MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrnbnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrnbnb 27986
Description: If two neighbors 𝑈 and 𝑊 of a vertex 𝑋 have a common neighbor 𝐴 in a friendship graph, then this common neighbor 𝐴 must be the vertex 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrnbnb.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrnbnb.n 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
Assertion
Ref Expression
frgrnbnb ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷) ∧ 𝑈𝑊) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))

Proof of Theorem frgrnbnb
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 27954 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2 frgrnbnb.n . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
32eleq2i 2909 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐷𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
4 frgrnbnb.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (Edg‘𝐺)
54nbusgreledg 27049 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸))
65biimpd 230 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸))
73, 6syl5bi 243 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑈𝐷 → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸))
82eleq2i 2909 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐷𝑊 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
94nbusgreledg 27049 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑊 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸))
109biimpd 230 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑊 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸))
118, 10syl5bi 243 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑊𝐷 → {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸))
127, 11anim12d 608 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)))
1312imp 407 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸))
14 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
1514nbgrisvtx 27037 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
1615, 2eleq2s 2936 . . . . . . . 8 (𝑈𝐷𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
1714nbgrisvtx 27037 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))
1817, 2eleq2s 2936 . . . . . . . 8 (𝑊𝐷𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))
1916, 18anim12i 612 . . . . . . 7 ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))
2019adantl 482 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))
214, 14usgrpredgv 26893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
2221ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
23 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 = 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))
24232a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 = 𝑋 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))))
25242a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 = 𝑋 → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))))))
26 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝐺 ∈ USGraph)
27 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))
29 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
31 necom 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑈𝑊𝑊𝑈)
3231biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑈𝑊𝑊𝑈)
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝑊𝑈)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝑊𝑈)
3528, 30, 343jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈))
36 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
38 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
40 necom 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐴𝑋𝑋𝐴)
4140biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐴𝑋𝑋𝐴)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝑋𝐴)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝑋𝐴)
4437, 39, 433jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴))
4526, 35, 443jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴)))
4645ad4ant14 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴)))
47 prcom 4667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 {𝑈, 𝑋} = {𝑋, 𝑈}
4847eleq1i 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸)
4948biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 → {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸)
5049anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → ({𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸))
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ({𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸))
52 prcom 4667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 {𝑊, 𝐴} = {𝐴, 𝑊}
5352eleq1i 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ({𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸)
5453biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ({𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸 → {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸)
5554anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸))
5651, 55anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (({𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸)))
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (({𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸)))
5814, 44cyclusnfrgr 27985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴)) → ((({𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸)) → 𝐺 ∉ FriendGraph ))
5946, 57, 58sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
60 df-nel 3129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
6159, 60sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
6261pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))
6362ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋)))
6463com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝐴 = 𝑋)))
6564exp41 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐺 ∈ USGraph → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝐴 = 𝑋))))))
6665com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝐴 = 𝑋))))))
671, 66mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝐴 = 𝑋)))))
6867com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋)))))
6968ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴𝑋 → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))))))
7025, 69pm2.61ine 3105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋)))))
7170imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))))
7271com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))))
7372ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋)))))
7473com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋)))))
7574ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋))))))
7614nbgrcl 27031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
7776, 2eleq2s 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈𝐷𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
7978adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
8075, 79syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋))))))
8180com34 91 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋))))))
8281impd 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋)))))
8382adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋)))))
8422, 83mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋))))
8584ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋)))))
8685com25 99 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋)))))
8786com14 96 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋)))))
8887ex 413 . . . . . . 7 (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))))))
8988com15 101 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))))))
9013, 20, 89mp2d 49 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))))
9190ex 413 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋)))))
9291com23 86 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋)))))
931, 92mpcom 38 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))))
94933imp 1105 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷) ∧ 𝑈𝑊) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wnel 3128  {cpr 4566  cfv 6352  (class class class)co 7148  Vtxcvtx 26695  Edgcedg 26746  USGraphcusgr 26848   NeighbVtx cnbgr 27028   FriendGraph cfrgr 27951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-hash 13681  df-edg 26747  df-upgr 26781  df-umgr 26782  df-usgr 26850  df-nbgr 27029  df-frgr 27952
This theorem is referenced by:  frgrncvvdeqlem8  27999
  Copyright terms: Public domain W3C validator