MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnply2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnply2 26024
Description: Polynomials have polynomials as derivatives of all orders. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvnply2 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (Polyβ€˜π‘†))

Proof of Theorem dvnply2
Dummy variables π‘₯ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) = ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜0))
21eleq1d 2818 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜0) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
32imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ↔ ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜0) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
4 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) = ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))
54eleq1d 2818 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
65imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ↔ ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
7 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) = ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)))
87eleq1d 2818 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
98imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ↔ ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
10 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) = ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
1110eleq1d 2818 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
1211imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ↔ ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
13 ssid 4004 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
14 cnex 11193 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
15 plyf 25936 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
1615adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
17 fpmg 8864 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ β„‚ ∈ V ∧ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
1814, 14, 16, 17mp3an12i 1465 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
19 dvn0 25665 . . . . . 6 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
2013, 18, 19sylancr 587 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
21 simpr 485 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2220, 21eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜0) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
23 dvply2g 26022 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (β„‚ D ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2423ex 413 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (β„‚ D ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
2524ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (β„‚ D ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
26 dvnp1 25666 . . . . . . . . . 10 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)) = (β„‚ D ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)))
2713, 26mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)) = (β„‚ D ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)))
2818, 27sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)) = (β„‚ D ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)))
2928eleq1d 2818 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (β„‚ D ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
3025, 29sylibrd 258 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
3130expcom 414 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
3231a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (Polyβ€˜π‘†))))
333, 6, 9, 12, 22, 32nn0ind 12661 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (Polyβ€˜π‘†)))
3433impcom 408 . 2 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
35343impa 1110 1 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑pm cpm 8823  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12476  SubRingcsubrg 20457  β„‚fldccnfld 21144   D cdv 25604   D𝑛 cdvn 25605  Polycply 25922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-0p 25411  df-limc 25607  df-dv 25608  df-dvn 25609  df-ply 25926  df-coe 25928  df-dgr 25929
This theorem is referenced by:  dvnply  26025  taylthlem2  26110
  Copyright terms: Public domain W3C validator