2 17818 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
8685oveq1d 7441 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽))
87 eqid 2728 . . 3 (𝐢 β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
8887, 84, 5, 6rescval2 17818 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐽) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8982, 86, 883eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4638   Γ— cxp 5680   Fn wfn 6548  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   sSet csts 17139  ndxcnx 17169  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  Hom chom 17251  compcco 17252   β†Ύcat cresc 17798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-hom 17264  df-cco 17265  df-resc 17801
This theorem is referenced by:  subsubc  17846  fldc  20679  fldcALTV  47472
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