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Theorem rescabs 17725
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
rescabs.h (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
rescabs.j (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑇 Γ— 𝑇))
rescabs.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
rescabs.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
rescabs (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽))

Proof of Theorem rescabs
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽)
2 ovexd 7397 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
3 rescabs.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
4 rescabs.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
53, 4ssexd 5286 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
6 rescabs.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑇 Γ— 𝑇))
71, 2, 5, 6rescval2 17718 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇)
9 ovexd 7397 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
105adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ V)
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇)
12 baseid 17093 . . . . . . . . 9 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
13 slotsbhcdif 17303 . . . . . . . . . 10 ((Baseβ€˜ndx) β‰  (Hom β€˜ndx) ∧ (Baseβ€˜ndx) β‰  (compβ€˜ndx) ∧ (Hom β€˜ndx) β‰  (compβ€˜ndx))
1413simp1i 1140 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜ndx) β‰  (Hom β€˜ndx)
1512, 14setsnid 17088 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
1611, 15ressid2 17123 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
178, 9, 10, 16syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
1817oveq1d 7377 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
19 ovex 7395 . . . . . 6 (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V
205, 5xpexd 7690 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 Γ— 𝑇) ∈ V)
216, 20fnexd 7173 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ V)
23 setsabs 17058 . . . . . 6 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
2419, 22, 23sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs 𝑆)
26 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2725, 26ressbas 17125 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))
283, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))
2928sseq1d 3980 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† 𝑇 ↔ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇))
3029biimpar 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† 𝑇)
31 inss2 4194 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (Baseβ€˜πΆ)
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
3330, 32ssind 4197 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
344adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
3534ssrind 4200 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
3633, 35eqssd 3966 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
3736oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
383adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
3926ressinbas 17133 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4126ressinbas 17133 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4210, 41syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4337, 40, 423eqtr4d 2787 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
4443oveq1d 7377 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
4518, 24, 443eqtrd 2781 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
46 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇)
47 ovexd 7397 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
485adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ V)
4911, 15ressval2 17124 . . . . . . . 8 ((Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
5046, 47, 48, 49syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
51 ovexd 7397 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V)
5214necomi 2999 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
5352a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx))
54 rescabs.h . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
553, 3xpexd 7690 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ V)
5654, 55fnexd 7173 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
5756adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐻 ∈ V)
58 fvex 6860 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) ∈ V
5958inex2 5280 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V)
61 fvex 6860 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜ndx) ∈ V
62 fvex 6860 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜ndx) ∈ V
6361, 62setscom 17059 . . . . . . . 8 ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V)) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
6451, 53, 57, 60, 63syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
65 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇)
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))
6765, 66ressval2 17124 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
6846, 51, 48, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
694adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
70 ressabs 17137 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
713, 69, 70syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
7268, 71eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
7372oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
7450, 64, 733eqtrd 2781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
7574oveq1d 7377 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
76 ovex 7395 . . . . . 6 (𝐢 β†Ύs 𝑇) ∈ V
7721adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ V)
78 setsabs 17058 . . . . . 6 (((𝐢 β†Ύs 𝑇) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
7976, 77, 78sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8075, 79eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8145, 80pm2.61dan 812 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
827, 81eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
83 eqid 2737 . . . 4 (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
84 rescabs.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
8583, 84, 3, 54rescval2 17718 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
8685oveq1d 7377 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽))
87 eqid 2737 . . 3 (𝐢 β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
8887, 84, 5, 6rescval2 17718 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐽) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8982, 86, 883eqtr4d 2787 1 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βŸ¨cop 4597   Γ— cxp 5636   Fn wfn 6496  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   sSet csts 17042  ndxcnx 17072  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  Hom chom 17151  compcco 17152   β†Ύcat cresc 17698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-hom 17164  df-cco 17165  df-resc 17701
This theorem is referenced by:  subsubc  17746  fldc  46455  fldcALTV  46473
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