Theorem frgrusgr 30612

Description: A friendship graph is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Oct-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
frgrusgr	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem frgrusgr

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	isfrgr 30611	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
4	3	simplbi 501	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃!wreu 3367   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589  {cpr 4591  ‘cfv 6536  Vtxcvtx 29346  Edgcedg 29397  USGraphcusgr 29499   FriendGraph cfrgr 30609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-nul 5269

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-iota 6492  df-fv 6544  df-frgr 30610

This theorem is referenced by:  frgreu  30619  frcond3  30620  nfrgr2v  30623  3vfriswmgr  30629  2pthfrgrrn2  30634  2pthfrgr  30635  3cyclfrgrrn2  30638  3cyclfrgr  30639  n4cyclfrgr  30642  frgrnbnb  30644  vdgn0frgrv2  30646  vdgn1frgrv2  30647  frgrncvvdeqlem2  30651  frgrncvvdeqlem3  30652  frgrncvvdeqlem6  30655  frgrncvvdeqlem9  30658  frgrncvvdeq  30660  frgrwopreglem4a  30661  frgrwopreg  30674  frgrregorufrg  30677  frgr2wwlkeu  30678  frgr2wsp1  30681  frgr2wwlkeqm  30682  frrusgrord0lem  30690  frrusgrord0  30691  friendshipgt3  30749