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Theorem rescabs 17791
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
rescabs.h (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
rescabs.j (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑇 Γ— 𝑇))
rescabs.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
rescabs.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
rescabs (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽))
Proof of Theorem rescabs
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽)
2 ovexd 7440 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
3 rescabs.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
4 rescabs.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
53, 4ssexd 5317 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
6 rescabs.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑇 Γ— 𝑇))
71, 2, 5, 6rescval2 17784 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇)
9 ovexd 7440 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
105adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ V)
11 eqid 2726 . . . . . . . 8 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇)
12 baseid 17156 . . . . . . . . 9 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
13 slotsbhcdif 17369 . . . . . . . . . 10 ((Baseβ€˜ndx) β‰  (Hom β€˜ndx) ∧ (Baseβ€˜ndx) β‰  (compβ€˜ndx) ∧ (Hom β€˜ndx) β‰  (compβ€˜ndx))
1413simp1i 1136 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜ndx) β‰  (Hom β€˜ndx)
1512, 14setsnid 17151 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
1611, 15ressid2 17186 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
178, 9, 10, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
1817oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
19 ovex 7438 . . . . . 6 (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V
205, 5xpexd 7735 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 Γ— 𝑇) ∈ V)
216, 20fnexd 7215 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
2221adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ V)
23 setsabs 17121 . . . . . 6 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
2419, 22, 23sylancr 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
25 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs 𝑆)
26 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2725, 26ressbas 17188 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))
283, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))
2928sseq1d 4008 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† 𝑇 ↔ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇))
3029biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† 𝑇)
31 inss2 4224 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (Baseβ€˜πΆ)
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
3330, 32ssind 4227 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
344adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
3534ssrind 4230 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
3633, 35eqssd 3994 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
3736oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
383adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
3926ressinbas 17199 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4126ressinbas 17199 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4210, 41syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
4337, 40, 423eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
4443oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
4518, 24, 443eqtrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
46 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇)
47 ovexd 7440 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
485adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ V)
4911, 15ressval2 17187 . . . . . . . 8 ((Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
5046, 47, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
51 ovexd 7440 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V)
5214necomi 2989 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
5352a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx))
54 rescabs.h . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
553, 3xpexd 7735 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ V)
5654, 55fnexd 7215 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
5756adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐻 ∈ V)
58 fvex 6898 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) ∈ V
5958inex2 5311 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V)
61 fvex 6898 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜ndx) ∈ V
62 fvex 6898 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜ndx) ∈ V
6361, 62setscom 17122 . . . . . . . 8 ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V)) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
6451, 53, 57, 60, 63syl22anc 836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
65 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇)
66 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))
6765, 66ressval2 17187 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
6846, 51, 48, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
694adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
70 ressabs 17203 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
713, 69, 70syl2an2r 682 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
7268, 71eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
7372oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
7450, 64, 733eqtrd 2770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
7574oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
76 ovex 7438 . . . . . 6 (𝐢 β†Ύs 𝑇) ∈ V
7721adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ V)
78 setsabs 17121 . . . . . 6 (((𝐢 β†Ύs 𝑇) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
7976, 77, 78sylancr 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8075, 79eqtrd 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8145, 80pm2.61dan 810 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
827, 81eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
83 eqid 2726 . . . 4 (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
84 rescabs.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
8583, 84, 3, 54rescval2 17784 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
8685oveq1d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽))
87 eqid 2726 . . 3 (𝐢 β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
8887, 84, 5, 6rescval2 17784 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐽) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8982, 86, 883eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   sSet csts 17105  ndxcnx 17135  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  Hom chom 17217  compcco 17218   β†Ύcat cresc 17764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-hom 17230  df-cco 17231  df-resc 17767
This theorem is referenced by:  subsubc  17812  fldc  20635  fldcALTV  47279
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